關鍵素養理念下

數學教學變革

人民教育出版社章建躍zhangjy@第1頁一、數學課改關鍵任務十八大提出“教育根本任務在于立德樹人”就是整個教育改革關鍵任務。數學教育關鍵任務是“數學育人”。怎樣把這個要求在數學教育中落實下來，抓手在哪里？第2頁教育部頂層設計，數學學科“立德樹人”是“以數學學科關鍵素養為綱”。義教課標中提出了八個“關鍵概念”：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想；高中課標修訂組深入提煉了六個數學學科關鍵素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。數學課改關鍵任務是提升學生數學學科關鍵素養，要有詳細辦法，要把數學學科關鍵素養落實在數學教育各個步驟。第3頁二、關于落實關鍵素養思索“學科育人”要依靠學科內在力量。“數學育人”要用數學方式，在數學內部挖掘育人資源，并使它們在數學教育各個步驟中發揮作用。增強課程意識，把握教改方向，明確數學育人目標，提升數學育人實效性，提升教育教學質量。第4頁問題思索數學課程育人力量是什么？什么叫“數學方式”？一線教師課程意識是怎樣表現？第5頁一線教師課程意識（1）我教是一門怎樣課——課程性質（2）這門課能發揮怎樣育人功效，在學生發展中不可替換作用是什么——課程目標（3）怎樣教這門課——課程實施（4）這么教在多大程度上實現了它育人功效——課程評價第6頁數學是一門怎樣課？數學是研究數量關系和空間形式科學。數學源于對現實世界抽象，基于抽象結構，經過符號運算、形式推理、模型構建等了解和表示現實世界中事物本質、關系與規律。——課標如是說。第7頁數學是思維科學，含有“追求最大程度普通性模式尤其是普通性算法傾向”，有一套含有普適性思索結構和交流符號形式，這種結構和符號形式是強大，富有邏輯，簡明而且準確，是人們能夠借助于了解和處理周圍環境一個思維方式，包含：抽象化、利用符號、建立模型、邏輯分析、推理、計算，不停地改進、推廣，更深入地洞察內在聯絡，在更大范圍內進行概括，建立更為普通統一理論等一整套嚴謹、行之有效科學方法，這是在取得數學結論、建立數學知識體系過程中必須使用思維方式。第8頁推理是數學命根子，運算是數學“童子功”。思維訓練載體就是推理和運算。數學是一門語言，與語文有相同特征，它有自己一套獨立符號系統和嚴謹表示方式——閱讀、表示、交流工具。第9頁數學學科獨特育人功效主要在培養學生思維尤其是邏輯思維上，要使學生學會思索，尤其是學會“有邏輯地思索”、創造性思索，使學生成為善于認識問題、善于處理問題人才。學會嚴格邏輯推理，學會運算方法和技巧。學會使用數學語言，能用數學方式閱讀、表示和交流。第10頁以數學知識為載體發展學生關鍵素養完整數學學習過程：*數學研究對象取得

*研究數學對象

*應用數學知識處理問題數學對象取得，要重視數學與現實之間聯絡，也要重視數學內在前后一致、邏輯連貫性，從“事實”出發，讓學生經歷歸納、概括事物本質過程，提升數學抽象、直觀想象等素養；第11頁對數學對象研究，要重視以“普通觀念”為引導發覺規律、取得猜測，經過數學推理、論證證實結論（定理、性質等）過程，提升推理、運算等素養；應用數學知識處理問題，要重視利用數學概念原理分析問題，表達建模全過程，學會分析數據，從數據中挖掘信息等。第12頁“兩個過程”合理性從數學知識發生發展過程合理性、學生思維過程合理性上加強思索，這是落實數學學科關鍵素養關鍵點。前一個關鍵是數學學科思想問題，后一個是學生思維規律、認知特點問題。第13頁以發展學生數學素養為追求，依據學生認知規律，螺旋上升地安排教學內容，尤其是要讓主要（往往也是難以一次完成）數學概念、思想方法得到重復了解機會。以“事實——概念——性質（關系）——結構（聯絡）——應用”為明線；以“事實——方法——方法論——數學學科本質觀”為暗線。第14頁從數學思維、思想或關鍵素養角度看“事實——概念”主要是“抽象”（對經典而豐富詳細事例進行觀察、比較、分析，歸納共性，抽象出共同本質特征，并推廣到同類事物中去而得出概念）；“概念——性質”主要是“推理”，包含經過歸納推剪發覺性質，經過（邏輯）演繹推理證實性質；“性質——結構”主要也是“推理”，是建立相關知識之間聯絡而形成結構功效良好、遷移能力強大數學認知結構過程；“概念、性質、結構——應用”主要是“建模”，是用數學知識處理數學內外問題。第15頁強調取得“事實”教育價值“數學事實”是數學學習“原材料”，也是數學育人首要素材；真正學習必須經歷“感知—感悟—知識”過程；以“事實”為支撐概念了解才是真理解，才能形成對概念本質深刻體悟，教學應從讓學生取得數學事實開始。第16頁增加概括概念、發覺性質所需素材，提供豐富、真實應用問題；調動全部感官參加學習，安排動眼觀察、動手操作、動腦思索實踐活動，使學生經過自主活動獲取了解概念所需“事實”；增加“悟”時間，長時間“悟”，然后是有所體驗、有所心得、有所發覺。第17頁在整個教學過程中，都要發揮“普通觀念”作用，加強“怎樣思索”、“怎樣發覺”啟發和引導，尤其是在概念抽象要做什么、“幾何性質”“代數性質”“函數性質”指什么等問題上要及時引導，以使學生明確思索方向。第18頁教師專業發展水平和育人能力

是落實關鍵素養關鍵了解數學了解學生了解教學當前主要問題是教師在“了解數學”上不用功，數學水平不高造成數學課教不好數學，甚至數學課不教數學，使數學越來越難學，使學生越學越糊涂。第19頁了解數學知識三重境界

知其然知其所以然何由以知其所以然——啟發學生，示以思維之道耳！第20頁三、系統觀指導下數學教學系統觀內涵：整體性——把研究對象看成一個整體，從整體出發，在組成系統各要素相互關系中探究研究對象本質和規律。層次性——系統是由要素組成整體；每個系統又是它上位系統組成要素，由此組成含有層級關系整體，這就是層次性。先把握基本要素，再看要素組成子系統，然后再看子系統組成上位系統……這么才能含有思想性、觀念性。第21頁聯絡性系統和系統之間、各要素之間、系統和要素之間是相互聯絡、相互作用。任何事物都由若干部分、要素組成，各部分、要素相互依存、相互聯絡。只有這么，事物才能成為有機整體。任何事物都與周圍其它事物相互聯絡著，包含橫向聯絡和縱向聯絡。第22頁目標性數學育人目標有一個從宏觀到微觀層級系統。教學設計應該把教學過程看成含有一定發展規律和趨勢系統，在宏觀目標指導下分析詳細目標和內容，要注意把宏觀目標落實在詳細課堂中，使每一堂課都為到達宏觀目標服務。問題：數學育人目標層級系統是怎樣？第23頁宏觀到微觀目標體系教育方針課程目標單元目標課時目標課堂教學中，三維目標融為一體，內容為載體，過程中表達思想方法、思維能力，挖掘內容所蘊含育人資源，實現數學素養逐步提升。第24頁當前數學教學中存在主要問題依然是：碎片化教學，做題目成為一切，充其量只是培養了做題目標機器。從數學育人出發點和歸宿看，思維教學，培養學生理性思維，發展學生理性精神，這是根本。問題是：依靠什么來實現？教學內容整體性——載體；系統思維——目標；單元教學——路徑。第25頁單元教學組織要義整體——局部——整體前一個“整體”是先行組織者，認識結構、普適性思想方法、處理問題策略，等等。“局部”是對數學對象內涵、要素、概念定義和表示、分類、性質、特例……研究，在這個過程中加強“怎樣歸納、抽象概念”、“怎樣發覺值得研究問題”、“怎樣研究性質”、“怎樣找到證實方法”……引導。第26頁后一個“整體”，在分課時學習基礎上歸納、總結，不但完善本單元知識結構，而且建立與相關知識聯絡，形成結構功效良好、遷移能力強認知結構。第27頁系統觀指導下單元教學設計平面向量起始課課標要求：構建研究平面向量基本線索，了解平面向量實際背景，了解平面向量意義和兩個向量相等含義，了解平面向量幾何表示和基本要素。教學設計要求：表達先行組織者思想，要在數學整體觀指導下，構建研究一個數學對象（平面向量）基本線索，在此基礎上構建平面向量概念。提升學生數學抽象、直觀想象素養。第28頁先行組織者：構建研究路徑“平面向量”是高中數學中經典“新對象”：既是幾何研究對象，也是代數研究對象，是溝通幾何與代數橋梁；向量理論是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題基本工具。問題思索：①“幾何對象”指什么？“代數對象”指什么？②向量是怎樣基本工具，怎樣使它好用？——方向很主要，方向怎樣“運算”是關鍵。第29頁研究路徑是什么？怎樣構建？背景引入概念定義、表示、性質（要素之間特殊關系）運算和運算律（引進一個量就要定義運算，定義一個運算就要研究運算律）向量基本定理及坐標表示應用問題思索：①章引言怎么用？②“研究路徑”非出不可，什么時候出？開頭、中間或結尾？第30頁“取得向量概念”要做哪些事？取得研究對象：定義向量概念，認識“平面向量集合”中元素。現實背景（力、速度、位移等）——定義——表示（圖形、符號、方向、大小）——特例（零向量、單位向量）——性質（向量與向量關系，相等是最主要關系；重點考慮“方向”，所以先有平行、共線、相反向量；等等）。第31頁延伸問題：怎樣定義向量加法？現有大小，又有方向——“方向”怎樣相加？“位移”是最好模型，得到“三角形法則”；接下來研究什么問題？定義a+0=0+a=a（完備性）；向量加法性質：特例（共線）、三角形不等式；運算律。第32頁四、構建研究幾何對象整體思緒立體幾何研究現實世界中物體形狀、大小與位置關系。位置關系：用數學語言表述相關平行、垂直性質與判定，并對一些結論進行論證；研究方法：直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等。第33頁總體目標：認識和探索空間圖形概念、判定和性質，建立空間觀念；提升直觀想象、邏輯推理和數學抽象素養。位置關系詳細內容：點、直線、平面作為“基本圖形”，四個基本事實（平面三公理，平行公理）、一個等角定理；直線、平面平行和垂直判定、性質。第34頁1.平面三公理課標要求：借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面位置關系基礎上，抽象出空間點、直線、平面位置關系定義，了解三個公理。教學設計要求：要引導學生體會刻畫空間中點、直線、平面基本特征（如平面“平”）方法，要注意“三種語言”訓練，建立空間觀念，提升直觀想象、數學抽象素養。第35頁問題1“平面三公理”內容是什么？它數學功效是什么？問題2從中能體會刻畫平面“平”數學思想方法嗎？問題3在了解點、直線、平面位置關系過程中，作圖作用是什么？第36頁2.關于位置關系性質什么叫“性質”？——只有明白了這個問題，才能使學生在獨立面對一個數學對象時知道從哪里下手研究性質，才能使學生自主探究，才能使發覺問題、提出問題能力培養落在實處。這么，關鍵素養落實也就自然而然、水到渠成。第37頁“性質就是一類事物共有特征”，正確但過于宏觀，在詳細思索中沒有可操作性，需要針對詳細內容進行歸納。比如：運算中不變性（規律性）就是性質——研究代數性質，“算算看”是基本方法；改變中不變性（規律性）就是性質——研究函數性質，在運動改變中進行觀察是基本方法；要素和要素之間確定關系就是性質——觀察幾何圖形組成要素之間相互關系（位置關系、大小關系等）是研究幾何性質基本方法；……第38頁幾何性質分類幾何問題能夠分為兩大類：

幾何圖形結構特征幾何圖形位置關系幾何圖形性質：一個幾何圖形組成要素、相關要素之間相互關系（定性、定量）；位置關系性質：點、直線、平面位置關系，關鍵是平行、垂直，距離、角度、對稱等是刻畫位置關系基本方法。第39頁什么叫“幾何體結構特征”？結構特征就是這類幾何對象（如棱柱）組成要素之間確定關系。結構特征有各種表現形式，選刻畫這類對象充要條件作為定義（包含要素關系盡可能少），作為研究出發點，其它特征作為性質。定義——充要條件；性質——必要條件；判定——充分條件（研究直線垂直于平面判斷，就是探究什么條件能確保垂直）。第40頁思索：位置關系性質怎樣表現？比如：兩條直線平行，從“同位角相等”、“內錯角相等”以及“同旁內角互補”能夠想到，這時“性質”是與“第三條直線”組成某種關系——平行、相交，相交時又形成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關系所決定這些角之間有什么確定關系。從方法論高度，研究兩個幾何元素（兩條直線）某種位置關系（平行）性質，就是探索在這種位置關系下兩個幾何元素與同類幾何元素之間是否形成確定關系。詳細方法是讓“同類元素”動起來，看“改變中不變性”。第41頁空間中直線、平面垂直關系課標要求：探索空間直線與平面、平面與平面垂直性質，如：垂直于同一個平面兩條直線平行；垂直于同一條直線兩個平面平行；兩個平面垂直，假如一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面交線，那么這條直線與另一個平面垂直；等等。第42頁教學設計要求：在明確“什么是圖形位置關系性質”基礎上，經過類比直線、平面“平行關系”性質，從整體上提出“垂直關系性質”猜測。選擇“垂直于同一個平面兩條直線平行”等經典猜測給出證實。要表達研究幾何問題“基本套路”，提升直觀想象、邏輯推理、數學抽象素養第43頁這么處理有什么好處？完整、統一處理方案，立意高，思想性強，“數學味”濃；反應數學知識發生發展過程，是自然而水到渠成；探索性更強，能更加好地落實“發覺和提出問題能力、分析和處理問題能力培養”，創造性也更強；第44頁符合數學思維規律，表達數學整體觀，使性質發覺含有必定性，能給學生更多智慧啟迪，思維教學愈加到位；更能表達學習自主性，更能激發學生學習主動性。第45頁學生已經完整地學過直線、平面平行判定及其性質，已經了解了研究一個幾何位置關系“基本套路”：從判定到性質，性質內容、過程和方法，所以與學生認知準備相適應。當前問題是對“什么叫判定”、“什么叫性質”歸納不夠，造成學生盲目探究，無邏輯猜測，使發覺和提出猜測成為偶然。為何能夠這么做？第46頁直線與平面垂直性質問題串一、復習回顧前面我們學習了直線與平面垂直定義及判定定理，請大家回顧一下內容和研究思緒。二、引入新課研究了直線與平面垂直判定，你以為接下來我們研究什么？——性質追問：詳細地，就是要研究什么？——以“直線與平面垂直”為條件能推出什么結論。第47頁定義既能夠作為判定，又能夠作為性質。另外，還有其它性質嗎？怎樣發覺性質？（學生沒有思緒時）回顧直線與平面平行性質研究過程，它是從什么角度入手發覺？類比一下，你以為怎樣入手？教師引導：平行性質研究，是以直線a與平面α平行為條件，借助經過直線a平面β，發覺a與α、β交線b平行，而且這個平行關系不會隨β改變而改變，從而得到了一條線面平行性質。仿照上面歸納，你能說說平面與平面平行性質是怎樣發覺嗎？第48頁你能總結一下怎樣研究一個位置關系性質了嗎？平行關系性質，就是以線面、面面平行為條件，經過考查它們與另一條直線、另一個平面形成關系中，有哪些不變特征。接下來，類比直線與平面平行性質研究思緒和方法，先獨立思索、探究，得出結果后再相互交流、討論。要求：把你發覺線面垂直性質總結提煉出來，并用圖形語言和符號語言表示。第49頁五、認知觀指導下概念教學了解概念是數學學習首要任務。了解概念主要靠歸納思維，概念教學要用歸納式。概念教學要遵照一定之規，這是由數學概念發生發展過程和學生認知概念思維過程所決定。概念課教學設計，主要任務是：選擇經典豐富詳細實例，設計歸納詳細實例共同特征、抽象出本質特征，并概括到同類事物中去過程。第50頁概念教學基本步驟背景引入——借助詳細事例，從數學概念體系發展過程或處理實際問題需要引入概念；共性歸納——提供經典豐富詳細例證，進行屬性分析、比較、綜合，歸納不一樣例證共同特征；下定義——明確本質屬性，給出準確數學語言描述（文字、符號）；第51頁概念辨析——以實例為載體分析關鍵詞含義（恰當使用反例）；概念鞏固應用——用概念作判斷詳細事例，形成用概念作判斷詳細步驟；概念“精巧”——納入概念系統，建立與相關概念聯絡。第52頁函數概念教學課標要求：在初中用變量之間依賴關系描述函數基礎上，用集合與對應關系語言刻畫函數，建立完整函數概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中作用。教學設計要求：要表達以概念形成方式學習數學概念基本步驟，經過適當問題情境引導學生體會深入學習函數概念必要性，體會用集合對應語言刻畫函數概念思想方法。提升學生數學抽象素養。第53頁“了解數學”（課標說）函數是當代數學最基本概念，是描述客觀世界中變量關系和規律最基本數學模型和工具，有廣泛實際應用。從“刻畫變量之間依賴關系數學模型和工具”到“實數集合之間對應關系”；高中函數概念強調了定義域和對應關系；對應關系指是對應結果，而不是對應過程；“y=f(x)，x∈A”是一個整體。第54頁怎樣設計歸納過程以概念形成方式，要完成“實例——共性歸納——定義——辨析——簡單應用”過程。其中，對“事實”分析、共性歸納是關鍵之一，“辨析”又是一個關鍵。第55頁認真講好三個實例有解析式，要引導學生關注x在哪個范圍取值，比如“炮彈距離地面高度h隨時間t改變而改變規律是h=130t-5t2，經過26s落地”，應該問：①時間t改變范圍是什么？②問題“100s時對應高度是多少”有沒有意義？——沒有意義了，因為炮彈發射過程在26s時已經結束。③你認為怎樣描述才能真實反應炮彈發射過程？第56頁臭氧空洞面積改變圖第57頁（1）時間改變范圍是什么？空洞面積s改變范圍是什么？（2）s是t函數嗎？為何？——不能僅僅以“因為任意一個時間t都有唯一一個面積s與之對應”了事，應該讓學生在圖上找出來，再借助信息技術，把對于過程表示出來！（3）從所給圖中能回答“年對應臭氧空洞面積是多少”嗎？（4）這是一個函數，有解析式嗎？假如讓你表示出這個函數，你會怎么做？把這個圖搬出來嗎？——符號意識，s=f(t)呼之欲出。第58頁恩格爾系數改變表時間（年）9192939495969798990001恩格爾系數(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9第59頁（1）這個表格中，時間改變范圍是什么？能不能用[1991,]表示？恩格爾系數改變范圍是什么？（能夠是[0.37,0.54]，其實是（0,1））（2）由這個表格，能判斷恩格爾系數是不是年份函數？你能說清楚到底是怎么對應嗎？（3）由這個表格，能得到年恩格爾系數嗎？（4）這是一個函數，有解析式嗎？假如讓你表示出這個函數，你會怎么做？把這個表搬出來嗎？——符號意識，設恩格爾系數為w，年份為t，w=f(t)呼之欲出。第60頁歸納共同特征它們都是函數，有什么共同特征？——數集A，B，一個對應關系；對應關系表示形式不一樣（解析式、圖、表），但本質一樣：對于集合A中任意一個數，在集合B中都有唯一一個數與之對應。怎樣簡捷地表示出來？——用符號化表示是數學智慧，數學家是這么做：

f：A→B

x→y=f(x)第61頁怎樣辨析概念

第62頁還能夠讓學生依據解析式構建實際問題或數學問題，如：（1）y=x2，x∈R——任意一個實數對應于它平方；（2）y=x2，x∈(0,10]——正方形邊長x對應于它面積；（3）y=x(10－x)，x∈(0,10]——長方形邊長之和為20，一邊長x對應于它面積；……第63頁從函數到三角函數課標要求：借助單位圓了解任意角三角函數定義。教學設計要求：在“函數是描述客觀世界中變量關系和改變規律最主要數學模型”觀念下，表達用函數描述周期運動現象、建立三角函數模型完整過程，使學生了解三角函數對應關系特征。提升學生數學抽象、數學建模等素養。第64頁（一）三角函數發展史概述三角術在希臘定量幾何學中應運而生，到托勒密出版《數學匯編》，希臘三角術及在天文學上應用到達頂峰。這部著作中有大量三角恒等變形問題，包含和（差）角公式、和差化積公式等，證實采取了初等幾何方法。三角學發展與天文學相互交織，且服務于天文學。到十六世紀，三角學開始從天文學里分離出來，并成為數學一個分支。第65頁為了應付航海、天文、測量等實踐之需，制作三角函數表成為三角學研究關鍵工作。因為在制作過程中需要大量三角恒等變形，所以三角恒等變形問題占據了主要地位。伴隨對數創造，尤其是微積分創建，三角函數表制作變得輕而易舉，繁雜三角恒等變形不再需要，曾經主要三角公式也風光不再。第66頁（二）三角函數課程與時俱進從應用角度看，應強調三角函數作為描述周期現象主要數學模型地位，因為“三角函數與其它學科聯絡與結合非常主要，最主要是它與振動和波動聯絡，能夠說，它幾乎是全部高科技基礎之一”。在建立三角函數基本概念、認識它基本性質基礎上，對y=Asin(ωx+φ)研究很主要，實用且有利于提升學生數學建模能力。第67頁“正弦、余弦函數是一對起源于圓周運動，親密配合周期函數，它們是解析幾何學和周期函數分析學中最為基本和主要函數；而正弦、余弦函數基本性質乃是圓幾何性質（主要是其對稱性）直接反應。”所以，要充分發揮單位圓作用，借助單位圓性質研究三角函數全部內容，這有利于提升學生數形轉化、直觀想象能力。第68頁在思想、方法上，要強調函數變換（映射）與坐標系變換及其關系、對稱性與不變性等數學主流思想和方法——有些放正文，有些能夠作為拓展。這么認識和處理內容，表達了三角函數性質整體性，能夠更充分地發揮三角函數在培養學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算和數學建模等關鍵素養作用。第69頁要強調三角函數與向量、復數、解析幾何等聯絡與綜合，這能夠經過加強三角函數在后續相關內容中應用來表達，也能夠經過用向量、復數方法重新推導三角變換公式等來實現。總之，定義三角函數最好方式是利用直角坐標系中單位圓。抓住三角函數作為刻畫勻速圓周運動數學模型，這就真正抓住了要領，就能以簡馭繁。第70頁（三）課標對三角函數定位三角函數是一類最經典周期函數。整體要求：借助單位圓建立普通三角函數概念，體會引入弧度制必要性；能夠用幾何直觀和代數運算方法研究三角函數周期性、對稱性、單調性和最值等性質；能夠探索和研究三角函數之間一些恒等關系；能夠利用三角函數構建數學模型，處理實際問題。提升數學抽象能力、直觀想象和運算能力以及數學建模能力。第71頁加強單位圓作用，深入突出根本和關鍵概念；表達研究一個數學對象內容、過程和方法：概念——圖像、基本性質（直接由定義推出，要素關系）——其它性質（聯絡層面）——應用（把y=Asin(ωx+φ)作為應用、建模結果）。第72頁（四）學生認知分析認知基礎：學習了函數普通概念、表示與性質等，掌握了研究函數普通方法，經過冪、指、對函數學習，已經掌握了研究一類函數結構、內容、過程與方法。這些函數一個共同特點是它們表示式都是代數式，是代數運算規律反應。學生在平面幾何中學習了圓知識，對圓幾何性質有一定掌握，但對“圓旋轉對稱性”強調不夠。第73頁學習困難分析三角函數不以“代數運算”為媒介，是幾何量（角與有向線段）之間直接對應，不是經過對α計算得到函數值，這是一個復雜、不良結構情境，是主要學習難點。在“對應關系”認識上必須采取辦法破除定勢，幫助學生搞清三角函數“三要素”，尤其是要在落實“給定一個角，怎樣得到對應函數值”操作過程基礎上再給定義。第74頁三角函數性質與以往不一樣，主要表現在豐富對稱性上；以單位圓為媒介而建立起性質之間豐富關聯，比如，由定義直接推出同角三角函數之間關系；結合單位圓上點運動及其坐標改變規律（非常直觀），由定義可直接推出單調性、周期性。第75頁

第76頁（五）三角函數定義研究對象取得，從事實到概念。重視數學化過程，經過數學抽象，從勻速圓周運動到單位圓上點以單位速率運動時運動規律刻畫。概念及其表示，重視認知過程完整性，認真處理四個問題：（1）函數現實背景是什么？刻畫了哪類運動改變現象？（2）決定這類運動改變現象要素是什么？（3）要素之間依賴關系是什么？（4）能夠用什么數學模型來刻畫？第77頁經過對運動過程包括量及其關系分析，析出點坐標隨任意角改變而改變規律；數與形表示；與銳角三角函數聯絡（在銳角范圍內一致性）。第78頁六、了解教學——教之道在于“度”道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。為了培養學生創造性思維，必須讓學生有實質性數學思索。數學是思維科學，概念是思維細胞，數學思維更是用概念思維，所以數學是培養思維能力最正確載體．從數學知識發生發展、自然拓展過程，數學性質合理猜測與論證過程出發，經過適當問題引領，就能實現這么目標。第79頁詳細怎么做？加強普通觀念（bigidea）指導作用，提升思想性。經過詳細事例歸納概括，尤其是讓學生自主、探究、交流，給學生表示機會，從表示中把握學生思維過程，捕捉生成性教學資源，并用“你是怎么想？”“你是怎么想到？”

“能把你想