單幀圖像超分辨重構的總則化方法

在遙感、軍事成像和醫療圖像等領域，通常需要獲得目標高分辨率圖像。但是一方面由于CCD像元尺寸的限制,往往得不到高分辨率圖像;另一方面,由于高分辨率CCD相機造價昂貴,體積和質量都很大,如航天用的詳查相機。為了克服低分辨率成像系統的不足,研究低分辨圖像的超分辨重構技術,對緩解實際需求及硬件的壓力非常有意義。利用低分辨圖像重構高分辨率圖像通常可以歸結為(1)式描述的逆問題,f=Rg,(1)式中:f為低分辨圖像;g為高分辨圖像;R為位移、降質和降采樣的綜合過程。一般來說,僅從一幅低分辨率的圖像出發,無其它附加信息,(1)式是一個典型的欠定問題。單幀圖像超分辨重構技術主要有非均勻空域樣本內插法、迭代反投影法、凸集投影、最大后驗概率估計器、極大似然估計器、混合極大似然法、自適應濾波方法、前向-后向擴散方程方法等。MAP方法把圖像的先驗模型引入到分辨率增強的過程中,從而獲得唯一而穩定的圖像估計,是目前圖像處理領域的研究熱點。本文簡要描述了像元的大小與成像誤差的關系,亞像元級的邊緣細化和分片灰度函數表示;從一元分段連續函數的擬合問題討論,利用先驗信息,構造超分辨重構的目標函數,討論ρ函數的選取,設計超分辨重構的迭代求解方法;給出了該方法的實驗結果。1亞形象域分析1.1幾何光學模型單幀圖像超分辨重構模型用下述模型來描述:f=DHg,(2)式中:f為N×1的向量,由m×n(N=mn)的低分辨圖像按行的順序排列而成;g為l2N×1的向量,表示lm×ln高分辨圖像;H為l2N×l2N的模糊矩陣;D為N×l2N的降采樣矩陣;l為分辨率增強因子。幾何光學的分析表明,由于光學系統散焦而造成圖像降質的點擴展函數是一個均勻分布的圓形(或方形)光斑。這個模型雖然顯得過分簡單,但是圖像復原的實踐證明了它的合理性。則其對應的矩形降質函數可以表示為Η(p,q)={l-2?0≤p?q＜l；0?其它。(3)式中:H由降質函數H(p,q)所確定,轉換方法見文獻.1.2圖像的分片模型對于圖像,從數學建模的角度可以認為其灰度值是分片連續的,設圖像的支撐域為Ω,Ωi,i=1,…,P為Ω的一個劃分,Ω=∪Ωi,Ωi∩Ωj=○/?,i≠j,則圖像g(x,y)的分片模型可表示為g(x,y)=Ρ∑i=1gi(x,y),(4)2數的擬合與穩健估計對于一維數據處理,目前在分段連續函數的擬合、穩健估計方面都取得了諸多進展,其中穩健函數構造的主要思想對于二維圖像處理有著重要的借鑒意義。2.1目標函數的選取設Θ=[a,b]為實軸上的一閉區間,a=x0＜x1＜?＜xn=b?v(x)∈C2(xi-1?xi)?limx→x+i-1v(j)(x)=α(j)i?limx→x-i-1v(j)(x)=β(j)i?j=1?2?i=1?2???n.對于α(j)i=β(j)i,j=0,1,2,i=1,2,…,n的情形,已經有很多的光順工作。光順是一個工程上的概念,包括光滑和順眼兩方面的含義。光滑是指空間曲線和曲面的連續階,數學上一階導數連續的曲線即為光滑的曲線;而順眼是人的主觀感覺評價。對于分段連續的情形,則考慮目標函數J(x)=∫Θ|v(x)-vi|2dx+λ∫Θ|v″(x)|2dx.(5)目標函數第二項的意義在于增加對一元函數光順約束,在分段連續函數的間斷點處,由(5)式得到的解與真實解的誤差較大。對于v″(x),間斷點處v″(x)相當于是野值點,而這些點需要保護,不應被平滑,因此借鑒穩健統計的思想,對第二項進行修改,(5)式變為J(x)=∫Θ|v(x)-vi|2dx+λ∫Θρ(|v″(x)|)dx.(6)2.2圖像邊緣保護從一元分段連續函數的擬合分析中發現,對于二維圖像處理問題有著類似之處,此時需要研究圖像gxx+gyy的表現特性。根據(4)式,在圖像的平穩區域gxx+gyy=0,(x,y)∈Ωi\?Ωi,(7)在圖像的邊緣部分,|gxx+gyy|的數值較大,圖像的邊緣部分需要保護,不應在處理的過程中被平滑,因此引入ρ函數,對邊緣進行保護。構造目標函數為J(g)=λ2?Ω(DHg-f)2dxdy+?Ωρ(|gxx+gyy|)dxdy.(8)3函數結構ρ函數構造的一個基本原則就是對圖像邊緣,即|gxx+gyy|數值較大的點,實行保護。3.1s2-k在目前非線性擴散濾波器構造中有如下3種常用的ρ函數形式:ρ(s)=s2/2,(9)ρ(s)=k2/2{lg[1+(s/k)2]},(10)ρ(s)=√k4+k2s2-k2.(11)當ρ由(9)式給出時,相當于最小二乘方法,真正起到穩健作用的是(10)式和(11)式。3.2限制(10)式在實際應用中,需要選取閾值k,閾值k2=w2var(|gxx+gyy|),w=2～4.4求解方法4.1情況2:不同cs2和配裝式c(8)式對應的Euler方程為λHTDT(DHg-f)+?2ρ′(|?2g|)?2g|?2g|=0.(12)采用最速下降法求解(12)式,計算采用的迭代格式為式中c1(s)=ρ′(s)s=11+(s/k)2,迭代初值為g0由f經過最近零插值方法得到。對于(9)式,對應的c1(s)≡1,可見其對邊緣是沒有保護作用的;對于(11)式,其對應的c2(s)=1√1+(s/k)2,其對邊緣有一定的保護作用,但是其變化速度比相應的(10)式要慢,這是選用(10)式的原因。在實際計算中,利用下式的迭代格式可以獲取比(12)式好的結果gn+1=gn+h(λΗΤDΤ(f-DΗgn)-?2(c1(|?2gn|)1c2(|?gn|)?(c2(|?gn|)?gn)))?(14)式中c2(s)=1√1+s2,其實c2(s)=ρ′(s)s?ρ對應于(11)式中k=1的情形。其意義在于對邊緣進行保護。由于c1(s)≥0,c2(s)≥0,因此迭代格式(14)式是收斂的。算子?2(·)的計算格式如下:?2u|i,j=ui+1,j+ui-1,j+ui,j+1+ui,j-1-4ui,j.(15)采用對稱邊界條件:u0,j=u1,j,um+1,j=um,j,ui,0=ui,1,ui,n+1=ui,n.4.2參數的確定—迭代步長h的選取和參數λ的確定對于(12)式嚴格地從理論上給出其最優的迭代步長h非常困難。在圖像離線處理的情形,取h充分小總是可以的。考慮c1(s)為常數c的情形,基于解的穩定性考慮,要求1-20ch>0,即h<1/(20c).由于c1(s)≤1,則要求h<0.05.通過大量實際圖像的計算,h的經驗值為0.025.關于參數λ的確定,λ的作用在于使得(12)式左邊兩項之間取得一定的平衡,使得加號兩邊的項大小相當。λ=∥ΗΤDΤ(f-DΗgn)∥|?2(c1(|?2gn|)1c2(|?gn|)?(c2(|?gn|)?gn))|.(19)5檢測圖像的超分辨重構效果對大量的圖像進行了仿真計算,仿真結果的峰值信噪比見表1,圖1(a)(c)為待超分辨圖像經最近零插值得到,圖1(b)(d)為對應的超分辨重構圖。最近鄰插值法所獲得的圖像能較好的保持原圖像的對比度,但有很強的“塊狀”效應;本文方法,有效地凸顯了圖像邊緣,如圖1(b)帽子的邊緣,圖1(d)中的建筑物,圖像對比度也得到了有效的增強,且“塊狀”效應不顯著。峰值信噪比的計算公式為PSNR=10lg2552×ml×nl∑i,j(g(i,j)-?g(i,j))2.(20)峰值信噪比數值越大,表明重構圖像越逼近真實的高分辨率圖像。表1的計算結果表明:本文方法的計算結果與雙線性插值相比,峰值信噪比平均高出4.48dB;與最近鄰插值法相比,峰值信噪比平均高出3.09dB.因此,從峰值信噪比這一指標來看,本文