第二章幾何與代數法模型第1頁，課件共23頁，創作于2023年2月

椅子在不平地面放穩模型第2頁，課件共23頁，創作于2023年2月問題提出把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩，然而只需稍挪動幾次，就可使四只腳同時著地，放穩了。這個看來與數學無關的現象能用數學語言給以表述，即建立有關數學模型，并用數學方法來證明嗎?第3頁，課件共23頁，創作于2023年2月模型假設假設1.椅子四條腿等長，椅腳與地面接觸處可視為一點，四腳的連線呈正方形。假設2.地面高度是連續變化的，即地面可視為數學上的連續曲面，假設3.對于椅腳間的距離和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。

第4頁，課件共23頁，創作于2023年2月假設說明假設1顯然是合理的。假設2相當于給出了椅子能放穩的條件，因為如果地面高度不連續，譬如在有臺階的地方是無法使四只腳同時著地的。假設3是要排除這樣的情況:地面上與椅腳間距和椅腿長度的尺寸大小相當的范圍內，出現深溝或凸峰(即使是連續變化的)，致使三只腳無法同時著地。第5頁，課件共23頁，創作于2023年2月模型構成中心問題：把椅子四腳同時著地的條件和結論用數學語言表示。即用恰當的變量表示椅子的位置；并把椅腳著地用數學符號表示出來。

第6頁，課件共23頁，創作于2023年2月首先要用變量表示椅子位置注意到椅腳連線呈正方形，以中心為對稱點，正方形繞中心的旋轉正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉角度

這一變量表示椅子的位置。第7頁，課件共23頁，創作于2023年2月y

B

B’

A’

C

Ax

O

C’

D’

D

圖1變量表示椅子的位置第8頁，課件共23頁，創作于2023年2月

其次用數學符號表示椅腳著地狀況如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離，那么椅腳著地狀況就是該距離為零。該距離是椅子位置變量

的函數。第9頁，課件共23頁，創作于2023年2月距離函數的設置雖然椅子有四只腳，因而有四個距離，但是由于正方形的中心對稱性，只要設兩個距離函數就行了。記A、C兩腳與地面距離之和為f(

)，B、D兩腳與地面距離之和為g(

)顯然，f(

)、g(

)

0。第10頁，課件共23頁，創作于2023年2月距離函數的分析由假設2，f和g都是連續函數。由假設3，椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的

,f(

)和g(

)中至少有一個為零。當

=0時不妨設g(0)=0,f(0)>0.第11頁，課件共23頁，創作于2023年2月椅子平穩著地的數學模型

改變椅子位置使四腳同時著地，就歸結為證明如下的數學命題:已知f(

)和g(

)是

的連續函數，對任意

,f(

)g(

)=0，且g(0)=0，f(0)>0。則存在

0，使f(

0)=g(

0)=0。這就是椅子平穩著地的數學模型第12頁，課件共23頁，創作于2023年2月

易知，引入了變量

和函數f(

)、g(

)，就把模型的假設條件和椅腳同時著地的結論用簡單、精確的數學語言表述出來，從而構成了這個實際問題的數學模型。第13頁，課件共23頁，創作于2023年2月模型證明模型有多種證明方法，這里介紹其中的一種。首先將椅子旋轉90

(

/2)，對角線AC與BD互換。由g(0)=0和f(0)>0，可知g(

/2)>0和f(

/2)=0。令h(

)=f(

)-g(

)，則h(0)>0和h(

/2)<0.由f和g的連續性知，h也是連續函數,根據連續函數基本性質，必存在

0，(0<

0<

/2),使h(

0)=0，即f(

0)=g(

0)最后，因為f(

0)·g(

0)=0，所以f(

0)=g(

0)=0。第14頁，課件共23頁，創作于2023年2月評注

這個模型的巧妙之處在于：用一元變量

表示椅子的位置，用

的兩個函數表示椅子四腳與地面的距離。利用正方形的中心對稱性及旋轉90o并不是本質的。課后可以考慮四腳呈長方形情形由于這個實際問題非常直觀和簡單，模型解釋和驗證就略去了

第15頁，課件共23頁，創作于2023年2月Fibonacci的生小兔問題模型第16頁，課件共23頁，創作于2023年2月問題與背景13世紀初，意大利的一位綽號為斐波那契(Fibonacci）的數學家倫納德（1170~1250)在其《算盤書》的數學著作中提出一個有趣問題:假如養了初生的小兔一對，兔子出生以后兩個月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對(一雌一雄)，試問一年后共有多少對兔子(如果生下的小兔都不死的話)?第17頁，課件共23頁，創作于2023年2月直接推算法我們來直接推算一下，第一個月:只有一對小兔。第二個月:小兔子未成熟不會生殖，仍只有一對。第三個月:這對兔子生了一對小兔，這里共有兩對。第四個月:老兔子又生了一對小兔，而上月出生的小兔還未成熟，這時共有三對;如此下去，我們不難得出下面的結果:第18頁，課件共23頁，創作于2023年2月直接推算結果表從表中可知，一年后(第十三個月時)共有233對兔子，用這種辦法推算，似乎有些"笨"，而且越往后越使人覺得復雜，有無簡便方法呢?1123581321345589144233…兔子數(對)12345678910111213…月份數(n)第19頁，課件共23頁，創作于2023年2月裴波那契數列我們將表中兔子的對數用{Fn}表示，下標n表示月份數(這樣兔子數可視為月份數的函數)。則{Fn}稱為斐波那契數列，記{Fn}:1，1，2，3，5，8,13，21，34，…,且Fn稱為斐波那契數。第20頁，課件共23頁，創作于2023年2月本問題的數學模型觀察{Fn}，不難發現，第n+l個月時的兔子可分為兩類:一類是第n個月時的兔子，另一類是當月新出生的小兔，而這些小兔數恰好是第n-1個月時兔子數(它們到第n十l個月時均可生殖)。因此{Fn}之間有如下遞推關系:Fn+1=Fn+Fn-1n=2，3,…F1=F2=1這就是本問題的數學模型,它是1634年(斐氏死后近四百年)數學家奇拉特發現的。第21頁，課件共23頁，創作于2023年2月數列的計算和性質由于該數學模型的發現，利用計算機進行簡單的編程，就可計算出任意月份兔子的對數。由于人們繼續對這個數列探討，又發現了它的許多奇特的性質（可用歸納法證明）(l)Fm+n=Fn-1Fm十FnFm+1，（m、n為自然數）(2)Fn+1Fn-1-Fn2=(-1)n(3)Fn-kFm+k-FnFm=(-1)nFm-n-kFk

(4)Fn=第22頁，課件共23頁，創作于2023年2月斐波那契(Fibonacci)數列的應用由于{Fn}的越來越多的性質和應用