2024屆山東省諸城市數學九上期末統考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．下列結論中，錯誤的有：（）①所有的菱形都相似；②放大鏡下的圖形與原圖形不一定相似；③等邊三角形都相似；④有一個角為110度的兩個等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，繪出的某一結果出現的頻率折線圖，則符合這一結果的試驗可能是（）A．拋一枚硬幣，出現正面朝上B．擲一個正六面體的骰子，出現3點朝上C．任意畫一個三角形，其內角和是360°D．從一個裝有2個紅球1個黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球3．如圖，在平面直角坐標系中，A（1，2），B（1，-1），C（2，2），拋物線y=ax2（a≠0）經過△ABC區域（包括邊界），則a的取值范圍是（）A．

或

B．

或

C．

或D．4．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，則這個方程根的情況是（）A．有兩個正根B．有一正根一負根且正根的絕對值大C．有兩個負根D．有一正根一負根且負根的絕對值大5．已知反比例函數，下列結論中不正確的是（）A．圖象經過點(-1,-1) B．圖象在第一、三象限C．當時， D．當時，y隨著x的增大而增大6．如圖，是的直徑，是的弦，已知，則的度數為（）A． B． C． D．7．在中，，另一個和它相似的三角形最長的邊是，則這個三角形最短的邊是（）A． B． C． D．8．如圖，⊙中，，則等于（）A． B． C． D．9．有一組數據：4，6，6，6，8，9，12，13，這組數據的中位數為（）A．6 B．7 C．8 D．910．已知點，，都在反比例函數的圖像上，則（）A． B． C． D．11．下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A．4個B．3個C．2個D．1個12．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉50°得△DEC，若AC⊥DE，則∠BAC等于()A．30° B．40° C．50° D．60°二、填空題（每題4分，共24分）13．已知：a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡代數式：＝_____．14．如圖，中，，，，__________．15．如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，P為切點，如果AB＝8cm，小圓直徑徑為6cm，那么大圓半徑為_____cm．16．已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，則代數式a2+b2+2ab的值是____________.17．如圖，在中，，為邊上一點，已知，，，則____________．18．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數（x＞0）與正比例函數y=kx、（k＞1）的圖象分別交于點A、B，若∠AOB＝45°，則△AOB的面積是________.三、解答題（共78分）19．（8分）某公司銷售一種新型節能產品，現準備從國內和國外兩種銷售方案中選擇一種進行銷售．若只在國內銷售，銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數關系式為y=x＋150，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設月利潤為w內（元）（利潤=銷售額－成本－廣告費）．若只在國外銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數，10≤a≤40），當月銷量為x（件）時，每月還需繳納x2元的附加費，設月利潤為w外（元）（利潤=銷售額－成本－附加費）．（1）當x=1000時，y=元/件，w內=元；（2）分別求出w內，w外與x間的函數關系式（不必寫x的取值范圍）；（3）當x為何值時，在國內銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內銷售月利潤的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要將5000件產品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在國內還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大？參考公式：拋物線的頂點坐標是．20．（8分）如圖，海中有一個小島，它的周圍海里內有暗礁，今有貨船由西向東航行，開始在島南偏西的處，往東航行海里后到達該島南偏西的處后，貨船繼續向東航行，你認為貨船在航行途中有沒有觸礁的危險．21．（8分）已知函數y＝mx1﹣（1m+1）x+1（m≠0），請判斷下列結論是否正確，并說明理由．（1）當m＜0時，函數y＝mx1﹣（1m+1）x+1在x＞1時，y隨x的增大而減??；（1）當m＞0時，函數y＝mx1﹣（1m+1）x+1圖象截x軸上的線段長度小于1．22．（10分）如圖1，在中，∠B=90°，，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接將繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為．問題發現：當時，_____；當時，_____．拓展探究：試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明．問題解決：當旋轉至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長．23．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，AC是弦，D為線段AB延長線上一點，過C，D作射線DP，若∠D=2∠CAD=45o．（1）證明：DP是⊙O的切線．（2）若CD=3，求BD的長．24．（10分）如圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點，另一邊交的延長線于點．（1）求證：；（2）如圖2，將三角板繞點旋轉，當時，連接交于點求證：；（3）如圖3，將“正方形”改為“矩形”，且將三角板的直角頂點放于對角線(不與端點重合)上，使三角板的一邊經過點，另一邊交于點，若，求的值．25．（12分）從三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.（1）如圖1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，當∠BCD=40°時，證明：CD為△ABC的完美分割線.（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以AC為底邊的等腰三角形，求∠ACB的度數.（3）如圖2，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割線，△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求CD的長.26．如圖，在中，，點為邊的中點，請按下列要求作圖，并解決問題：（1）作點關于的對稱點；（2）在（1）的條件下，將繞點順時針旋轉，①面出旋轉后的（其中、、三點旋轉后的對應點分別是點、、）；②若，則________．（用含的式子表示）

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據相似多邊形的定義判斷①⑤，根據相似圖形的定義判斷②，根據相似三角形的判定判斷③④.【題目詳解】相似多邊形對應邊成比例，對應角相等，菱形之間的對應角不一定相等，故①錯誤；放大鏡下的圖形只是大小發生了變化，形狀不變，所以一定相似，②錯誤；等邊三角形的角都是60°，一定相似，③正確；鈍角只能是等腰三角形的頂角，則底角只能是35°，所以兩個等腰三角形相似，④正確；矩形之間的對應角相等，但是對應邊不一定成比例，故⑤正確.有2個錯誤，故選B.【題目點撥】本題考查相似圖形的判定，注意相似三角形與相似多邊形判定的區別.2、D【分析】利用折線統計圖可得出試驗的頻率在0.33左右，進而得出答案．【題目詳解】解：A、拋一枚硬幣，出現正面朝上的概率為0.5，不符合這一結果，故此選項錯誤；B、擲一個正六面體的骰子，出現3點朝上為，不符合這一結果，故此選項錯誤；C、任意畫一個三角形，其內角和是360°的概率為：0，不符合這一結果，故此選項錯誤；D、從一個裝有2個紅球1個黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率為：，符合這一結果，故此選項正確．故選：D．【題目點撥】本題考查頻率估算概率,關鍵在于通過圖象得出有利信息.3、B【解題分析】試題解析：如圖所示：分兩種情況進行討論：當時，拋物線經過點時，拋物線的開口最小，取得最大值拋物線經過△ABC區域（包括邊界），的取值范圍是：當時，拋物線經過點時，拋物線的開口最小，取得最小值拋物線經過△ABC區域（包括邊界），的取值范圍是：故選B.點睛：二次函數二次項系數決定了拋物線開口的方向和開口的大小，開口向上，開口向下.的絕對值越大，開口越小.4、B【解題分析】先根據根的判別式得出方程有兩個不相等的實數根，設方程x2+bx-2=0的兩個根為c、d，根據根與系數的關系得出c+d=-b，cd=-2，再判斷即可．【題目詳解】x2+bx?2=0，△=b2?4×1×(?2)=b2+8，即方程有兩個不相等的實數根，設方程x2+bx?2=0的兩個根為c、d，則c+d=?b，cd=?2，由cd=?2得出方程的兩個根一正一負，由c+d=?b和b<0得出方程的兩個根中，正數的絕對值大于負數的絕對值，故答案選：B.【題目點撥】本題考查的知識點是根的判別式及根與系數的關系，解題的關鍵是熟練的掌握根的判別式及根與系數的關系.5、D【解題分析】根據反比例函數的性質，利用排除法求解．【題目詳解】解：A、x=-1，y==-1，∴圖象經過點（-1，-1），正確；B、∵k=1＞0，∴圖象在第一、三象限，正確；C、∵k=1＞0，∴圖象在第一象限內y隨x的增大而減小，∴當x＞1時，0＜y＜1，正確；D、應為當x＜0時，y隨著x的增大而減小，錯誤．故選：D．【題目點撥】本題考查了反比例函數的性質，當k＞0時，函數圖象在第一、三象限，在每個象限內，y的值隨x的值的增大而減?。?、C【分析】根據圓周角定理即可解決問題．【題目詳解】∵，∴．故選：C．【題目點撥】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．7、B【分析】設另一個三角形最短的一邊是x，根據相似三角形對應邊成比例即可得出結論．【題目詳解】設另一個三角形最短的一邊是x，∵△ABC中，AB＝12，BC＝1，CA＝24，另一個和它相似的三角形最長的一邊是36，∴，解得x＝1．故選：C．【題目點撥】本題考查的是相似三角形的性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．8、C【分析】直接根據圓周角定理解答即可．【題目詳解】解：∵∠ABC與∠AOC是一條弧所對的圓周角與圓心角，∠ABC=45°，

∴∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°．

故選：C．【題目點撥】本題考查的是圓周角定理，即在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．9、B【分析】先把這組數據按順序排列：4，6，6，6，8，9，12，13，根據中位數的定義可知：這組數據的中位數是6，8的平均數．【題目詳解】∵一組數據：4，6，6，6，8，9，12，13，∴這組數據的中位數是，故選：B．【題目點撥】本題考查中位數的計算，解題的關鍵是熟練掌握中位數的求解方法：先將數據按大小順序排列，當數據個數為奇數時，最中間的那個數據是中位數，當數據個數為偶數時，居于中間的兩個數據的平均數才是中位數．10、D【解題分析】根據反比例函數的解析式知圖像在二、四象限，y值隨著x的增大而減小，故可作出判斷【題目詳解】∵k0，∴反比例函數在二、四象限，y值隨著x的增大而減小，又∵，在反比例函數的圖像上，,2∴0，點在第二象限，故，∴，故選D.【題目點撥】此題主要考察反比例函數的性質，找到點在第二象限是此題的關鍵.11、B【解題分析】試題分析：A選項既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；B選項中該圖形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形；C選項中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；D選項中是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.故選B．考點:1.軸對稱圖形；2.中心對稱圖形．12、B【分析】根據旋轉的性質可求得∠ACD，根據互余關系可求∠D，根據對應角相等即可得∠BAC的大小．【題目詳解】解：依題意得旋轉角∠ACD=50°，由于AC⊥DE，由互余關系可得∠D=90°-50°=40°，由旋轉后對應角相等，得∠BAC=∠D=40°，故B選項正確．【題目點撥】本題考查了圖形的旋轉變化，要分清是順時針還是逆時針旋轉，旋轉了多少度，難度不大，但容易出錯，細心點即可．二、填空題（每題4分，共24分）13、1．【分析】根據二次根式的性質＝|a|開平方，再結合數軸確定a﹣1，a+b，1﹣b的正負性，然后去絕對值，最后合并同類項即可．【題目詳解】原式＝|a﹣1|﹣|a+b|+|1﹣b|＝1﹣a﹣（﹣a﹣b）+（1﹣b）＝1﹣a+a+b+1﹣b＝1，故答案為：1．【題目點撥】此題主要考查了二次根式的化簡和性質，正確把握絕對值的性質是解答此題的關鍵．14、18【分析】根據勾股定理和三角形面積公式得，再通過完全平方公式可得.【題目詳解】因為中，，，，所以所以所以=64+36=100所以AB+BC=10所以AC+AB+BC=8+10=18故答案為：18【題目點撥】考核知識點：勾股定理.靈活根據完全平方公式進行變形是關鍵.15、1【分析】連接OA，由切線的性質可知OP⊥AB，由垂徑定理可知AP＝PB，在Rt△OAP中，利用勾股定理可求得OA的長．【題目詳解】如圖，連接OP，AO，∵AB是小圓的切線，∴OP⊥AB，∵OP過圓心，∴AP＝BP＝AB＝4cm，∵小圓直徑為6cm，∴OP＝3cm，在Rt△AOP中，由勾股定理可得OA＝＝1（cm），即大圓的半徑為1cm，故答案為：1．【題目點撥】此題考查垂徑定理，勾股定理，在圓中垂徑定理通常與勾股定理一起運用求半徑、弦、弦心距中的一個量的值.16、1【分析】把x=1代入x2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，將其整體代入所求的代數式進行求值即可．【題目詳解】∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，∴12+a+b=0，∴a+b=﹣1.∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1.17、【分析】由題意直接根據特殊三角函數值，進行分析計算即可得出答案.【題目詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵，∴,∴.故答案為：.【題目點撥】本題考查銳角三角函數，熟練掌握三角函數定義以及特殊三角函數值進行分析是解題的關鍵.18、2【解題分析】作BD⊥x軸，AC⊥y軸，OH⊥AB（如圖），設A（x1，y1），B（x2，y2），根據反比例函數k的幾何意義得x1y1=x2y2=2；將反比例函數分別與y=kx，y=聯立，解得x1=，x2=，從而得x1x2=2，所以y1=x2，y2=x1，根據SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性質得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定義和已知條件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根據AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根據三角形面積公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+x2y2=×2+×2=2.【題目詳解】如圖：作BD⊥x軸，AC⊥y軸，OH⊥AB，設A（x1，y1），B（x2，y2），∵A、B在反比例函數上，∴x1y1=x2y2=2，∵，解得：x1=，又∵，解得：x2=，∴x1x2=×=2，∴y1=x2，y2=x1，即OC=OD，AC=BD，∵BD⊥x軸，AC⊥y軸，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴△ACO≌△BDO（SAS），∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+x2y2=×2+×2=2，故答案為：2.【題目點撥】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，反比例函數與一次函數的交點問題，全等三角形的判定與性質等，正確添加輔助線是解題的關鍵.三、解答題（共78分）19、（1）1401；（2）w外=x2＋（130-a）x；（3）a=2；（4）見解析【分析】（1）將x=1000代入函數關系式求得y，根據等量關系“利潤=銷售額-成本-廣告費”求得w內；

（2）根據等量關系“利潤=銷售額-成本-廣告費”，“利潤=銷售額-成本-附加費”列出兩個函數關系式；

（3）對w內函數的函數關系式求得最大值，再求出w外的最大值并令二者相等求得a值；

（4）根據x=3000，即可求得w內的值和w外關于a的一次函數式，即可解題．【題目詳解】解：（1））∵銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數關系式為y=x＋130，∴當x=1000時，y=-10+130=140，w內=x（y-20）-62300=1000×120-62300=1，

故答案為：140，1．（2）w內=x（y-20）-62300=x2＋12x，w外=x2＋（130）x．（3）當x==6300時，w內最大；分由題意得，解得a1=2，a2=270（不合題意，舍去）．所以a=2．（4）當x=3000時，w內=337300，w外=．若w內＜w外，則a＜32.3；若w內=w外，則a=32.3；若w內＞w外，則a＞32.3．所以，當10≤a＜32.3時，選擇在國外銷售；當a=32.3時，在國外和國內銷售都一樣；當32.3＜a≤40時，選擇在國內銷售．20、無觸礁的危險，理由見解析【分析】作高AD，由題意可得∠ACD=60°，∠ABC=30°，進而得出∠ABC=∠BAC=30°，于是AC=BC=20海里，在Rt△ADC中，利用直角三角形的邊角關系，求出AD與15海里比較即可．【題目詳解】解：過點A作ADBC，垂足為D∵∠ABC=∠ACD=∴∠BAC==∠ABC∴BC=AC=20∴=AD=20=10所以貨船在航行途中無觸礁的危險．【題目點撥】本題考查了解直角三角形的應用，解一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，正確作出高線是解題的關鍵．21、（1）詳見解析；（1）詳見解析．【分析】（1）先確定拋物線的對稱軸為直線x＝1+，利用二次函數的性質得當m＞1+時，y隨x的增大而減小，從而可對（1）的結論進行判斷；（1）設拋物線與x軸的兩交的橫坐標為x1、x1，則根據根與系數的關系得到x1+x1＝，x1x1＝，利用完全平方公式得到|x1﹣x1|＝＝＝|1﹣|，然后m取時可對（1）的結論進行判斷．【題目詳解】解：（1）的結論正確．理由如下：拋物線的對稱軸為直線，∵m＜0，∴當m＞1+時，y隨x的增大而減小，而1＞1+，∴當m＜0時，函數y＝mx1﹣（1m+1）x+1在x＞1時，y隨x的增大而減??；（1）的結論錯誤．理由如下：設拋物線與x軸的兩交的橫坐標為x1、x1，則x1+x1＝，x1x1＝，|x1﹣x1|＝＝＝＝＝|1﹣|，而m＞0，若m取時，|x1﹣x1|＝3，∴當m＞0時，函數y＝mx1﹣(1m+1)x+1圖象截x軸上的線段長度小于1不正確．【題目點撥】本題考查了二次函數的增減性問題，與x軸的交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．22、（1）①；②；（2）的大小沒有變化；（3）BD的長為：．【分析】（1）①當α=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°時，可得AB∥DE，然后根據，求出的值是多少即可．（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．（3）分兩種情況分析，A、D、E三點所在直線與BC不相交和與BC相交，然后利用勾股定理分別求解即可求得答案．【題目詳解】解：（1）①當α=0°時，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴AE=AC=5，BD=BC=4，∴．②如圖1，當α=180°時，可得AB∥DE，∵，∴．故答案為：①；②.（2）如圖2，當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如圖3，連接BD，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，∴AD=，∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴DE=AB=3，∴AE=AD+DE=，由（2），可得：，∴BD=；②如圖4，連接BD，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，∴AD=，∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴DE=AB=3，∴AE=AD-DE=，由（2），可得：，∴BD=AE=．綜上所述，BD的長為：．【題目點撥】此題屬于旋轉的綜合題．考查了、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．23、（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OC，根據等腰三角形的性質，三角形的內角和與外角的性質，證得∠OCD=90°，即可證得DP是⊙O的切線；（2）根據等腰直角三角形的性質得OB=OC=CD=3，而∠OCD=90o，最后利用勾股定理進行計算即可.【題目詳解】（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠CAD=∠ACO，

∴∠COD=2∠CAD=45°，

∵∠D=2∠CAD=45o,∴∠OCD=180°-45°-45°=90°，

∴OC⊥CD，∴DP是⊙O的切線；（2）由（1）可知∠CDO=∠COD=45o∴OB=OC=CD=3∵∠OCD=90o∴，∴BD=OD－OB=【題目點撥】本題考查了切線的性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．24、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）根據旋轉全等模型利用正方形的性質，由可證明，從而可得結論；（2）根據正方形性質可知，結合已知可得；再由（1）可知是等腰直角三角形可得，從而證明，由相似三角形性質即可得出結論；（3）首先過點作，垂足為，交AD于M點，由有兩角對應相等的三角形相似，證得，根據相似三角形的對應邊成比例，再由平行可得，由此即可求得答案．【題目詳解】（1）證明：∵在正方形ABCD中，∴，又∵，，在和中，，∴（ASA），；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴，又∵，∴，由（1）可知，∴，∴，由（1）可知是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，由（1）可知，∴．（3）解：如圖，過點作，垂足為，交AD于M點，∵四邊形ABCD為矩形，∴，，∴四邊形ABNM是矩形，∴，，∴又∵，∴，∴，∴，，又∵，∴，又∵，∴，，∵．【題目點撥】本題主要考查了相似三角形性質和判定；涉及了正方形，矩形的性質，以及全等三角形與相似三角形的判定與性質．此題綜合性較強，注意旋轉全等模型和一線三垂直模型的應用．25、（1）證明見解析；（2）∠ACB=96°；（3）CD的長為-1.【分析】（1）根據三角形內角和定理可求出∠ACB=80°，進而可得∠ACD=40°，即可證明AD=CD，由∠BCD=∠A=40°，∠B為公共角可證明三角形BCD∽△BAC，即可得結論；（2）根據等腰三角形的性質可得∠ACD=∠A=48°，根據