三角函數的誘導公式【教學內容及學情分析】本節課的教學內容是誘導公式（二）、（三）、（四），在此之前，學生已學習了角的概念的推廣、弧度制、任意角三角函數的定義及同角三角函數之間的關系，學生已初步學會在單位圓中用任意角的三角函數的定義分析解決簡單的問題（如推導同角三角函數基本關系）.初中雖然已經學習了銳角三角函數，但是銳角已經難以解釋生活中的一些現象，因此需要將角擴充到任意角，但是隨之而來的問題是該怎么求任意角的三角函數值，因此需要研究任意角的三角函數求值的基本方法，這是三角函數中的重要問題之一.本節課的教學要緊扣任意角的三角函數的定義，利用單位圓的對稱性，通過兩個角的終邊的對稱關系，揭示相關角之間的三角函數值的關系，從而把求任意角的三角函數值問題轉化為求0°到90°的三角函數值問題.【教學目標設計】普通高中數學課程標準要求能“借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式（的正弦、余弦、正切）”.本節課中學生應掌握角、的正弦、余弦和正切的誘導公式，能理解公式的探求思路，能正確地運用誘導公式（一）、（二）、（三）、（四）將任意角化為銳角并求出或查表其正弦、余弦和正切值.學生應經歷如下知識發生發展過程：首先，本節課的知識生長點是什么，即為什么要研究任意角的三角函數值的求法；其次，研究的方法什么，即回到任意角的三角函數的定義，結合角與角的終邊的對稱關系得到兩個角的三角函數的關系；再次，突破公式中的任意性這個難點，找到函數名變化和符號變化的規律，得到公式的記憶訣竅；最后，體會并逐步加強對誘導公式的理解，即誘導公式實質上體現了三角函數的周期性、對稱性和奇偶性.通過學習本部分內容，學生應初步學會回歸定義，體會運用數形結合、化歸、類比、特殊到一般的數學思想探究問題的過程.【教學重點、難點分析】本節課的教學重點是理解并掌握誘導公式，運用誘導公式把任意角的三角函數值問題轉化為的角的三角函數值問題.教學難點是公式的推導方法與記憶法則.教學中要緊扣任意角的三角函數的定義和角的終邊的對稱性發現并推導公式，引導學生從函數名變化和符號變化的規律中找到記憶方法，要突破的任意性對公式記憶的障礙，說明取銳角和取任意角時公式記憶方法的一致性.【教學策略分析】從教學任務來看，本節課屬新授課，以傳授新知識、教給新方法、發展新能力為主要任務，教學中應以“規律學習”為中心內容.因此教學過程中注重以“探究法”教學為主，創設情境，引導學生自主探索，合作探究，努力讓每一位同學參與到新知識的發生發展過程中去.教學內容設計上，精心做好對知識生成的過程性鋪墊，設計認知沖突，激發學生興趣.加強對學生學習難點的分解設計，層層推進.教學技術手段上，充分媒體軟件，動態改變角的終邊位置，從而體現角的終邊的對稱關系，便于學生借助單位圓直觀判斷任意角與、的終邊的位置關系，感受誘導公式的本質，加深對公式的理解.【教學過程】：（一）情景引入（引發認知沖突，激發學習興趣）如圖所展示的圖片是天津之眼，是一座跨河建設，橋輪合一的摩天輪，兼具觀光和交通功能，是世界上唯一建設在橋上的摩天輪.在乘坐摩天輪的過程中，隨著摩天輪的旋轉即角變化，我們離地面的高度對應變化，其實，在這種一圈一圈轉動的運動形式背后，也蘊涵了豐富的數學內涵（如：對稱性、周期性），下面我們先看一個具體的數學問題：【教師提問1】：如圖，摩天輪軸心為，軸心到地面距離為，軸半徑設為1，當我們乘坐摩天輪從點逆時針運動到時，旋轉角，此時距離地面高度為多少？摩天輪繼續轉動，你能用任意時刻的旋轉角表達離地高度h嗎？【教師提問2】：你能用任意時刻的旋轉角x表示離地高度h嗎？設計意圖：體會生活中的周期現象，初步學會用三角知識刻畫周期變化規律；通過分析，學生發現要求高度h，只需求出角（任意角）的正弦即可；初步學會抽象實際問題成數學問題的基本方法；激發認知沖突，引出本課課題.（二）問題探究【教師提問3】：已知，你還能求哪些角度的正弦值？請給出理由.（注：教師根據情況啟發學生，引導學生回顧三角函數定義，發現的值即角的終邊與單位圓交點的縱坐標）【學生探究1】：單位圓中數形結合發現角的終邊有對稱性，由此猜測還可以求上述角的正弦值.【教師提問4】：上述結論中的可以換成任意銳角嗎？【學生探究2】：根據任意角三角函數定義，結合對應角的終邊的對稱性，發現對任意銳角均有如下結論成立：,,.【教師提問5】：當為任意角時以上四組公式還成立嗎？為什么？【學生探究3】：由前面的分析方法知，當為任意角時以上四組公式還成立.（注：選擇一種情況比如為第二象限角時作簡要分析，學生演示，其余情況留給學生課下驗證）【教師提問6】：對任意角如下結論還成立嗎?,,.,,.【學生探究4】：學生結合余弦、正切的定義，利用上述方法得到結論：上述結論均成立.設計意圖：通過特殊角度終邊的對稱關系，結合正弦定義得到初步結論，掌握回到正弦的定義證明結論的基本方法，再由特殊到一般得到一系列猜想并證明，初步體會終邊關于原點、軸、軸對稱的兩個角的三角函數的關系.同時將角推廣到任意范圍，層層遞進，逐步加強學生對對稱性的認識.（三）總結發現【教師提問7】：利用角與、的終邊的對稱關系，我們得到以上三組結論，加上終邊相同的角的同名三角函數值相同，一共四組結論，它們對解決相關數學問題和后續學習有什么意義呢？通過分析公式特征，學生發現上述幾組結論可以將終邊位于第二、三、四象限的角的三角函數值問題轉化為求銳角三角函數值的問題.教師順勢點題.【教師總結點題】：我們初中就學習過銳角和銳角三角函數，但是的角已經難以解釋生活中的一些現象，如跳水運動員向前翻騰三周半等等，因此必須對角進行擴充，可是角一旦擴充成了任意角，就像龍中之虎放歸大山，然而放虎容易收虎難！既然能將銳角擴充到任意角，就必然隨之準備好將任意角重新“收縮”到銳角的手段，這個手段就是我們今天得到的上述幾組結論，以它們為工具“誘使”、“引導”任意角重新回籠，化為銳角，所以我們稱此公式為“誘導公式”.【教師提問8】：你能找到上述四組公式的記憶法則嗎？請用簡潔的語言概括這四組公式.【學生探究5】：學生小組討論，交流觀點，共同尋找公式規律.（注：如果學生遇到障礙，教師可嘗試先選定一組同名三角誘導公式，比如,,讓學生觀察，并指導學生從函數名變化與符號變化的兩個角度尋求規律）公式記憶法則可以歸納為一句話：函數名不變，符號看象限.【教師提問8】：當為任意角時以上四組公式還成立嗎？為什么？同前面的分析方法知，當為任意角時以上四組公式還成立.（注：教師可選擇一種情況比如為第二象限角時作簡要分析，配合動畫演示，其余情況留給學生課下驗證）設計意圖：讓學生領悟誘導公式對后續學習與研究的巨大意義，點明本節課的課題并說明公式名稱的由來，加強學生對學習誘導公式必要性的認識；公式記憶是學習誘導公式的必經環節，讓學生弄清口訣“函數名不變，符號看象限”的具體含義，簡要分析并得到結論：當為任意角時以上四組公式還成立且將看作銳角時跟為任意角時的符號規律一致.（四）知識應用：【情景引入中的摩天輪問題解決】（學生講解，教師點評）【教師提問9】：當摩天輪繼續轉動，現在你能計算當時對應高度h的值嗎？當呢？【練習】：計算下列角的三角函數值，總結解題方法.(1)(2)學生展示計算過程和計算結果，得到運用誘導公式求三角函數值的一般方法與步驟：負化正，大化小，化到銳角才算了.設計意圖：具體運用公式解決實際問題，初步體會感知并總結運用誘導公式求三角函數值的一般方法與步驟，讓學生形成歸納總結的習慣.（五）課堂小結（1）本節課我們探究學習了哪些知識？它們有何意義與作用？運用誘導公式求解三角函數值的一般步驟與方法是什么？