探索勾股定理第一章勾股定理第2課時導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)

1.學(xué)會用幾種方法驗(yàn)證勾股定理．（重點(diǎn)）2.能夠運(yùn)用勾股定理解決簡單問題．（重點(diǎn)，難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入新課觀察與思考

活動：請你利用自己準(zhǔn)備的四個全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形．

有不同的拼法嗎？講授新課勾股定理的驗(yàn)證一

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，驗(yàn)證的方法有400多種，你有自己的方法嗎？問題：上節(jié)課我們認(rèn)識了勾股定理，你還記得它的內(nèi)容嗎？那么如何驗(yàn)證勾股定理呢？aaaabbbbcccc方法小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，再進(jìn)行整式運(yùn)算，從理論上驗(yàn)證了勾股定理．

驗(yàn)證方法一：畢達(dá)哥拉斯證法大正方形的面積可以表示為

;也可以表示為.(a+b)2c2+4?ab∵(a+b)2=

c2+4?ab

a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2cabcab

驗(yàn)證方法二：趙爽弦圖bcabc大正方形的面積可以表示為

;也可以表示為.∵

c2=4?ab+(b-a)2

=2ab+b2-2ab+a2

=a2+b2∴a2+b2=c2c24?ab+(b-a)2bcabcaABCD如圖，梯形由三個直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式,得化簡,得

驗(yàn)證方法三：美國總統(tǒng)證法abc青入青方青出青出青入朱入朱方朱出青朱出入圖課外鏈接abcABCDEFO達(dá)·芬奇對勾股定理的證明ⅠⅡAaBCbDEFOⅠⅡA′B′C′D′E′F′

如圖，過A點(diǎn)畫一直線AL使其垂直于DE，并交DE于L，交BC于M.通過證明△BCF≌△BDA，利用三角形面積與長方形面積的關(guān)系，得到正方形ABFG與矩形BDLM等積，同理正方形ACKH與矩形MLEC也等積，于是推得歐幾里得證明勾股定理推薦書目議一議觀察下圖,用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2.勾股定理的簡單應(yīng)用二例1：我方偵查員小王在距離東西向公路400m處偵查，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m,10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎?公路BCA400m500m解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，即5002=BC2+4002，所以，BC=300.敵方汽車10s行駛了300m,那么它1h行駛的距離為300×6×60=108000（m）即它行駛的速度為108km/h.練一練1.湖的兩端有A、Ｂ兩點(diǎn)，從與ＢA方向成直角的BC方向上的點(diǎn)C測得CA=130米,CB=120米,則AB為（)ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?AABC2.如圖,太陽能熱水器的支架AB長為90cm,與AB垂直的BC長為120cm.太陽能真空管AC有多長?解：在Rt△ABC中,由勾股定理,

得AC2=AB2+BC2，AC2=902+1202，

AC=150(cm).答:太陽能真空管AC長150cm.例2：如圖，高速公路的同側(cè)有A，B兩個村莊，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.現(xiàn)要在高速公路上A1、B1之間設(shè)一個出口P，使A，B兩個村莊到P的距離之和最短，求這個最短距離和．解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，交A1B1于P點(diǎn)，連BP.則AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P點(diǎn)即為到點(diǎn)A，B距離之和最短的點(diǎn)．過點(diǎn)A作AE⊥BB′于點(diǎn)E，則AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km，故出口P到A，B兩村莊的最短距離和是10km.變式：如圖，在一條公路上有A、B兩站相距25km，C、D為兩個小鎮(zhèn)，已知DA⊥AB,CB⊥AB,DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在公路邊上建設(shè)一個加油站E，使得它到兩鎮(zhèn)的距離相等，請問E站應(yīng)建在距A站多遠(yuǎn)處?DAEBC151025-x當(dāng)堂練習(xí)1.在直角三角形中，滿足條件的三邊長可以是

．(寫出一組即可)【解析】答案不唯一，只要滿足式子a2+b2=c2即可.答案：3，4，5（滿足題意的均可）2.如圖，王大爺準(zhǔn)備建一個蔬菜大棚，棚寬8m，高6m，長20m，棚的斜面用塑料薄膜遮蓋，不計(jì)墻的厚度，陽光透過的最大面積是_________.200m23.如圖,一根旗桿在離地面9m處折斷,旗桿頂部落在離旗桿底部12m處.旗桿原來有多高?12m9m解：設(shè)旗桿頂部到折斷處的距離為xm，根據(jù)勾股定理得解得x=15,15+9=24(m).答：旗桿原來高24m.4.如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖中的四邊形ABCD），經(jīng)測量，在四邊形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，∠B=∠ACD=90°．小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米100元，試問鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元？解：在Rt△ABC中,由勾股定理,

得AC2=AB2+BC2，∴AC=5m，在Rt△ACD中,由勾股定理,

得CD2=AD2－AC2，∴CD=12m，S草坪=SRt△ABC+SRt△ACD=AB?BC+AC?DC=(3×4+5×12)=36m2．故需要的費(fèi)用為36×100=3600元．5.如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的F點(diǎn)處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.DABCEF解：在Rt△ABF中,由勾股定理,

得BF2=AF2－AB2=102－82BF=6(cm).∴CF=BC－BF=4.設(shè)EC=x

，則EF=DE=8－x

，在Rt△ECF中,根據(jù)勾股定理,得

x2+42=(8－x)2解得x=3.所以EC的長為3cm.探索勾股定理勾股定理的驗(yàn)證課堂小結(jié)勾股定理的簡單運(yùn)用探索勾股定理

第1課時第一章勾股定理

1如圖，從電線桿離地面8m處向地面拉一條鋼索，如果這條鋼索在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部6m，那么需要多長鋼索？情景導(dǎo)入2觀察下面地板磚示意圖：你能發(fā)現(xiàn)圖中三個正方形的面積之間存在什么關(guān)系嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？活動1：任畫一個直角三角形，分別度量三條邊，把長度標(biāo)在圖形中，并計(jì)算三邊的平方，把結(jié)果填在表格中.a2b2c21234觀察表格數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？畫一畫cba獲取新知

活動2：請看下圖，等腰直角三角形三邊的平方分別是多少？它們滿足猜想的數(shù)量關(guān)系嗎？

你是如何計(jì)算的？ABCABCABCABC思考：在這幅圖中，邊長的平方如何刻畫？用正方形A，B，C的面積刻畫，就是證SA+SB=SC.我們的猜想如何驗(yàn)證？cbaABCABC請想辦法計(jì)算左邊圖形中A，B，C的面積.你用什么辦法計(jì)算C的面積呢？SA=9

SB=9SC=18數(shù)格子驗(yàn)證法1方法：可把正方形C分成兩個全等的等腰直角三角形，可求得正方形C的面積為18.割CBA還可以用什么辦法計(jì)算C的面積呢？驗(yàn)證法2方法：可把正方形C分成四個全等的等腰直角三角形，可求得正方形C的面積為18.割CBA還可以用什么辦法計(jì)算C的面積呢？驗(yàn)證法2方法：可把正方形C分成四個全等的等腰直角三角形，可求得正方形C的面積為18.割CBA還可以用什么辦法計(jì)算C的面積呢？驗(yàn)證法3方法：可在正方形C外邊圈一個大正方形用大正方形的面積減去4個直角三角形的面積，即可求得正方形C的面積為18.補(bǔ)CBA還可以用什么辦法計(jì)算C的面積呢？CBASA=9

SB=9SC=18由以上計(jì)算A，B，C三個圖形的面積，我們能得到什么結(jié)論？SA+SB=SCcba以上的三角形具有特殊性，都是等腰直角三角形，一般直角三角形是否有這個關(guān)系，你還能驗(yàn)證嗎？

活動3：看下圖，驗(yàn)證是否滿足補(bǔ)結(jié)論：SA+SB=SC即：CBACBACBACBA為什么不用數(shù)格子的方法？結(jié)論：SA+SB=SC即：活動3：看下圖，驗(yàn)證是否滿足勾股定理刻畫了直角三角形三邊的平方關(guān)系，你能用語言描述嗎？我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.通過以上探索可以發(fā)現(xiàn)：即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.在Rt△ABC中，直角邊分別是a，b，斜邊是c，則：說明：勾股定理的應(yīng)用條件是在直角三角形中；勾股定理是刻畫直角三角形三邊平方的關(guān)系.勾股定理：勾股定理刻畫了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，由“形”定“數(shù)”，有“數(shù)與形的第一定理”的美稱，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，它能解決哪些問題呢？題型一：在直角三角形中已知兩邊求第三邊1.求出下列三角形中未知邊的長度.（1）（2）解：（1）由勾股定理得：x2=62+82=100.x86y135因?yàn)閤>0，所以x=10.（2）由勾股定理得：y2=132－52=144.因?yàn)閥>0，所以y=12.隨堂演練

2.強(qiáng)大的臺風(fēng)使得一個旗桿在離地面9m處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，請問旗桿折斷之前有多高？在直角三角形中，任意兩條邊確定了，另一邊確定嗎？為什么？怎么解答這道題呢？強(qiáng)大的臺風(fēng)使得一個旗桿在離地面9m處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，請問旗桿折斷前有多高？解：設(shè)旗桿折斷前有xm，由勾股定理得：（x－9）2=122+92因?yàn)閤－9>0，所以x－9=15，所以x=24.3.求出下列字母所代表的正方形的面積.正方形A面積為625正方形B面積為144B