11.3.2多邊形的內角和第十一章三角形PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版數學（初中）（八年級上）

前言學習目標1.理解多邊形、正多邊形以及多邊形的內角、外角、對交線等概念。2.會用不同的方法探索多邊形的內角和，并能利用多邊形內角和公式解決問題。重點難點重點：探索多邊形的內角和。難點：探索多邊形內角和時，如何把多邊形轉化為三角形。三角形的內角和為_______

長方形的內角和為_______

任意四邊形的內角和為_______

180°360°？思考ABCD1234連接四邊形的任意對角線，將其分為兩個三角形，而三角形的內角和為180°，那么任意四邊形的內角和是360°嗎？證明：在四邊形ABCD中，連接對角線BC，則四邊形ABCD被分為△ABC和△BCD兩個三角形。由此可得，∠A+∠ABD+∠D+∠ACD=∠A+∠4+∠3+∠D+∠2+∠1=(∠A+∠3+∠1)+(∠D+∠2+∠4)而∠A+∠3+∠1=180°

∠D+∠2+∠4=180°所以∠A+∠ABD+∠D+∠ACD=180°+180°=360°通過三角形內角和定理任意四邊形內角和是360°證明思考ABCDE證明:任意五邊形的內角和等于540°通過任意頂點連接對角線，將五邊形分為三個三角形。證明:任意五邊形的內角和等于720°通過任意頂點連接對角線，將六邊形分為

個三角形。思考四邊形從一個頂點出發，能引出__條對角線，內角和為____五邊形從一個頂點出發，能引出__條對角線，內角和為____六邊形從一個頂點出發，能引出__條對角線，內角和為____n邊形從一個頂點出發，能引出____條對角線，內角和為____

……123n-3360°540°720°（n-2）×180°多邊形內角和公式=（n-2）×180°思考你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎？ABCD1234ABCDABCDn邊形內角和：（n-1）×180°-180°n邊形內角和：n×180°-360°擴展例1：求八邊形的內角和的度數。解：（n－2）×180°＝（8－2）×180°＝1080°答：八邊形的內角和為1080°。課堂測試例2：填空

（1）十二邊形的內角和等于

。

（2）已知一個多邊形的內角和等于2340°，它的邊數是

。

（3）小明在計算多邊形的內角和時求得的度數是1000°，他的答案正確嗎？為什么？

1800°15（n-1）×180°=1000°

課堂測試（4）已知四邊形4個內角的度數比是1︰2︰3︰4，那么這個四邊形中最大角的度是

。（5）一個五邊形的三個內角是直角，另兩個內角都是n°，則n=

。（6）六角螺母的面是六邊形，它的內角都相等，則這個六邊形的每個內角是

。（7）在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補，那么∠B

與∠D有什么關系呢？為什么？144°135120°互補課堂測試例3.過多邊形一個頂點的所有對角線將這個多邊形分成3個三角形,求:1）這個多邊形的邊數.2）這個多邊形內角和的度數.解：根據題意，

對角線將這個多邊形分成3個三角形。

所以該多邊形是5邊形則（5-2）×180°=540°課堂測試123456在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形外角和。問題1：任何一個外角同與它相鄰的內角有什么關系？互補多邊形外角和的理解123456在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形外角和。問題2：六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內角，所得總和是多少？單個外角和它相鄰的內角和為180°，所以六邊形6個外角與它們相鄰內角和為6×180°=1080°多邊形外角和的理解123456在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形外角和。問題3：上述總和與六邊形的內角和、外角和有什么關系？6×180°-（n-2）×180°=360°多邊形外角和的理解n邊形的外角和是多少度呢?因為多邊形的外角與它相鄰的內角是鄰補角，所以n邊形的外角和加內角和等于n·180°，而內角和為(n－2)·180°,外角和為：n·180°－(n－2)·180°=360°.結論:多邊形的外角和都等于360°.思考將左側的五邊形不斷縮小后，形成右邊圖形。由各線段組成夾角和為一個周角，所以多邊形內角和為360°思考動態演示例4：一個多邊形的內角和等于它的外角和的4倍，它是幾邊形？解：設它是n邊形，則(n-2).180=4×360解得：n=10答：這個多邊形是十邊形課堂測試例5.如果一個多邊形的每一個外角等于30°,則這個多邊形的邊數是多少？解：由題意得，多邊形的內角為150°， n邊形的內角和為150°×n

則（n-2）×180°=150°×n

即n=12課堂測試例6.有一六邊形，截去一個三角形，內角和會發生怎樣變化？請畫圖說明。內角和減少180O內角和不變內角和增加180O變為五邊形邊數不變變為七邊形提高感謝各位的仔細聆聽PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版數學（初中）（八年級上）多邊形的內角和

回憶長方形、正方形的內角和等于______.360°

思考任意一個四邊形的內角和是否也等于360°呢？問題情境

探究1你能利用三角形內角和定理證明你的結論嗎？證明：連接對角線AC，∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=（∠BAC+∠BCA+∠B）+（∠DAC+∠DCA+∠D），=180°+180°=360°．ABCD已知：如圖，在四邊形ABCD中.合作探究探究2你能利用三角形內角和定理證明你的結論嗎？從四邊形的一個頂點出發，可以作_____條對角線，它們將四邊形分為

個三角形，四邊形的內角和等于180°×____=

°．122360ABCDABCDE

探究3

類比前面的過程，你能探索五邊形的內角和嗎？六邊形呢？如圖，從五邊形的一個頂點出發，可以作

條對角線，它們將五邊形分為____個三角形，五邊形的內角和等于

180°×

=

°．233540如圖，從六邊形的一個頂點出發，可以作_____條對角線，它們將六邊形分為_____個三角形，六邊形的內角和等于180°×____=_______°．344720CABDEF思考

你能從四邊形、五邊形、六邊形……的內角和的研究過程獲得啟發，發現多邊形的內角和與邊數的關系嗎？能證明你發現的結論嗎？n邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內角和分割出三角形的個數從多邊形的一個頂點引出的對角線條數圖形邊數······03-3=4-3=5-3=6-3=n-31233-2=14-2=25-2=36-2=4n-2（

n-2）·180o180o360o

540o720o························歸納從n邊形的一個頂點出發，可以作（n-3）條對角線，它們將n邊形分為（n-2）個三角形，這（n-2）個三角形的內角和就是n邊形的內角和，所以，n邊形的內角和等于（n-2）×180°．

例1

填空.

（1）十邊形的內角和為

°．（2）已知一個多邊形的內角和為1080°，則它的邊數為______．14408練習鞏固解：如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°．∵∠A+∠B+∠C+∠D

=（4-2）×180°

=360°，∴∠B+∠D

=360°-（∠A+∠C）

=360°-180°

=180°．

例2

如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？ABCD如果四邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補.問題1

我們知道，三角形的內角和是180°，三角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有多種方法．如圖，你能說說怎樣由外角與相鄰內角互補的關系得出這個結論嗎？ＡBCDEF123探究新知

由

∠1+∠BAE=180°，∠2+∠CBF=180°，

∠3+∠ACD=180°，

得

∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°．

由

∠1+∠2+∠3=180°，得

∠BAE+∠CBF+∠ACD

=540°-180°=360°．ＡBCDEF123由∠BAD+∠1=180°，∠ABC+∠2=180°，∠BCD

+∠3=180°，∠ADC+∠4=180°，得∠BAD+∠1+∠ABC

+∠2+∠BCD

+∠3+∠ADC+∠4=180°×4．由∠BAD+∠ABC+∠BCD

+∠ADC

=180°×2，得∠1+∠2+∠3+∠4=180°×4-180°×2=360°．問題2如圖，你能仿照上面的方法求四邊形的外角和嗎？ＡBC123D4問題3

五邊形的外角和等于多少度？六邊形呢？

仿照上面的方法試一試．5×180°-（5-2）×180°=2×180°=360°6×180°-（6-2）×180°=2×180°=360°類比求三角形、四邊形的外角和的方法求出五邊形的外角和是360°，六邊形的外角和是360°．問題4

你能仿照上面的方法求n邊形（n是不小于3的任意整數）的外角和嗎？

因為n邊形的每個內角與它相鄰的外角是鄰補角，它們的和是180°，所以n邊形內角和加外角和等于n·180°，所以，n邊形的外角和為：

n·180°-（n-2）·180°=360°．任意多邊形的外角和等于360°．我們也可以在問題4的基礎上這樣理解多邊形外角和等于360°．如圖，從多邊形的一個頂點A出發，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然后轉向出發的方向．A在行程中轉過的各個角的和，就是多邊形的外角和．由于走了一周，所轉過的各個角的和等于一個周角，所以多邊形外角和等于360°．A解：設這個多邊形為n邊形，根據題意，可列方程

（n-2）×180°=3×360°．

解得n=8．

答：它是八邊形．例3

一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？精講例題x=65

1.求出下列圖形中x

的值.x=60

x=95

隨堂練習2.下列各個度數中，不可能是多邊形的內角和的是（）A.600°B.720°C.900°D.1080°3.若多邊形的邊數由3增加到5，則