灰色預測模型及其應用數學建模-灰色預測模型(

灰色預測模型（GrayForecastModel）是通過少量的、不完全的信息，建立數學模型并做出預測的一種預測方法.當我們應用運籌學的思想方法解決實際問題，制定發展戰略和政策、進行重大問題的決策時，都必須對未來進行科學的預測.預測是根據客觀事物的過去和現在的發展規律，借助于科學的方法對其未來的發展趨勢和狀況進行描述和分析，并形成科學的假設和判斷.數學建模-灰色預測模型(灰色系統理論是研究解決灰色系統分析、建模、預測、決策和控制的理論.灰色預測是對灰色系統所做的預測.目前常用的一些預測方法（如回歸分析等），需要較大的樣本.若樣本較小，常造成較大誤差，使預測目標失效.灰色預測模型所需建模信息少，運算方便，建模精度高，在各種預測領域都有著廣泛的應用，是處理小樣本預測問題的有效工具.數學建模-灰色預測模型(1灰色系統的定義和特點灰色系統的模型Sars

疫情4銷售額預測5城市道路交通事故次數的灰色預測6城市火災發生次數的灰色預測7災變與異常值預測數學建模-灰色預測模型(1灰色系統的定義和特點數學建模-灰色預測模型(灰色系統的定義和特點

灰色系統理論是由華中理工大學鄧聚龍教授于1982年提出并加以發展的。二十幾年來，引起了不少國內外學者的關注，得到了長足的發展。目前，在我國已經成為社會、經濟、科學技術在等諸多領域進行預測、決策、評估、規劃控制、系統分析與建模的重要方法之一。特別是它對時間序列短、統計數據少、信息不完全系統的分析與建模，具有獨特的功效，因此得到了廣泛的應用.在這里我們將簡要地介紹灰色建模與預測的方法.數學建模-灰色預測模型(一、灰色系統的定義和特點

1.灰色系統的定義

灰色系統是黑箱概念的一種推廣。我們把既含有已知信息又含有未知信息的系統稱為灰色系統.作為兩個極端，我們將稱信息完全未確定的系統為黑色系統；稱信息完全確定的系統為白色系統.區別白色系統與黑色系統的重要標志是系統各因素之間是否具有確定的關系。數學建模-灰色預測模型(1灰色系統的定義和特點

2.灰色系統的特點（1）用灰色數學處理不確定量，使之量化.（2）充分利用已知信息尋求系統的運動規律.（3）灰色系統理論能處理貧信息系統.數學建模-灰色預測模型(1灰色系統的定義和特點

常用的灰色預測有五種：

（1）數列預測，即用觀察到的反映預測對象特征的時間序列來構造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。（2）災變與異常值預測，即通過灰色模型預測異常值出現的時刻，預測異常值什么時候出現在特定時區內。（3）季節災變與異常值預測，即通過灰色模型預測災變值發生在一年內某個特定的時區或季節的災變預測。（4）拓撲預測，將原始數據作曲線，在曲線上按定值尋找該定值發生的所有時點，并以該定值為框架構成時點數列，然后建立模型預測該定值所發生的時點。（5）系統預測.通過對系統行為特征指標建立一組相互關聯的灰色預測模型，預測系統中眾多變量間的相互協調關系的變化。數學建模-灰色預測模型(2灰色系統的模型數學建模-灰色預測模型(

在灰色系統理論中，把一切隨機變量都看作灰色數，即使在指定范圍內變化的所有白色數的全體，對灰數處理主要是利用數據處理的方法去尋求數據間的內在規律，通過對已知數據列中的數據進行處理而產生新的數據列，以此來研究尋求數據的規律性，這種方法稱為數據的生成。常用的方法有：累加生成累減生成均值生成數學建模-灰色預測模型(1）累加生成把數列各時刻數據依次累加的過程稱為累加生成過程，記為AGO，有累加生成過程所得到的新數列稱為累加生成數列。設原始數列為，令則稱為數列的1次累加生成，數列稱為數列的1次累加生成數列。類似有數學建模-灰色預測模型(稱之為的r次累加生成，記

稱之為的r次累加生成數列數學建模-灰色預測模型(2）累減生成對于原始數據列依次做前后相鄰的兩個數據相減的運算過程稱為累減生成過程，記為IAGO，設原始數列為，令則稱為數列的1次累減生成一般地，對于r次累加生成數列則稱為數列的r次累減生成2）累減生成數學建模-灰色預測模型(3）均值生成設原始數列則稱與為數列的鄰值，為后鄰值，為前鄰值。對于常數，則稱為有數列的鄰值在生成系數（權）下的鄰值生成數特別地，當生成系數時則稱為鄰均值生成數，即等權鄰值生成數數學建模-灰色預測模型(2灰色系統的模型

通過下面的數據分析、處理過程，我們將了解到，有了一個時間數據序列后，如何建立一個基于模型的灰色預測。

1.數據的預處理首先我們從一個簡單例子來考察問題.

【例7.1】設原始數據序列數學建模-灰色預測模型(7.2灰色系統的模型對數據累加

于是得到一個新數據序列數學建模-灰色預測模型(7.2灰色系統的模型

歸納上面的式子可寫為稱此式所表示的數據列為原始數據列的一次累加生成，簡稱為一次累加生成.顯然有

將上述例子中的

分別做成圖7.1、圖7.2.可見圖7.1上的曲線有明顯的擺動，圖7.2呈現逐漸遞增的形式，說明原始數據的起伏已顯著弱化.可以設想用一條指數曲線乃至一條直線來逼近累加生成數列

數學建模-灰色預測模型(7.2灰色系統的模型圖7.2圖7.1為了把累加數據列還原為原始數列，需進行后減運算或稱相減生成，它是指后前兩個數據之差，如上例中數學建模-灰色預測模型(7.2灰色系統的模型歸納上面的式子得到如下結果：一次后減其中數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(白化定義數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(7.2灰色系統的模型3.精度檢驗(1)殘差檢驗：分別計算數學建模-灰色預測模型(7.2灰色系統的模型（3）預測精度等級對照表，見表7.1.

數學建模-灰色預測模型(7.2灰色系統的模型注：由于模型是基于一階常微分方程建立的，故稱為一階一元灰色模型，記為GM(1,1).須指出的是，建模時先要作一次累加，因此要求原始數據均為非負數.否則，累加時會正負抵消，達不到使數據序列隨時間遞增的目的.如果實際問題的原始數據列出現負數，可對原始數據列進行“數據整體提升”處理.注意到一階常微分方程是導出GM(1,1)模型的橋梁，在我們應用GM(1,1)模型于實際問題預測時，不必求解一階常微分方程。數學建模-灰色預測模型(7.2灰色系統的模型4.GM(1,1)的建模步驟綜上所述，GM(1,1)的建模步驟如下：數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(數學建模-灰色預測模型(銷售額預測數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測

隨著生產的發展、消費的擴大，市場需求通常總是增加的，一個商店、一個地區的銷售額常常呈增長趨勢.因此，這些數據符合建立灰色預測模型的要求。

【例7.2】表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的銷售額.試用建立預測模型，預測2004年的銷售額，要求作精度檢驗。數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測

表7.2逐年銷售額（百萬元）年份19992000200120022003序號12345

2.8743.2783.3373.3903.679

【例7.2】表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的銷售額.試用建立預測模型，預測2004年的銷售額，要求作精度檢驗。數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測

解（1）由原始數據列計算一次累加序列，結果見表7.3.

表7.3一次累加數據年份19992000200120022003序號123452.8743.2783.3373.3903.6792.8746.1529.48912.87916.558數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測（2）建立矩陣：數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測下面我們用用GM預測軟件求解例7.2.參考附錄B（1）調用GM預測軟件.見圖7.3.圖7.3數學建模-灰色預測模型(

7.3銷售額預測（2）在“文件”菜單中打開“新建問題”，見到數據輸入界面.見圖7.4.

數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測（3）輸入題目名稱及元素個數后，點擊“下一步”鍵，得到原始數據序列的輸入表格.見圖7.5.

數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測（4）點擊“運行”鍵，輸出分析數據如下：題目:123原始數列(5個):2.874，3.278，3.337，3.39，3.679預測結果如下：[1]dx/dt+ax=u：a=-0.03720438，u=3.06536331[2]時間響應方程：

X(k+1)=85.2665*exp(0.0372k)-82.3925[3]殘差E(k)：(1)0.00000000(2)0.04596109(3)-0.01754976(4)-0.09170440(5)0.06532115[4]第一次累加值:(1)2.874000(2)6.152000(3)9.489000(4)12.879000(5)16.558000[5]相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)0.01402108(3)-0.00525914(4)-0.02705145(5)0.01775514

數學建模-灰色預測模型(7.3銷售額預測[6]原數據均值avg(x)：3.31160000[7]原數據方差S(1)：0.25861060[8]殘差的均值avg(E)：0.00050702[9]殘差的方差S(2)：0.06143276[10]后驗差比值:C：0.23754928[11]小誤差概率P：1.00000000[12]模型計算值X^(k)：(1)2.87400000(2)3.23203891(3)3.35454976(4)3.48170440(5)3.61367885[13]預測的結果X*(k)：(1)3.75065581(2)3.89282490(3)4.04038293(4)4.19353416(5)4.35249061(6)4.51747233預測精度等級：好！

數學建模-灰色預測模型(7.4城市道路交通事故次數的灰色預測數學建模-灰色預測模型(7.4城市道路交通事故次數的灰色預測灰色理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定問題為研究對象,通過對“部分”已知的信息的生成開發,提取有價值的信息,構造生成序列的手段來尋求現實現象中存在的規律。交通事故作為一個隨機事件,其本身具有相當大的偶然性和模糊性,如果把某地區的道路交通作為一個系統來看，則此系統中存在著一些確定因素(灰色系統稱為白色信息),如道路狀況、信號標志,同時也存在一些不確定因素(灰色系統稱為灰色信息)如車輛狀況、氣候因素、駕駛員心理狀態等等,具有明顯的不確定性特征。因此可以認為一個地區的道路交通安全系統是一個灰色系統,可以利用灰色系統理論進行研究。數學建模-灰色預測模型(7.4城市道路交通事故次數的灰色預測【例7.3】某市2004年1-6月的交通事故次數統計見表7.5.試建立灰色預測模型.

表7.5交通事故次數統計解利用GM預測軟件計算，輸出分析數據如下：原始數列(元素共6個):83，95，130，141，156，185預測結果如下：數學建模-灰色預測模型(7.4城市道路交通事故次數的灰色預測[1]dx/dt+ax=u：a=-0.14401015，u=84.47278810[2]時間響應方程：X(k+1)=669.5752*exp(0.1440k)-586.5752[3]殘差E(k)：(1)0.00000000(2)-8.71441263(3)10.22065739(4)2.66733676(5)-3.75981586(6)0.49405494[4]第一次累加值:(1)83.000000(2)178.000000(3)308.000000(4)449.00000(5)605.000000(6)790.000000[5]相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.09173066(3)0.07862044(4)0.01891728(5)-0.02410138(6)0.00267057

數學建模-灰色預測模型(7.4城市道路交通事故次數的灰色預測[6]原數據均值avg(x)：131.66666667[7]原數據方差S(1)：34.73550857[8]殘差的均值avg(E)：0.18156412[9]殘差的方差S(2)：6.35189717[10]后驗差比值C：0.18286467[11]小誤差概率P：1.00000000[12]模型計算值X^(k)：(1)83.00000000(2)103.71441263(3)119.77934261(4)138.33266324(5)159.75981586(6)184.50594506[13]預測的結果X*(k)：(1)213.08514646(2)246.09114698(3)284.20963932(4)328.23252716(5)379.07437672(6)437.79141674(7)505.60348139預測精度等級：好！這表明：如果該市不采取更有效的管制措施，7月的交通事故次數將上升至213次.數學建模-灰色預測模型(7.5城市火災發生次數的灰色預測數學建模-灰色預測模型(7.5城市火災發生次數的灰色預測

【例7.4】某市2001—2005年火災的統計數據見表7.7.試建立模型，并對該市2006年的火災發生狀況做出預測。

表7.7某市2001－2005年火災數據年份20012002200320042005火災(起)8797120166161數學建模-灰色預測模型(7.5城市火災發生次數的灰色預測解利用GM預測軟件計算，輸出分析數據如下：原始數列(元素共5個):87，97，120，166，161預測結果如下：[1]dx/dt+ax=u：a=-0.16668512，u=81.11892433[2]時間響應方程：

X(k+1)=573.6597*exp(0.1667k)-486.6597[3]殘差E(k)：(1)0.00000000(2)-7.05165921(3)-2.92477940(4)20.77885211(5)-10.56168104

數學建模-灰色預測模型(7.5城市火災發生次數的灰色預測[4]第一次累加值:(1)87.000000(2)184.000000(3)304.000000(4)470.000000(5)631.000000[5]相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.07269752(3)-0.02437316(4)0.12517381(5)-0.06560050[6]原數據均值avg(x)：126.20000000[7]原數據方差S(1)：32.31965346[8]殘差的均值avg(E)：0.06018312[9]殘差的方差S(2)：12.26351851[10]后驗差比值C：0.37944462[11]小誤差概率P：1.00000000[12]模型計算值X^(k)：(1)87.00000000(2)104.05165921(3)122.92477940(4)145.22114789(5)171.56168104[13]預測的結果X*(k)：(1)202.67991837(2)239.44245045(3)282.87305194(4)334.18119203(5)394.79571611(6)466.40463669預測精度等級：合格！

結果表明：如果該市不采取更有效的防火措施，