PAGE1-第二章2.51．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下產生的位移s的大小|s|＝14，F與s的夾角為60°，那么F做的功為()A．7 B．10C．14 D．70解析：F做的功為F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×eq\f(1,2)＝70.答案：D2．如果一架飛機向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機飛行的路程為s，位移為aA．s>|a| B．s<|a|C．s＝|a| D．s與|a|不能比大小解析：由三角形中，兩邊之和大于第三邊，得A成立．應選A.答案：A3．假設eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3e1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，那么四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．梯形C．等腰梯形 D．菱形解析：由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(CB,\s\up6(→))|，所以四邊形ABCD是梯形．又因為|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，即梯形的對角線長相等，因此四邊形ABCD是等腰梯形，應選C.答案：C4．一條河寬40km，一船從A出發垂直到達正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，那么船到達B處所需時間為________．解析：合速度v合＝eq\r(202－122)＝16(km/h)，∴t＝eq\f(40,16)＝2.5h.答案：2.5h5．已知eq\o(OM,\s\up6(→))＝(－2，－3)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(1,1)，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)))在線段NM的中垂線上，那么x等于________．解析：由題意eq\o(NM,\s\up6(→))＝(－3，－4)，線段NM的中點為Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).由于點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)))在線段NM的中垂線上，所以eq\o(PG,\s\up6(→))⊥eq\o(NM,\s\up6(→))，所以eq\o(PG,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝0，從而eq\o(PG,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－x，－\f(3,2)))·(－3，－4)＝0?x＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)6．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，假設向量m＝(2,0)與n＝(sinB,1－cosB)的夾角為eq\f(π,3)，求角B的大小．解：由題意得coseq\f(π,3)＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(2sinB,2\r(sin2B＋1－cosB2))，＝eq\f(1,2)，即eq\f(sinB,\r(2－2cosB))＝eq\f(1,2).∴2sin2B＝1－cosB∴2cos2B－cosB－1＝0.∴cosB＝－eq\f(1,2)或cosB＝1(舍去)．∵0＜B＜π，∴B＝eq\f(2,3)π.(時間：30分鐘總分值：60分)知識點及角度難易度及題號根底中檔稍難向量在幾何中的應用14、6、78向量在解析幾何中的應用10向量在物理中的應用2、3、5、9一、選擇題1．已知點A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，那么以A、B、C、D為頂點的四邊形是()A．梯形 B．鄰邊不等的平行四邊形C．菱形 D．兩組對邊均不平行的四邊形解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4,3)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(－4,3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(8,0)，所以AB綊CD.又因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(AD,\s\up6(→))|，應選B.答案：B2．點P在平面上做勻速直線運動，速度向量ν＝(4，－3)(即點P的運動方向與ν相同，且每秒移動的距離為|ν|個單位)．設開場時點P的坐標為(－10,10)，那么5s后點P的坐標為()A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析：設5秒后點P運動到點A，那么eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝5ν＝(20，－15)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．答案：C3．當兩人提起重量為|G|的旅行包時，夾角為θ，兩人用力都為|F|，假設|F|＝|G|，那么θ的值為()A．30° B．60°C．90° D．120°解析：作eq\o(OA,\s\up6(→))＝F1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝F2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－G，那么eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，當|F1|＝|F2|＝|G|時，△OAC為正三角形，∴∠AOC＝60°，從而∠AOB＝120°.答案：D4．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，點C在線段AB上，且∠AOC＝30°，設eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，那么eq\f(m,n)等于()A.eq\f(1,3) B．3C.eq\f(\r(3),3) D.eq\r(3)解析：∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∠AOC＝30°，∴△AOC為直角三角形，其中AC＝eq\f(1,4)AB＝eq\f(1,2).∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→)).∴m＝eq\f(3,4)，n＝eq\f(1,4)，即eq\f(m,n)＝3，應選B.答案：B二、填空題(每題4分，共12分)5．一個重20N的物體從傾斜角為30°，斜面上1m的光滑斜面頂端下滑到底端，那么重力做的功是________．解析：W＝F·s＝|F|·|s|·cosθ＝20×1×cos60°＝10J.答案：10J6．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，假設AM＝2，那么eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))的最小值為________．解析：如圖，設AO＝x，那么OM＝2－x，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·2eq\o(OM,\s\up6(→))＝－2·|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝－2x(2－x)＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，故當x＝1時，eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))取得最小值－2.答案：－27．設平面上有四個互異的點A、B、C、D，已知(Deq\o(B,\s\up6(→))＋Deq\o(C,\s\up6(→))－2Deq\o(A,\s\up6(→)))·(Aeq\o(B,\s\up6(→))－Aeq\o(C,\s\up6(→)))＝0，那么△ABC的形狀一定是________．解析：∵(Deq\o(B,\s\up6(→))＋Deq\o(C,\s\up6(→))－2Deq\o(A,\s\up6(→)))·(Aeq\o(B,\s\up6(→))－Aeq\o(C,\s\up6(→)))＝[(Deq\o(B,\s\up6(→))－Deq\o(A,\s\up6(→)))＋(Deq\o(C,\s\up6(→))－Deq\o(A,\s\up6(→)))]·(Aeq\o(B,\s\up6(→))－Aeq\o(C,\s\up6(→)))＝(Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Aeq\o(C,\s\up6(→)))·(Aeq\o(B,\s\up6(→))－Aeq\o(C,\s\up6(→)))＝Aeq\o(B,\s\up6(→))2－Aeq\o(C,\s\up6(→))2＝|Aeq\o(B,\s\up6(→))|2－|Aeq\o(C,\s\up6(→))|2＝0，∴|Aeq\o(B,\s\up6(→))|＝|Aeq\o(C,\s\up6(→))|，∴△ABC是等腰三角形．答案：等腰三角形三、解答題8.(10分)如下圖，假設D是△ABC內的一點，且AB2－AC2＝DB2－DC2.求證：AD⊥BC.解：設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝e，eq\o(DB,\s\up6(→))＝c，eq\o(DC,\s\up6(→))＝d，那么a＝e＋c，b＝e＋d.∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝d－c，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝e·(d－c)＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AD⊥BC.9．(10分)一個物體受到同一平面內三個力F1、F2、F3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8m．已知|F1|＝2N，方向為北偏東30°；|F2|＝4N，方向為東偏北30°；|F3|＝6N，方向為西偏北60°，求這三個力的合力F所做的功．解：以三個力的作用點為原點，正東方向為x軸正半軸，建立直角坐標系．那么由已知可得F1＝(1，eq\r(3))，F2＝(2eq\r(3)，2)，F3＝(－3,3eq\r(3))．∴F＝F1＋F2＋F3＝(2eq\r(3)－2,4eq\r(3)＋2)．又位移s＝(4eq\r(2)，4eq\r(2))．∴F·s＝(2eq\r(3)－2)×4eq\r(2)＋(4eq\r(3)＋2)×4eq\r(2)＝24eq\r(6)(J)．10.(12分)在某海濱城市O附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市O(如下圖)的東偏南θ(cosθ＝eq\f(\r(2),10)，θ∈(0°，90°))方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動．臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大．問幾小時后該城市開場受到臺風的侵襲？(注：cos(θ－45°)＝eq\f(4,5))解：設t小時后，臺風中心移動到Q處，此時城市開場受到臺風的侵襲，∠OPQ＝θ－45°.∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→)))2＝eq\o(OP,\s\up6(→))2＋eq\o(PQ