專(zhuān)題05共焦點(diǎn)橢圓、雙曲線(xiàn)模型秒殺結(jié)論已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a＞b＞0)與雙曲線(xiàn)C2：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(其中m＞0，n＞0)共焦點(diǎn)，e1，e2分別為C1，C2的離心率，M是C1，C2的一個(gè)交點(diǎn)，θ＝∠F1ＭF2，則Ⅰ．|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m；Ⅱ．eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1．【方法技巧】結(jié)論Ⅰ的推導(dǎo)是用橢圓與雙曲線(xiàn)的定義，然后兩式相加，相減．凡是已知公共焦點(diǎn)三角形中的一邊（焦半徑）或三邊的比例關(guān)系（可取特值，特別是在直角三角形中），然后使用結(jié)論Ⅰ：|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，找到a，m，c的關(guān)系，從而解決問(wèn)題．可免去用橢圓與雙曲線(xiàn)的定義，節(jié)省時(shí)間．關(guān)于結(jié)論Ⅰ的記憶是長(zhǎng)邊加，短邊減，橢圓的長(zhǎng)半軸在前，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸在后．結(jié)論Ⅱ的推導(dǎo)是先用橢圓與雙曲線(xiàn)的定義，然后用余弦定理，或用焦點(diǎn)三角形的面積相等．凡是已知公共焦點(diǎn)三角形中的頂角（或隱含如例2(6)，對(duì)點(diǎn)練5，6），然后使用結(jié)論Ⅱ：eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，可快速到e12，e22的關(guān)系，從而解決問(wèn)題．如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角換元轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值(如例2(5)，對(duì)點(diǎn)練4，6)或用柯西不等式(選修4－5)．關(guān)于結(jié)論Ⅱ的記憶類(lèi)比平方關(guān)系，在正弦，余弦下分別加上橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率的平方．【例題選講】[例11](59)橢圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝30°，則橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率的倒數(shù)和為()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C．2D．1答案B秒殺設(shè)橢圓方程為：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，根據(jù)題意，可設(shè)|AF1|＝eq\r(3)，|AF2|＝1，|F1F2|＝2，則a＋m＝eq\r(3)，a－m＝１，∴eq\f(1,e1)＋eq\f(1,e2)＝eq\f(a,c)＋eq\f(m,c)＝eq\f(a＋m,c)＝eq\r(3)．故選B．(60)中心在原點(diǎn)的橢圓C1與雙曲線(xiàn)C2具有相同的焦點(diǎn)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，P為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若橢圓C1的離心率e1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,5)))，則雙曲線(xiàn)的離心率e2的范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))D．(2，3)答案C秒殺設(shè)橢圓方程為：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，由題意有，a＋m＝2c，a－m＝3，所以m＝2c－a，又e2＝eq\f(c,m)＝eq\f(c,2c－a)＝eq\f(1,2－\f(1,e1))，因?yàn)閑1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,5)))，所以eq\f(1,e1)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))，所以e2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)).(61)已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且兩條曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1|＝10，橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為e1，e2，則e1e2＋1的取值范圍為()A．(1，＋∞)B．(eq\f(4,3)，＋∞)C．(eq\f(6,5)，＋∞)D．(eq\f(10,9)，＋∞)答案B秒殺設(shè)橢圓方程為：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，由題意有，a＋m＝10，a－m＝2c，所以a＝5＋c，m＝5－c，c＞eq\f(5,2)，又e1e2＋1＝eq\f(c2,am)＋1＝eq\f(c2,25－c2)＋1＞eq\f(4,3)．故選B．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】88．F1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線(xiàn)C2的公共焦點(diǎn)，A是C1，C2在第一象限的交點(diǎn)，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝eq\f(π,6)，則C1與C2的離心率之積為()A．2B．eq\r(3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)89．已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且兩條曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若雙曲線(xiàn)的離心率為3，則橢圓的離心率為()A．eq\f(3,7)B．eq\f(4,7)C．eq\f(5,6)D．eq\f(9,10)90．已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|＝10，雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為(1，2)．則該橢圓的離心率的取值范圍是()A．(eq\f(1,3)，eq\f(1,2))B．(eq\f(2,5)，eq\f(1,2))C．(eq\f(1,3)，eq\f(2,5))D．(eq\f(1,2)，1)91．已知F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，線(xiàn)段PF1的垂直平分線(xiàn)過(guò)F2，若橢圓的離心率為e1，雙曲線(xiàn)的離心率為e2，則eq\f(2,e1)＋eq\f(e2,2)的最小值為()A．6B．3C．eq\r(6)D．eq\r(3)92．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線(xiàn)C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的交點(diǎn)，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq\f(π,3)，則C1與C2的離心率之和為()A．2eq\r(3)B．4C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)[例12](62)已知橢圓、雙曲線(xiàn)均是以直角三角形ABC的斜邊AC的兩端點(diǎn)為焦點(diǎn)的曲線(xiàn)，且都過(guò)B點(diǎn)，它們的離心率分別為e1，e2，則eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝()A．eq\f(3,2)B．2C．eq\f(5,2)D．4答案B通解以AC邊所在的直線(xiàn)為x軸，AC中垂線(xiàn)所在的直線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1，焦距都為2c，不妨設(shè)|AB|>|BC|，橢圓和雙曲線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)B，則|AB|＋|BC|＝2a1，|AB|－|BC|＝2a2，所以|AB|＝a1＋a2，|BC|＝a1－a2，又因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，|AC|＝2c，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝(2c)2，即aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝2c2，所以eq\f(a\o\al(2,1),c2)＋eq\f(a\o\al(2,2),c2)＝2，即eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2．故選B．秒殺由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,4)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2．故選B．(63)(2013浙江)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1和雙曲線(xiàn)C2的公共焦點(diǎn)，P為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的交點(diǎn)，若四邊形AF1BF1為矩形，則C2的離心率是()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(eq\r(6),2)答案D秒殺由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,4)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝2，又e1＝eq\f(\r(3),2)，∴e2＝eq\f(\r(6),2)，故選D．(64)(2016全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽)已知F1，F(xiàn)2為橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，P為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，則該橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率之積的最小值為()A．eq\f(eq\r(3),3)B．eq\f(eq\r(3),2)C．1D．eq\r(3)答案B秒殺由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,6)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,eeq\o\al(2,2))＝4，4＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))＞eq\f(2eq\r(3),e1e2)，e1e2≥eq\f(\r(3),2)(當(dāng)且僅當(dāng)e2＝eq\r(3)e1時(shí)取等號(hào))，故選B．(65)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a＞b＞0)與雙曲線(xiàn)C2：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(其中m＞0，n＞0)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，e1，e2分別是兩曲線(xiàn)的離心率，若PF1⊥PF1，則4eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)的最小值是()A．eq\f(5,2)B．eq\f(7,2)C．eq\f(9,2)D．eq\f(11,2)答案C秒殺由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,4)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝2，4eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,2)(4eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2))(eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2)))＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(eeq\o\al(2,2),e12)＋\f(4e12,eeq\o\al(2,2))))≥eq\f(9,2)(當(dāng)且僅當(dāng)eeq\o\al(2,2)＝2eeq\o\al(2,1)時(shí)取等號(hào))，故選C．(66)(2014湖北)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，則橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A．eq\f(4\r(3),3)B．eq\f(2\r(3),3)C．3D．2答案A秒殺由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,6)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,eeq\o\al(2,2))＝4，可利用三角換元eq\f(1,e1)＝2cosθ，eq\f(\r(3),e2)＝2sinθ，則eq\f(1,e1)＋eq\f(1,e2)＝eq\f(4\r(3),3)sin(θ＋φ)≤eq\f(4\r(3),3)．故選A．(67)(2016浙江)已知橢圓C1：eq\f(x2,m2)＋y2＝1(m>1)與雙曲線(xiàn)C2：eq\f(x2,n2)－y2＝1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1答案A通解由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，則m2－n2＝2，故m>n，又(e1e2)2＝eq\f(m2－1,m2)·eq\f(n2＋1,n2)＝eq\f(n2＋1,n2＋2)·eq\f(n2＋1,n2)＝eq\f(n4＋2n2＋1,n4＋2n2)＝1＋eq\f(1,n4＋2n2)>1，∴e1e2>1．故選A．秒殺由橢圓和雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形面積公式得，b2taneq\f(θ,2)＝b2eq\f(1,tan\f(θ,2))，即，taneq\f(θ,2)＝eq\f(1,tan\f(θ,2))，解得θ＝eq\f(π,2)．∴eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2，因?yàn)閑1≠e2，∴2＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＞eq\f(2,e1e2)，∴e1e2>1．故選A．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】93．已知橢圓和雙曲線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，記橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為e1，e2，則eq\f(3,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))等于()A．4B．2eq\r(3)C．2D．394．已知圓錐曲線(xiàn)C1：mx2＋ny2＝1(n>m>0)與C2：px2－qy2＝1(p>0)的公共焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)M為C1，C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠F1MF2＝90°，若圓錐曲線(xiàn)C1的離心率為eq\f(3,4)，則C2的離心率為()A．eq\f(9,2)B．eq\f(3\r(2),2)C．eq\f(3,2)D．eq\f(5,4)95．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)具有相同焦點(diǎn)F1，F(xiàn)