13九月20231第四節隱函數求導與參數方程求導一、隱函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數

三、相關變化率

第二章

08八月20231第四節隱函數求導與參數方程求導一、隱2定義1.隱函數的定義所確定的函數一、隱函數的導數稱為隱函數(implicitfunction).的形式稱為顯函數.隱函數的可顯化為函數例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國數學家,天文學家.的隱函數客觀存在,但無法將表達成的顯式表達式.顯化.2定義1.隱函數的定義所確定的函數一、隱函數的導數稱為隱函32.隱函數求導法隱函數求導法則

用復合函數求導法則,并注意到其中將方程兩邊對x求導.變量y是x的函數.隱函數不易顯化或不能顯化？如何求導32.隱函數求導法隱函數求導法則用復合函數求13九月20234隱函數求導方法:

兩邊對

x

求導(含導數的方程)解08八月20234隱函數求導方法:兩邊對x求導(含5

雖然隱函數沒解出來,但它的導數求出來了,當然結果中仍含有變量y.允許在的表達式中含有變量y.一般來說,隱函數求導,

求隱函數的導數時,只要記住x是自變量,將方程兩邊同時對x求導,就得到一個含有導數從中解出即可.于是y的函數便是x的復合函數,的方程.y是x的函數,5雖然隱函數沒解出來,但它的導數求出來了,6解解得23)4(xy-)112(2-￠×yy6解解得23)4(xy-)112(2-￠×yy13九月20237例2.解08八月20237例2.解13九月20238例3.求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即08八月20238例3.求橢圓在點處的切線方程.解:練習解在題設方程兩邊同時對自變量求導,得解得求由方程所確定的函數在點處的切線方程.在點處于是,在點處的切線方程為即練習解在題設方程兩邊同時對自變量求導,得解得求由方程所確定的13九月202310對數求導法1.方法:2.適用范圍:先在兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出y的導數.適用于冪指函數及某些用連乘,連除表示的函數.例如冪指函數：兩端對x求導：08八月202310對數求導法1.方法:2.適用范圍:先13九月202311例.解等式兩邊取對數得也可這樣求:08八月202311例.解等式兩邊取對數得也可這樣求:13九月202312例.解等式兩邊取對數得08八月202312例.解等式兩邊取對數得13九月202313另例兩邊取對數兩邊對

x求導08八月202313另例兩邊取對數兩邊對x求導二、由參數方程所確定的函數的導數例如消去參數問題:消參困難或無法消參如何求導?二、由參數方程所確定的函數的導數例如消去參數問題:消參困難由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則得?由于思考與討論:則?由于思考與討論:則13九月202317若上述參數方程中二階可導,且則由它確定的函數可求二階導數.利用新的參數方程,可得08八月202317若上述參數方程中二階可導,且則由它確例.解

所求切線方程為例.解所求切線方程為例求由擺線的參數方程所表示的函數的二階導數.t一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線．例求由擺線的參數方程所表示的函數的二階導數.t一個圓沿一直線解解練習：解練習：解13九月202322例.拋射體運動軌跡的參數方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設

為切線傾角,則08八月202322例.拋射體運動軌跡的參數方程為求拋13九月202323拋射體軌跡的參數方程速度的水平分量垂直分量達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向08八月202323拋射體軌跡的參數方程速度的水平分量垂三、相關變化率相關變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?三、相關變化率相關變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另13九月202325為兩可導函數之間有聯系之間也有聯系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對

t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率08八月202325為兩可導函數之間有聯系之間也有聯系稱13九月202326例.一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設氣球上升

t

分后其高度為h

,仰角為

,則兩邊對

t求導已知

h=500m時,08八月202326例.一氣球從離開觀察員500m13九月202327思考題:當氣球升至500m

時停住,有一觀測