歷史背景:例贗品判定在第二次世界大戰比利時解放以后，荷蘭野戰軍保安機關開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術品企業中發覺線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀荷蘭名畫家揚·弗米爾（JanVeermeer）油畫等賣給納粹德國戈林中間人。可是，范·梅格倫在同年7月12日在牢里宣稱：他從未把畫賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知油畫“在埃牟斯門徒”以及其它四幅冒充弗米爾油畫和兩幅德胡斯（17世紀荷蘭畫家）油畫，都是他自己作品，這件事在當初震驚了全世界，為了證實自己是一個偽造者，他在監獄里開始偽造弗米爾油畫“耶穌在門徒們中間”，當這項工作靠近完成時，范·梅格倫得悉自己通敵罪已被改為偽造罪，所以他拒絕將這幅畫變陳，以免留下罪證。第1頁為了審理這一案件，法庭組織了一個由著名化學家、物理學家和藝術史學家組成國際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗畫布上是否曾經有過別畫。另外，他們分析了油彩中拌料（色粉），檢驗油畫中有沒有歷經歲月跡象?？茖W家們終于在其中幾幅畫中發覺了當代顏料鈷蘭痕跡，還在幾幅畫中檢驗出了20世紀初才創造酚醛類人工樹脂。依據這些證據，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年?？墒撬诒O獄中只待了兩個多月就因心臟病發作，于1947年12月30日死去。歷史背景:第2頁

然而，事情到此并未結束，許多人還是不愿相信著名“在埃牟斯門徒”是范·梅格倫偽造。實際上，在此之前這幅畫已經被文物判定家認定為真跡，并以17萬美元高價被倫布蘭特學會買下。教授小組對于懷疑者回答是：因為范·梅格倫曾因他在藝術界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯門徒”，來證實他高于三流畫家。當創造出這么杰作后，他志氣消退了。而且，當他看到這幅“在埃牟斯門徒”多么輕易賣掉以后，他在炮制以后偽制品時就不太專心了。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學地、確定地證實“在埃牟斯門徒”確實是一個偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學科學家們基本上處理。歷史背景:第3頁原理與模型測定油畫和其它巖石類材料年紀關鍵是本世紀初發覺放射性現象。放射性現象：著名物理學家盧瑟夫在本世紀初發覺，一些“放射性”元素原子是不穩定，而且在已知一段時間內，有一定百分比原子自然蛻變而形成新元素原子，且物質放射性與所存在物質原子數成正比。用N(t)表示時間t時存在原子數,則：常數λ是正，稱為該物質衰變常數用λ來計算半衰期T:與負增加Malthus模型完全一樣其解為:令則有:許多物質半衰期已被測定，如碳14，其T=5568；軸238，其T=45億年。第4頁與本問題相關其它知識:

(1)藝術家們應用白鉛作為顏料之一，已達兩千年以上。白鉛中含有微量放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來，而鉛又屬于鈾系，其演變簡圖以下（刪去了許多中間步驟）

(3)從鉛礦中提煉鉛時，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質則有90—95%被留在礦渣里，因而打破了原有放射性平衡。鈾238-45億年->釷234-24天->釙234-6/5分->鈾234-257億年->釷230-8萬年->鐳226-1600年->氡222-19/5天->釙218-3分->鉛214-27分->釙214-<1s->鉛210-20年->鉍210-5天->釙210-138天->鉛206（一個非放射性物質）注：時間均為半衰期

(2)地殼里幾乎全部巖石中均含有微量鈾。首先，鈾系中各種放射性物質均在不停衰減，而另首先，鈾又不停地衰減，補充著其后繼元素。各種放射性物質（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。依據世界各地抽樣測量資料，地殼中鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7（普通含量極微）。各地采集巖石中鈾含量差異很大，但從未發覺含量高于2—3%。第5頁簡化假定：本問題建模是為了判定幾幅不超出300年古畫，為了使模型盡可能簡單，可作以下假設：

(1)因為鐳半衰期為1600年，經過300年左右，應用微分方程方法不難計算出白鉛中鐳最少還有原量90%，故能夠假定，每克白鉛中鐳在每分鐘里分解數是一個常數。

(2)鉛210衰變為：鉛210T=22年釙210鉛206T=138天若畫為真品，顏料應有300年左右或300年以上歷史，輕易證實：每克白鉛中釙210分解數等于鉛210分解數（相差極微，已無法區分）?？捎们罢叽婧笳?，因釙半衰期較短，易于測量。第6頁建模：

(1)記提煉白鉛時刻為t=0，當初每克白鉛中鉛210分子數為y0，因為提煉前巖石中鈾系是處于放射性平衡，故鈾與鉛單位時間分解數相同。能夠推算出當初每克白鉛中鉛210每分鐘分解數不能大于30000個。若則（個）這些鈾約重（克）即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4%以上確定了每克白鉛中鉛分解數上界，若畫上鉛分解數大于該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。第7頁

(2)設t時刻1克白鉛中鉛210含量為y(t)，而鐳單位時間分解數為r（常數），則y(t)滿足微分方程：

由此解得：故：畫中每克白鉛所含鉛210當前分解數λy(t)及當前鐳分解數r均可用儀器測出，從而可求出λy0近似值，并利用（1）判斷這么分解數是否合理。第8頁Carnegie-Mellon大學科學家們利用上述模型對部分有疑問油畫作了判定，測得數據以下（見表3-1）。油畫名稱210分解數（個/分）鐳226分解數（個/分）1、在埃牟斯門徒8.50.82、濯足12.60.263、看樂譜女人10.30.34、演奏曼陀琳女人8.20.175、花邊織工1.51.46、笑女5.26.0計算λy0

（個/分）980501571301273401022501274.8-10181表3-1對“在埃牟斯門徒”，λy0≈98050（個/每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似能夠判定（2），（3），（4）也是贗品。而（5）和（6）都不會是幾十年內偽制品，因為放射性物質已處于靠近平衡狀態，這么平衡不可能發生在十九世紀和二十世紀任何作品中。判定結果：第9頁利用放射原理，還能夠對其它文物年代進行測定。比如對有機物（動、植物）遺體，考古學上當前流行測定方法是放射性碳14測定法，這種方法含有較高準確度，其基本原理是：因為大氣層受到宇宙線連續照射，空氣中含有微量中微子，它們和空氣中氮結合，形成放射性碳14（C14）。有機物存活時，它們經過新陳代謝與外界進行物質交換，使體內C14處于放射性平衡中。一旦有機物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，經過對比測定，能夠預計出它們生存年代。比如，1950年在巴比倫發覺一根刻有Hammurabi王朝字樣木炭，經測定，其C14衰減數為4.09個/每克每分鐘，而新砍伐燒成木炭中C14衰減數為6.68個/每克每分鐘，C14半衰期為5568年，由此能夠推算出該王朝約存在于3900-4000年前。第10頁§3.3

為何要用三級火箭來發射人造衛星結構數學模型，以說明為何不能用一級火箭而必須用多級火箭來發射人造衛星？為何普通都采取三級火箭系統？1、為何不能用一級火箭發射人造衛星?

（1）衛星能在軌道上運動最低速度假設：（i）衛星軌道為過地球中心某一平面上圓，衛星在此軌道上作勻速圓周運動。（ii）地球是固定于空間中均勻球體，其它星球對衛星引力忽略不計。分析：依據牛頓第三定律，地球對衛星引力為:在地面有:得:k=gR2

R為地球半徑，約為6400公里故引力:假設(ii)第11頁dmm-dmvu-v假設(i)衛星所受到引力也就是它作勻速圓周運動向心力故又有:從而:設g=9.81米/秒2，得:

衛星離地面高度(公里)衛星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推進力及速度分析假設：火箭重力及空氣阻力均不計分析：記火箭在時刻t質量和速度分別為m(t)和υ(t)有：記火箭噴出氣體相對于火箭速度為u（常數），由動量守恒定理：υ0和m0一定情況下，火箭速度υ(t)由噴發速度u及質量比決定。

故：由此解得：(3.11)

第12頁（2）火箭推進力及速度分析現將火箭——衛星系統質量分成三部分：（i）mP（有效負載，如衛星）（ii）mF（燃料質量）（iii）mS（結構質量——如外殼、燃料容器及推進器）。最終質量為mP+mS，初始速度為0，所以末速度：依據當前技術條件和燃料性能，u只能到達3公里/秒，即使發射空殼火箭，其末速度也不超出6.6公里/秒。當前根本不可能用一級火箭發射人造衛星火箭推進力在加速整個火箭時，其實際效益越來越低。假如將結構質量在燃料燃燒過程中不停降低，那么末速度能到達要求嗎？第13頁2、理想火箭模型假設：記結構質量mS在mS+mF中占百分比為λ，假設火箭能隨時拋棄無用結構，結構質量與燃料質量以λ與（1-λ）百分比同時降低。建模:

由

得到：解得：

理想火箭與一級火箭最大區分在于，當火箭燃料耗盡時，結構質量也逐步拋盡，它最終質量為mP，所以最終速度為：

只要m0足夠大，我們能夠使衛星到達我們希望它含有任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等原因，預計（按百分比粗略預計）發射衛星要使υ=10.5公里/秒才行，則可推算出m0/mp約為51,即發射一噸重衛星大約需要50噸重理想火箭第14頁3、理想過程實際迫近——多級火箭衛星系統記火箭級數為n，當第i級火箭燃料燒盡時，第i+1級火箭馬上自動點火，并拋棄已經無用第i級火箭。用mi表示第i級火箭質量，mP表示有效負載。先作以下假設：（i）設各級火箭含有相同λ,即i級火箭中λmi為結構質量，（1-λ）mi為燃料質量。（ii）設燃燒級初始質量與其負載質量之比保持不變，并記比值為k?？紤]二級火箭：

由3.11式，當第一級火箭燃燒完時，其末速度為：當第二級火箭燃盡時，末速度為：該假設有點強加味道，先權作討論方便吧第15頁又由假設（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍設u=3公里/秒，且為了計算方便，近似取λ=0.1，則可得：要使υ2=10.5公里/秒，則應使:即k≈11.2，而:類似地，能夠推算出三級火箭：

在一樣假設下:

要使υ3=10.5公里/秒，則(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP≈77。三級火箭比二級火箭幾乎節約了二分之一是否三級火箭就是最省呢？最簡單方法就是對四級、五級等火箭進行討論。第16頁考慮N級火箭：

記n級火箭總質量（包含有效負載mP）為m0，在相同假設下能夠計算出對應m0/mP值，見表3-2n（級數）12345…

∞（理想）

火箭質量（噸）/149776560…50表3-2因為工藝復雜性及每節火箭都需配置一個推進器，所以使用四級或四級以上火箭是不合算，三級火箭提供了一個最好方案。當然若燃料價錢很廉價而推進器價錢很貴切且制作工藝非常復雜話，也可選擇二級火箭。第17頁4、火箭結構優化設計3中已經能說過假設(ii)有點強加味道；現去掉該假設，在各級火箭含有相同λ粗糙假設下，來討論火箭結構最優設計。W1=m1+…+mn+mP

W2=m2+…+mn+mP……Wn=mn+mPWn+1=mP記應用（3.11）可求得末速度：記則又問題化為，在υn一定條件下，求使k1k2…kn最小

解條件極值問題：或等價地求解無約束極值問題：能夠解出最優結構設計應滿足：火箭結構優化設計討論中我們得到與假設（ii）相符結果，這說明前面討論都是有效！第18頁§3.6

糖尿病診療糖尿病是一個新陳代謝疾病，它是由胰島素缺乏引發新陳代謝紊亂造成。糖尿病診療是經過葡萄糖容量測試（GTT）來檢驗，較嚴重糖尿病醫生不難發覺，較為困難是輕微糖尿病診療。輕微糖尿病診療時主要困難在于醫生們對葡萄糖允許劑量標準看法不一。比如，美國羅得島一位內科醫生看了一份GTT測試匯報后認為病人患有糖尿病，而另一位醫生則認為此人測試結果應屬正常。為深入診療，這份檢測匯報被送到波士頓，當地教授看了匯報后則認為此人患有垂體腫瘤。二十世紀60年代中期，北愛爾蘭馬由醫院醫生Rosevear和Molnar以及美國明尼蘇達大學Ackeman和Gatewood博士研究了血糖循環系統，建立了一個簡單數學模型，為輕微糖尿病診療提供了較為可靠依據。模型假設依據生物、醫學等原理，作以下假設：(1)葡萄糖是全部細胞和組織能量起源，在新陳代謝中起著十分主要作用。每個人都有自己最適當血糖濃度，當體內血糖濃度過渡偏離這一濃度時，將造成疾病甚至死亡。(2)血糖濃度是處于一個自我調整系統之中，它受到生理激素和其它代謝物影響和控制，這些代謝物包含胰島素、高血糖素、腎上腺素、糖皮質激素、生長激素、甲狀腺素等，統稱為內分泌激素。(3)內分泌激素中對血糖起主要影響是胰島素，葡萄糖只有在胰島素作用下才能在細胞內進行大量生化反應，降低血糖濃度。另外，高血糖素能將體內過量糖轉化為糖元儲存于肝臟中，從而降低血糖濃度。第19頁模型用一、兩個參數來區分正常人與輕微病人（測量若干次），依據上述假設，建模時將研究對象集中于兩個濃度：葡萄糖濃度和激素濃度。以G表示血糖濃度，以H表示內分泌激素濃度。依據上述假設血糖濃度改變規律依賴于體內現有血糖濃度及內分泌激素濃度，記這一依賴關系為函數F(G,H)。而內分泌激素濃度改變規律一樣依賴于體內現有血糖濃度以及內分泌激素濃度，記其依賴關系為函數F(G,H)，故有：=(G,H)+J(t)

=(G,H)（3.19）其中J(t)為被檢測者在開始檢測后服下一定數量葡萄糖。病人在檢測前必須禁食，故可設檢測前病人血糖濃度及內分泌激素濃度均已處于平衡狀態

第20頁即可令t=0時G=G0,H=H0且F1

(G0,H0)=0F2(G0,H0)=0從而有

在測試過程中G,H均為變量，而我們關心卻只是它們改變量，故令g=G–G0,h=H–H0,在（3.19）中將展開，得到其中、是g和h高階無窮小量。第21頁

很小時（即檢測者至多為輕微病人時），為求解方便，我們考查不包含它們近似方程組

方程組（3.20）是一個非線性方程組，較難求解。當

、

首先，我們來確定右端各項符號。從圖中可看出，當J(t)=0時,若g＞0且h=0，則此人血糖濃度高于正常值，內分泌激素將促使組織吸收葡萄糖，并將其存放進肝臟，此時有﹤0，從而應有：<0第22頁其激素濃度將增加以抑制血糖濃度增高，因而又有：:＞0反之，當J(t)=0而g=0且h＞0時，此人激素濃度高于正常值，血糖濃度及激素濃度均將降低，從而必有將方程組（3.20）改寫成其中均為正常數。第23頁（3.21）是關于g、h一階常系數微分方程組，因激素濃度不易測得，對前式再次求導化為：因為故或(3.22),,令則(3.22)可簡寫成

(3.23)其中,,第24頁設在t=0時患者開始被測試，他需在很短時間內喝下一定數量外加葡萄糖水，如忽略這一小段時間，今后方程可寫成(3.24)（注：要考慮這一小段時間影響可利用Diracδ函數）(3.24)式含有正系數，且當t趨于無窮時g趨于0，（體內葡萄糖濃度將逐步趨于平衡值），不難證明G將趨于g（t）解有三種形式，取決于符號。＜0時可得(1)當其中，所以

(3.25)(3.25)式中含有5個參數，即、A、α、和δ，用下述方法能夠確定它們值。在外加葡萄糖水喝入前患者血糖濃度應為（檢驗前患者是禁食）,可先作一次測試將其測得。第25頁進而，取t=(i=1、2、3、4)各測一次，將測得值代入（3.25），得到一個方程組，由此可解得對應參數值。普通，為了使測得結果更準確，可略多測幾次，如測5-6次，再依據最小平方誤差來求參數，即求解min解出所需參數當≥0時可類似加以討論。實際計算時不難發覺，G微小誤差會引起α很大偏差，故任一包含α診療標準都將是不可靠。同時也可發現G對并不十分敏感（計算結果與實際值相差較?。?，故可用測試結果作為GTT檢測值來判斷此人是否真患有輕微糖尿病。為了判斷上方便，普通利用所謂自然周期T作為判別標準依據人們生活習慣，兩餐之間間隔時間大致為4小時。臨床應用顯示，在T＜4（小時）時普通表示為正常情況，當T顯著大于4小時時普通表示此人確實患有輕微糖尿病。因為內分泌激素濃度不易測量，在上面建模過程中對各種不一樣激素未加以一一區分，即對其采取了集中參數法。這么做雖大大簡化了模型，但也在一定程度上影響了模型應用效果。臨床應用時發覺，在患者飲下葡萄糖水大約3-5小時后，測得數據有一定偏差，其原因可能是內分泌激素作用造成，因而，要得到更準確結果，當然要考慮到內分泌激素濃度改變，建立更準確模型。羅德島醫院已找到一個測量內分泌濃度方法，相信在此基礎上一定能夠設計出診療輕微糖尿病更加好方法。第26頁穩定性模型對象仍是動態過程，而建模目標是研究時間充分長以后過程改變趨勢——平衡狀態是否穩定。不求解微分方程，而是用微分方程穩定性理論研究平衡狀態穩定性。第27頁一階微分方程平衡點及其穩定性一階非線性（自治）方程F(x)=0根x0~微分方程平衡點設x(t)是方程解，若從x0某鄰域任一初值出發，都有稱x0是方程(1)穩定平衡點不求x(t),判斷x0穩定性方法——直接法(1)近似線性方程第28頁模型分析(平衡點及其穩定性)(二階)非線性(自治)方程平衡點及其穩定性平衡點P0(x10,x20)~代數方程根若從P0某鄰域任一初值出發，都有稱P0是微分方程穩定平衡點模型第29頁判斷P0(x10,x20)穩定性方法——直接法(1)近似線性方程平衡點P0穩定(對2,1)p>0且q>0平衡點P0不穩定(對2,1)p<0或q<0第30頁6.5種群弱肉強食(食餌-捕食者模型)種群甲靠豐富天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型歷史背景——一次世界大戰期間地中海漁業捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，不過其中鯊魚百分比卻增加，為何？第31頁食餌（甲）數量x(t),

捕食者（乙）數量y(t)甲獨立生存增加率r乙使甲增加率減小，減小量與y成正比乙獨立生存死亡率d甲使乙死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養捕食者能力第32頁Volterra模型平衡點及其穩定性平衡點穩定性分析P點穩定性不能用近似線性方程分析p=0,q>0P:臨界狀態q<0P′不穩定第33頁tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.22.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.9.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數學軟件MATLAB求微分方程數值解x~y平面上相軌線第34頁計算結果（數值，圖形）x(t),y(t)是周期函數，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測x(t),y(t)周期約為9.6xmax

65.5,xmin

6,ymax

20.5,ymin

3.9用數值積分可算出x(t),y(t)一周期平均值：x(t)平均值約為25,y(t)平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)第35頁消去dt用相軌線分析點穩定性c由初始條件確定取指數第36頁x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線圖形用相軌線分析點穩定性相軌線時無相軌線以下設第37頁y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1