線性代數(shù)課件7-4向量到子空間的距離-最小二乘法市公開課一等獎百校聯(lián)賽優(yōu)質(zhì)課金獎名師賽課獲獎?wù)n件_第1頁
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文檔簡介

第四節(jié)向量到子空間距離?最小二乘法在歐氏空間中能夠引入向量間距離概念。定義8長度||稱為向量和距離，記為d(,).不難證實距離三條基本性質(zhì)：（1）d(,)=d(,)；（2）d(,)0當且僅當=時等號成立。（3）d(,)d(,)+d(,)1/9在中學幾何中學過一個點到一個平面（或一條直線）上全部點距離以垂線為最短，下面能夠證實一個固定向量和一個子空間中各向量間距離也以“垂線最短”。先設(shè)一個子空間W,它是由向量

1,2,…,k所生成，即W=L(

1,2,…,k).說一個向量垂直于子空間W，就是指向量垂直于W中任意一個向量。現(xiàn)給定，設(shè)是W中向量，滿足垂直于W，則對W中任意向量，有||||2/9證實=（）+（）因W是子空間，

W，

W，則

W，故垂直于。

W由勾股定理||2+||2=||2故||||

這個幾何事實能夠用來處理一些實際問題。其中一個應(yīng)用就是處理最小二乘法問題。3/9最小二乘法問題：線性方程組可能無解，即任何一組數(shù)x1,x2,…,xs都能使不等于0。我們設(shè)法找x10,x20,…,xs0使（2）最小，稱為方程組（1）最小二乘解。這種問題就叫最小二乘問題。（1）（2）4/9令（3）5/9用距離概念，（2）就是|y

B|2。由（3）把A各列向量分別記為

1,2,…,s，由它們生成子空間為L(

1,2,…,s)，y就是其中向量。6/9于是，找x使（2）最小，就是在L(

1,2,…,s)中找到一個向量y,使得B到它距離比到該子空間中其它向量距離都短。設(shè)是所求向量，則必須垂直于子空間L(

1,2,…,s)，從而有即而剛好排成矩陣AT，于是有7/9或這就是最小二乘解所滿足代數(shù)方程，它是一個線性方程組。例1設(shè)有一組試驗數(shù)據(jù):(1,2),(2,3),(3,5),(4,7)。從數(shù)據(jù)點趨勢看靠近直線，試驗者希望使直線y=a+bx最好擬合數(shù)據(jù)點，求最正確擬合直線。解把數(shù)據(jù)代入y=

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