2024朝陽區(qū)高三一模文科數(shù)學(xué)試題及答案北京市朝陽區(qū)高三班級第一次綜合練習(xí)

數(shù)學(xué)學(xué)科測試（文史類）2024.4

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出

符合題目要求的一項(xiàng).（1）i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

1

1i

-的虛部是A．12B．12-C．1

i2

-D.1i2

（2）若集合{}

23Mxx=-；命題q：x?∈R，sincos2xx+=

.

則下列推斷正確的是

A．p?是假命題

B．q是假命題

C．pq∨?是真命題

D．()pq?∧是真命題

（5）若直線yxm=+與圓2

2

420xyx+++=有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

A．()

22,22-+B．()4,0-

C．()

22,22--

-+D.()0,4

（6）“3m≥”是“關(guān)于,xy的不等式組0,20,10,0

xxyxyxym≥??-≤?

?-+≥??+-≤?表示的平面區(qū)域?yàn)槿切巍钡?/p>

A．充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

（7）某個(gè)長方體被一個(gè)平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為

A.4

B.22

C.

20

3

D.8

（

8

）

已知函數(shù)

*()

21,fxxx=+∈N.若

*

0,xn?∈N，使

00

()

(1

)()63fxfx

fxn++++

+=，則稱0(,

)xn為函數(shù)()fx的一個(gè)“生成點(diǎn)”.函數(shù)()fx的“生成點(diǎn)”共有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

其次部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.

（9）以雙曲線2

213

xy-=的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（10）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出結(jié)果S=.

開頭

i=0

S=0S=S+2

i-1i≥6?輸出S

結(jié)束

是i=i+2

否

2

2

2

2１

１１正視圖

側(cè)視圖

俯視圖

（11）在等比數(shù)列{}na中，32420aaa-=，則3a=，若{}nb為等差數(shù)列，且33ba=，

則數(shù)列{}nb的前5項(xiàng)和等于.

（12）在ABC?中，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，且滿意7sinbaB=，則

sinA=，

若60B=，則sinC=.

（13）函數(shù))(xf是定義在R上的偶函數(shù)，且滿意(2)()fxfx+=.當(dāng)x∈時(shí)，

()2fxx=.若在區(qū)間-上方程()0axafx+-=恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

（14）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是半圓2

2

40xxy-+=（2≤x≤4）上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OA的延長線上．當(dāng)20OAOC?=時(shí)，則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍是．

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.（15）（本小題滿分13分）

已知函數(shù)231()sinsin222

xfxxωω=

-+（0ω>）的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)()fx的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)2

xπ∈時(shí)，求函數(shù)()fx的取值范圍.

（16）（本小題滿分13分）

國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表：

由全國重點(diǎn)城市環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)獲得2月份某五天甲城市和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)用

莖葉圖表示如下：

空氣質(zhì)量指數(shù)

0-50

51-100

101-150

151-200

201-300

300以上

空氣質(zhì)量等級1級優(yōu)2級良3級輕度污染4級中度污染5級重度污染6級嚴(yán)峻污染

（Ⅰ）試依據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)

據(jù)，推斷甲、

乙兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)果）；

（Ⅱ）試依據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估量甲城市某一天空氣質(zhì)量等級為2級良的概率；

（Ⅲ）分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，試求這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級相同的

概率．

(注：])()()[(1

222212

xxxxxxn

sn-++-+-=

，其中x為數(shù)據(jù)nxxx,,,21的平均數(shù).)

（17）（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐PABCD-中，平面PAC⊥平面ABCD，且PAAC⊥，2PAAD==．

四邊形ABCD滿意BCAD，ABAD⊥，1ABBC==．E為側(cè)棱PB

的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)棱PC上的任意一點(diǎn).（Ⅰ）若F為PC的中點(diǎn)，求證：EF

平面PAD；

（Ⅱ）求證：平面AFD⊥平面PAB；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)F，使得直線AF與平面PCD垂直？若存在，寫出證明過程并求出線段PF的長；若不存在，請說明理由．

（18）（本小題滿分13分）

已知函數(shù)2

()(2)lnfxxaxax=-++，其中a∈R．

（Ⅰ）若曲線()yfx=在點(diǎn)(2,(2))f處的切線的斜率為1，求a的值；

（Ⅱ）求函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間.

（19）（本小題滿分14分）

甲城市245

7

10

973

56

31588

乙城市

P

D

A

BC

F

E

已知橢圓()2222:10xyCabab

+=>>過點(diǎn)(2,0)A,離心率為3

2.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)(1,0)B且斜率為k（0k≠）的直線l與橢圓C相交于,EF兩點(diǎn)，直線AE，AF

分別交直線3x=于M，N兩點(diǎn),線段MN的中點(diǎn)為P.記直線PB的斜率為k'，求證:kk'?為定值.

（20）（本小題滿分13分）

由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意挨次組成的沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)組，記為

1210(,,

,)xxxτ=，設(shè)10

11

()|23|kkkSxxτ+==-∑，其中111xx=.

（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()Sτ的值；（Ⅱ）求證：()55Sτ≥；（Ⅲ）求()Sτ的最大值.

(注：對任意,ab∈R，ababab-≤±≤+都成立.)

北京市朝陽區(qū)高三班級第一次綜合練習(xí)

數(shù)學(xué)學(xué)科測試答案（文史類）2024.4

一、選擇題：題號（1）

（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案

A

CBD

DA

DB二、填空題：題號（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

答案

28yx=

202；10

17；1314

5,5-

（注：兩空的填空，第一空3分，其次空2分）

三、解答題：

（15）（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）31cos1()sin222

xfxxωω-=

-+(1)

分

31

sincos22

xxωω=

+sin()6

xωπ

=+

.……………………4分由于()fx最小正周期為π，所以2ω=.………………5分于是()sin(2)6

fxxπ

=+.

由222262kxkππππ-

≤+≤π+，k∈Z，得36

kxkπππ-≤≤π+.所以()fx的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.……………8分

（Ⅱ）由于2xπ∈，所以72666

xπππ

+∈，…………………10分

則1sin(2)126

xπ

-≤+≤.…………………12分

所以()fx在2π上的取值范圍是.………13分

（16）（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）甲城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差大于乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差.……………3分

（Ⅱ）依據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級為2級良的頻率為

3

5

，則估量甲城市某一天的空氣質(zhì)量等級為2級良的概率為

3

5

．………………6分,（Ⅲ）設(shè)大事A：從甲城市和乙城市的上述數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，這兩個(gè)城市的空氣質(zhì)

量等級相同，由題意可知，從甲城市和乙城市的監(jiān)測數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，共有25個(gè)結(jié)果，分別記為：

（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.

其數(shù)據(jù)表示兩城市空氣質(zhì)量等級相同的包括同為1級優(yōu)的為甲29，乙41，乙43，同為2級良的為甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.則空氣質(zhì)量等級相同的為：（29，41），（29，43），

（53，55），（53，58），（53，78）,（57，55），（57，58），（57，78），

（75，55），（75，58），（75，78）.共11個(gè)結(jié)果.則11()25

PA=

.

所以這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級相同的概率為

1125

．…………………13分

（17）（本小題滿分14分）證明：（Ⅰ）由于,EF分別為側(cè)棱,PBPC的中點(diǎn)，所以EFBC．由于BC

AD，所以EF

AD．

而EF?平面PAD，AD?平面PAD，所以EF

平面PAD．……………………4分（Ⅱ）由于平面ABCD⊥平面PAC，

平面ABCD

平面PACAC=，且PAAC⊥，PA?平面PAC.

所以PA⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以PAAD⊥．又由于ABAD⊥，PAABA=，所以AD⊥平面PAB，

而AD?平面AFD，

所以平面AFD⊥平面PAB．……………………8分（Ⅲ）存在點(diǎn)F，使得直線AF與平面PCD垂直.

在棱PC上明顯存在點(diǎn)F,使得AFPC⊥.由已知，ABAD⊥，BC

AD，1ABBC==，2AD=．

由平面幾何學(xué)問可得CDAC⊥．

由（Ⅱ）知，PA⊥平面ABCD，所以PACD⊥，由于PA

ACA=，所以CD⊥平面PAC．

而AF?平面PAC，所以CDAF⊥．又由于CD

PCC=,所以AF⊥平面PCD.

在PAC?中，2,2,90PAACPAC==

∠=?，

可求得，26

6,3

PCPF==

．可見直線AF與平面PCD能夠垂直，此時(shí)線段PF的長為

26

3

．……………14分（18）（本小題滿分13分）

PD

A

B

C

F

E

解：(Ⅰ)由2()(2)lnfxxaxax=-++可知，函數(shù)定義域?yàn)閧}

0xx>，且()2(2)afxxax'=-++

.由題意，(2)4(2)12

a

fa'=-++=，解得2a=.……………4分

（Ⅱ）(2)(1)

()2(2)axaxfxxaxx

--'=-++

=

(0)x>.令()0fx'=，得11x=，22

a

x=.

（1）當(dāng)0a≤時(shí)，02

a

≤，令()0fx'>，得1x>;令()0fx'，得02

a

x.則函數(shù)()fx的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)2

a

，(1,)+∞.

令()0fx'，即2a>時(shí)，令()0fx'>，得01x，

則函數(shù)()fx的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，(,)2

a

+∞.

令()0fx'<，得12

a

x<<.

則函數(shù)()fx的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,)2

a

.……13分

（19）（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）依題得222,3,22.abccaa?=+?

?=??=??

解得24a=，21b=.所以橢圓C的方程為2

214

xy+=.…………………4分（Ⅱ）依據(jù)已知可設(shè)直線l的方程為(1)ykx=-.

由22

(1),440

ykxxy=-??

+-=?得2222

(41)8440kxkxk+-+-=.設(shè)1122(,),(,)ExyFxy,則2212122

2844

,4141

kkxxxxkk-+==++.直線AE，AF的方程分別為：12

12(2),(2)22

yyyxyxxx=-=---，令3x=，則1212(3,

),(3,)22yyMNxx--,所以12121(3,())222yy

Pxx+--.所以122112(1)(2)(1)(2)

4(2)(2)

kxxkxxkkkxx--+--'?=

?--21212121223()4

42()4kxxxxxxxx-++=