/多維層次練38[A級基礎鞏固]1．“直線m與平面α內無數條直線平行”是“直線m∥平面α”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：由直線m∥平面α，可得直線m與平面α內無數條直線平行，反之不成立．所以“直線m與平面α內無數條直線平行”是“直線m∥平面α”的必要不充分條件．故選C.答案：C2．若兩條直線都與一個平面平行，則這兩條直線的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．以上均有可能解析：平行、相交、異面都有可能．故選D.答案：D3．(2020·洛陽聯考)設l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且l?α，m?β，下列結論正確的是()A．若α⊥β，則l⊥β B．若l⊥m，則α⊥βC．若α∥β，則l∥β D．若l∥m，則α∥β解析：對于A，α⊥β，l?α，只有加上l垂直于α與β的交線，才有l⊥β，所以A錯誤；對于B，若l⊥m，l?α，m?β，則α與β可能平行，也可能相交但不垂直，所以B錯誤；對于C，若α∥β，l?α，由面面平行的性質可知，l∥β，所以C正確；對于D，若l∥m，l?α，m?β，則α與β可能平行，也可能相交，所以D錯誤．答案：C4．過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有()A．4條 B．6條C．8條 D．12條解析：如圖所示，H，G，F，I是相應線段的中點，故符合條件的直線只能出現在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6條直線，故選B.答案：B5．(2020·東莞調研)已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c的位置關系不可能是()A．兩兩平行 B．兩兩垂直C．兩兩相交 D．兩兩異面解析：假設a，b，c三條直線兩兩平行，如圖所示，設α∩β＝l，因為a∥b，a?β，b?β，所以a∥β.又知a?α，α∩β＝l，所以a∥l，又知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，所以l⊥γ，又知a∥b，a∥l，所以a⊥γ，又知c?γ，所以a⊥c，所以假設不成立．故三條直線a，b，c不可能兩兩平行．答案：A6．(2020·豫北名校聯考)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點，若平面BC1D∥平面AB1D1，則eq\f(AD,DC)＝_____．解析：如圖所示，連接A1B，與AB1交于點O，連接OD1，因為平面BC1D∥平面AB1D1，平面BC1D∩平面A1BC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB).同理AD1∥DC1，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，所以eq\f(A1O,OB)＝eq\f(DC,AD)，又因為eq\f(A1O,OB)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.答案：17．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2).又E為AD中點，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為DC中點，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)8．設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________(填序號)．解析：由面面平行的性質定理可知，①正確；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確．答案：①或③9．(2020·濰坊模擬)如圖所示，四棱錐A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥平面ABC，CD＝eq\f(3,2)BE，點F在線段AD上．(1)若AF＝2FD，求證：EF∥平面ABC；(2)若△ABC為等邊三角形，CD＝AC＝3，求四棱錐A-BCDE的體積．(1)證明：取線段AC上靠近C的三等分點G，連接BG，GF.因為eq\f(AG,AC)＝eq\f(AF,AD)＝eq\f(2,3)，則GF＝eq\f(2,3)CD＝BE.而GF∥CD，BE∥CD，故GF∥BE.故四邊形BGFE為平行四邊形，故EF∥BG.因為EF?平面ABC，BG?平面ABC，故EF∥平面ABC.(2)解：因為BE⊥平面ABC，BE?平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE.所以四棱錐A-BCDE的高即為△ABC中BC邊上的高．易求得BC邊上的高為eq\f(\r(3),2)×3＝eq\f(3\r(3),2).故四棱錐A-BCDE的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2＋3)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).10．(2020·福州模擬)如圖所示，在平行四邊形ABCM中，D為CM的中點，以AD為折痕將△ADM折起，使點M到達點P的位置，且平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中點，AB＝2BC.(1)求證：CE∥平面PAD；(2)若AD＝2，AB＝4，求三棱錐APCD的高．(1)證明：取AP的中點F，連接DF，EF，如圖所示．因為點E是PB的中點，所以EF∥AB，且EF＝eq\f(1,2)AB.因為四邊形ABCM是平行四邊形，D為CM的中點，所以AB∥CD，且CD＝eq\f(1,2)AB，所以EF∥CD，且EF＝CD，所以四邊形EFDC為平行四邊形，所以CE∥DF，因為CE?平面PAD，DF?平面PAD，所以CE∥平面PAD.(2)解：取AD的中點O，連接PO，CO，如圖所示．在平行四邊形ABCM中，D為CM的中點，AB＝2BC，AD＝2，AB＝4，所以MD＝MA＝AD＝CD＝2，所以△MAD為等邊三角形，所以∠MDA＝60°，所以∠ADC＝120°，PD＝PA＝AD＝2，所以S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CDsin∠ADC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，OC＝eq\r(7)，因為△ADP為正三角形，所以PO⊥AD，且PO＝eq\r(3).因為平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，所以PC＝eq\r(PO2＋OC2)＝eq\r(10).在等腰三角形PCD中，易得S△PCD＝eq\f(\r(15),2).設三棱錐A-PCD的高為h，因為VA-PCD＝VP-ACD，所以eq\f(1,3)S△PCD·h＝eq\f(1,3)S△ACD·PO，所以h＝eq\f(S△ACD·PO,S△PCD)＝eq\f(\r(3)×\r(3),\f(\r(15),2))＝eq\f(2\r(15),5)，所以三棱錐A-PCD的高為eq\f(2\r(15),5).[B級能力提升]11．已知l，m是不同的直線，α，β是不同的平面．給出下列命題，其中正確的是()①l⊥α，m?β，α∥β?l⊥m；②l∥α，m∥β，l∥m?α∥β；③l⊥α，m?β，l∥m?α⊥β；④l⊥α，m⊥β，l⊥m?α∥ββ.A．②④ B．①③C．②③④ D．①②③解析：①中，因為l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又m?β，所以l⊥m，①正確．③中，因為l⊥α，l∥m，所以m⊥α，又m?β，所以α⊥β，③正確．由面面平行的判定定理知②和④不正確，故選B.答案：B12．(2020·廈門模擬)在正三棱錐S-ABC中，AB＝2eq\r(3)，SA＝2eq\r(5)，E，F分別為AC，SB的中點．平面α過點A，α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，則異面直線l和EF所成角的余弦值為________．解析：因為α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，平面SBC∩平面ABC＝BC，所以l∥BC，取AB的中點D，連接DE，DF，則DE∥BC，所以l∥DE，所以異面直線l和EF所成角即為∠DEF(或其補角)，取BC的中點O，連接SO，AO，則SO⊥BC，AO⊥BC，又SO∩AO＝O，所以BC⊥平面SOA，又SA?平面SOA，所以BC⊥SA，所以DE⊥DF，在Rt△DEF中，DE＝eq\r(3)，DF＝eq\r(5)，所以EF＝2eq\r(2)，所以cos∠DEF＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4).所以異面直線l和EF所成角的余弦值為eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)13．(2019·漢陽一中模擬)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等邊三角形，且AA1⊥平面ABC，D為AB的中點．(1)求證：直線BC1∥平面A1CD；(2)若AB＝BB1＝2，E是BB1的中點，求三棱錐A1-CDE的體積．(1)證明：連接AC1，交A1C于點F，則F為AC1的中點，又D為AB的中點，所以DF∥BC1，又BC1?平面A1CD，DF?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解：因為△ABC為等邊三角形，D為AB中點，所以CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以CD⊥AA1，因為AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面ABB1A1，所以三棱錐的高h等于點C到平面ABB1A1的距離，即h＝CD，易求得CD＝eq\r(3).又S△A1DE＝2×2－eq\f(1,2)×1×2－eq\f(1,2)×1×1－eq\f(1,2)×1×2＝eq\f(3,2)，所以VA1-CDE＝VC-A1DE＝eq\f(1,3)S△A1DE·h＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2).[C級素養升華]14．(多選題)下列命題錯誤的是()A．若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線平行B．若兩條直線和同一個平面