PAGEPAGE1第一章集合集合知識點總結：一、集合1、集合的概念集合：一般地，把一些能夠確定的不同的對象看出一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合（或集），通常用大寫英文字母表示。集合的元素：構成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員），通常用小寫寫英文字母表示。2、元素與集合的屬于關系：若是集合的元素，就說屬于，記作：，讀作“屬于”若不是集合的元素，就說不屬于，記作：，讀作“不屬于”。3、空集：不含任何元素的集合叫做空集，記作。4、集合元素的基本性質：確定性、互異性、無序性。5、集合的分類：有限集：含有有限個元素的集合；無限集：含有無限個元素的集合。6、常用數集的表示牢記，熟記自然數集（非負整數集）；正整數集或；整數集；有理數集；實數集；正實數集，均是無限集。二、集合的表示法1、列舉法：適用于有限集，且元素個數不多，或者是無限集，元素個數較多，但呈現一定規律，列出幾個元素作為代表，其余用“”代替。2、描述法：元素的特征性質：如果在集合中，屬于集合的任意一個元素都具有性質，而不屬于的元素都不具有性質，則叫做集合的一個特征性質。是集合的一個特征性質，集合可以表示為，它表示的集合為在集合中具有性質的所有元素構成的。注意：若元素的范圍為時，可以省略。★經典例題：例一、現已知一個集合為，則實數滿足的條件為。【】解：由于元素的互易性，因此得到關系，從而解得。例二、用適當的符號填空：；；；；。例三、給定集合，定義。若，，則集合的所有元素之和為。【15】解：題意為從集合中任意選取一個元素，與集合中的任意一個元素作差，所得元素為集合的元素，這里要注意元素的互異性。故即，元素之和為15。例四、設集合若已知，且，求實數。解：由于，故有，解得或。但題目要求，因此，即。因此。例五、實數集滿足條件：，若，則。（1）若，求；（2）集合能否為單元素集合？若能，求出；若不能，說明理由；（3）求證：。解：（1）由題意知，若，則。因此，則有。由，則。由，則。因此（2）若讓集合為單元素集合，必須滿足。整理得到，驗證，因此沒有滿足上述方程，即集合不能為單元素集合。（3）由于題意有若，則。因此當時，可有。例六、以下集合各代表什么：①——偶數②——奇數這些均是數集，與代表元素的不同沒有關系。③——奇數④——點集（有序數對集合）幾何意義：滿足直線圖像上所有的點；代數意義：滿足二元一次方程的解。例七、若集合中，僅有一個元素，則【】【】解：題意可只兩個條件，其一是僅有一個元素，即方程只有一個解。其二為單元素即為。因此得到兩個關系式：將代入方程有和，從中求出。例八、已知集合，其中為常數，且。（1）若是空集，求的范圍；（2）若中只有一個元素，求的范圍；（3）若中至多只有一個元素，求的范圍。解：（1）因為是空集，則必須要求方程無實根，即，因此。（2）若中只有一個元素，此時需要討論是否為0。當時，方程為，解得，符合題意；當時，方程為，要求，即。綜上所述，或。（3）若中至多只有一個元素，即有一個元素，或沒有。只要綜合（1）（2）的答案即可。故的取值范圍是或。三、子集和真子集1、子集：集合中的任何一個元素都是集合的元素，則集合叫做集合的子集。記作：或讀作“包含于”或“包含”若集合中存在著不是集合的元素，則集合不是集合的子集。記作：或注意：（1）自身性：，任何集合是它本身的子集。（2）規定：，空集是任何子集的真子集。（3）與區別：是從屬關系，表示元素與集合之間的關系，是包含關系，表示集合與集合之間的關系。2、真子集：若集合是集合的子集（簡化：若，數學語言的簡潔），并且集合中至少含有一個元素不屬于集合，則集合是集合的真子集。記作：或讀作“真包含于”或“真包含”注意：（1）空集是任何非空集合的真子集。（2）3、韋恩圖：包含關系的傳遞性，則；維恩圖表示，則集合之間的關系，用維恩圖表示4、個數規律：（表示集合的元素個數）元素子集真子集非空子集非空真子集5、集合相等：，則★經典例題：例一、判斷下列集合是否為同一個集合①不是，一個是點集，一個是數集②不是，元素范圍不同③不是，一個是點集，一個是數集④是，元素相同，均是實數，與代表元素無關例二、用適當的符號填空：；；；；；例三、若集合，且，則【或】解：依題，則，或，解出；由于元素具有互異性，故舍去1。例四、已知集合，若，則實數的取值集合為【】解：步驟：①在數軸上畫出已知集合；②由確定，應往左畫（若為，則往右畫），進而開始實驗；③得到初步試驗結果；④驗證端點。試驗得到：，當時，由于集合也不含有4，故滿足。綜上所述，。例五、滿足的集合為【】解：因為，因此中必須含有1這個元素。又知道故得到。（不滿足真子集的要求）四、集合的運算1、交集：一般地，對于兩個給定集合，由屬于又屬于的所有元素構成的集合，叫做的交集。核心詞匯：共有。記作：讀作“交”，交集為在畫數軸時，要注意層次感和端點的虛實！2、交集的性質：；如果，則。3、并集：一般地，對于兩個給定集合，由兩個集合的所有元素構成的集合，叫做的并集。核心詞匯：全部。記作：讀作“并”只要是線下面的部分都要！4、并集的性質：；如果，則5、補集：如果給定的集合是全集的一個子集，由中不屬于的所有元素構成的集合，叫做在中的補集。核心詞匯：剩余。記作“”讀作：“在中的補集”6、補集的性質：★經典例題：例一、已知集合，則等于【】解：，故。例二、設集合，，則【】解：首先觀察，兩個集合均為數集，代表元素的不同不影響集合本身。其次范圍均為整數，故，因此取交集后，得到的結果應為。例三、，，若，則實數的取值范圍是【】解：步驟：①在數軸上畫出已知集合；②由確定，應往左畫（若為，則往右畫），進而開始實驗；③得到初步試驗結果；④驗證端點。試驗得到的結果為，驗證端點，當時，由于集合不含有3，滿足交集為。綜上所述，的取值范圍是。例四、求滿足，且的集合。【或】解：由于，則可以推得中必有，沒有。又有，則或例五、集合,,若,則的值為【4】解：∵,,∴∴例六、設集合，則【】解：表示平面上滿足直線的無數點，其中。又表示平面上滿足直線上的全