代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu)是近世代數(shù)或抽象代數(shù)學(xué)研究的中心問題,是數(shù)學(xué)中最重要的、基礎(chǔ)的分支之一,是在初等代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的.它起始于19世紀初,形成于20世紀30年代.在這期間,挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(N·H·Abell)法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦(E·Galois)英國數(shù)學(xué)家德·摩根(A·DeMorgan)和布爾(G·Boole)等人都做出了杰出貢獻，荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登(B·L·VanDerWaerden)根據(jù)德國數(shù)學(xué)家諾特(A·E·Noether)和奧地利數(shù)學(xué)家阿廷(E·Artin)的講稿,于1930年和1931年分別出版了《近世代數(shù)學(xué)》一卷和二卷，標志著抽象代數(shù)的成熟.代數(shù)結(jié)構(gòu)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的運算的規(guī)律和由這些運算適合的公理而定義的各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為中心問題.它對現(xiàn)代數(shù)學(xué)如拓撲學(xué)、泛函分析等,以及一些其他科學(xué)領(lǐng)域,如計算機科學(xué)、編碼理論等,都有重要影響和廣泛地應(yīng)用第五章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)

本章在集合、關(guān)系和函數(shù)等概念基礎(chǔ)上，研究更為復(fù)雜的對象——代數(shù)系統(tǒng)，研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)和特殊的元素，代數(shù)系統(tǒng)與代數(shù)系統(tǒng)之間的關(guān)系。如代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)、滿同態(tài)和同構(gòu)，這些概念較為復(fù)雜也較為抽象，是本課程中的難點。它們將集合、集合上的運算以及集合間的函數(shù)關(guān)系結(jié)合在一起進行研究。前兩章內(nèi)容是本章的基礎(chǔ)，熟練地掌握集合、關(guān)系、函數(shù)等概念和性質(zhì)是理解本章內(nèi)容的關(guān)鍵。主要內(nèi)容如下：5.1二元運算及性質(zhì)5.2代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)和積代數(shù)5.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)和同構(gòu)5.1二元運算及其性質(zhì)

即:普通的減法不是自然數(shù)集合上的二元運算,因為兩個自然數(shù)相減可能得負數(shù),而負數(shù)不屬于N.這時也稱集合N對減法運算不封閉.一、運算1.二元運算定義1:設(shè)S為集合,函數(shù)稱為S上的一個二元運算,簡稱為二元運算.例如:即:普通的加法是自然數(shù)集合N上的二元運算.驗證一個運算是否為集合S上的二元運算需考慮兩點：(1)S中任意兩個元素都能進行這種運算，且運算結(jié)果唯一。(2)S中任意兩個元素的運算結(jié)果都屬于S，即S對該運算是封閉的。考慮：除法運算是否為是否為實數(shù)集合上的二元運算？例1.判斷下列運算是否為指定集合上的二元運算(1)自然數(shù)集合N上的乘法、除法(2)整數(shù)集合Z上的加法、減法、乘法、除法(3)非零實數(shù)集R*上的乘法、除法、加法、減法.(4)設(shè)Mn(R)表示所有n階實矩陣的集合(n≥2),則Mn(R)上的加法、乘法(5)S為任意集合,則∪,∩,—,

為S的冪集P(S)上的二元運算,(6)S為集合,是S上的所有函數(shù)的集合,則合成運算上的二元運算.是通常用等符號表示二元運算,稱為算符.例如:設(shè)是S上的二元運算,對若與的運算結(jié)果是即可利用算符簡記為注2.n元運算定義2:設(shè)S為集合,n是正整數(shù),則函數(shù)稱為S上的一個n元運算,簡稱為n元運算.例如:(1)實數(shù)集R上求一個數(shù)的相反數(shù)是R上的一元運算,求一個數(shù)的倒數(shù)不是R上的一元運算但是非零實數(shù)集R*上的一元運算,(3)在空間直角坐標系中求某一點(x,y,z)的坐標在x軸上的投影可以看作是實數(shù)集R上的三元運算,即:令f(<x,y,z>)＝x,因為參加運算的是有序的3個實數(shù),而結(jié)果也是實數(shù).(2)在冪集合P(S)上,如果規(guī)定全集為S,那么求集合的絕對補運算是P(S)上的一元運算如果集合S是有窮集,S上的一元和二元運算也可以用運算表給出.表5,1和5.2是一元和二元運算表的一般形式.使用算符表示n元運算若,則可記為1)前綴表示法：

一元運算二元運算三元運算2)運算表表示法naa)(~2a)(1~a)na(~Mi)(iaM21a~a11aao),(),(nnaaoLM),(2naaoM),(1naaoM),(2naaoL),(22aao),(12aao),(1naaoL),(21aao

naaa21LnaaaM21o例2：設(shè)S={1，2}，給出P(S)上的運算~和

的運算表。解：所求運算表如下：例3設(shè)S={1,2,3,4},定義S上二元運算如下：432112342413314243214321?二、二元運算的一些常見的性質(zhì)性質(zhì)1－交換律定義5-2設(shè)S是非空集合，是S上的二元運算。若對于任意都有則稱運算

在S上是可交換的。或者說，在S上適合交換律.例4:考察下列運算在指定集合上是否符合交換律?(1)實數(shù)集合上的加、減、乘。(2)n階實矩陣上的加、乘。(3)集合S的冪集上的∪、∩、-、

。(4)集合S上的所有函數(shù)的集SS上的復(fù)合運算○。解：因為例5:設(shè)Q是有理數(shù)集合，是Q上的二元運算，對任意的問是否可交換.所以運算是可交換的。 例6：A={a,b,c,d}.由下表給出的運算適不適合交換律？abcdabcd☆性質(zhì)2－結(jié)合律定義5-4設(shè)S是非空集合，是S上的二元運算。若對于任意都有則稱運算

在S上是可結(jié)合的。或者說，在S上適合結(jié)合律.例:考察下列運算在指定集合上是否符合結(jié)合律?N、Z、Q、R集合上的加、乘。(2)n階實矩陣上的加、乘。(3)集合S的冪集上的∪、∩、

。性質(zhì)3－冪等律定義5-5設(shè)S是非空集合，是S上的二元運算。若對于任意都有則稱運算

在S滿足冪等律.為運算○的冪等元.稱對稱差運算

不適合冪等律，但φ是它的冪等元。例:考察下列運算在指定集合上是否符合冪等律?(1)N、Z、Q、R集合上的加、乘。普通加法、乘法不適合冪等律，但0是加法的冪等元，1是乘法的冪等元。(2)n階實矩陣上的加、乘。不適合同理，n階零矩陣是矩陣加法的冪等元，n階單位矩陣是矩陣乘法的冪等元。(3)集合S的冪集上的∪、∩、

。定義5-6設(shè)S是非空集合，性質(zhì)4－分配律是S上的二元運算。和若對于任意都有則稱運算對運算是可分配的。或者說，滿足分配律.對例：(1)N、Z、Q、R集合上的乘法對加法。(2)n階實矩陣上的乘法對加法。(3)集合上的∪、∩互相可分配。例：設(shè)集合A={α,β},在A上定義兩個二元運算和如下表所示。運算對于運算可分配嗎？反之如何？性質(zhì)5－吸收律定義5-7設(shè)S是非空集合，若對于任意都有是S上的兩個和可交換的二元運算，和則稱滿足吸收律.例:在冪集P(S)上∪和∩是滿足吸收律的.例7：給定其中是自然數(shù)集合,定義如下:對任意有:試證:互為吸收的.證明：因為故,是互為吸收的.三、集合中與二元運算相關(guān)的一些特殊的元素１.幺元定義5-8設(shè)為S上的二元運算，則稱是S中關(guān)于運算的左幺元(或若存在一元素使得對于任意有(或(或若既是左幺元又是右幺元,則稱為幺元.(或右幺元).如：(1)在N上，0是加法的幺元，1是乘法的幺元。(2)n階0矩陣是矩陣加法的幺元，n階單位矩陣是矩陣乘法的幺元。(3)在冪集P(S)上，φ是∪運算的幺元，S是∩運算的幺元。(4)恒等關(guān)系是函數(shù)復(fù)合運算的單位元。和是A上的兩個二元運算,是運算的右幺元。*

例8

設(shè)求A的幺元.b和d都是運算的左幺元，解:abcdabcddabcabcdabccabcdabcdabdcbacdcdabddbcabcd定理5－１

設(shè)是集合A上的二元運算，和分別是的左幺元和右幺元，則，且是的唯一的單位元。證明1)因為和分別是的左、右幺

元，因此，，

令，則是的單位元。2)設(shè)也是的單位元，則

因此是的唯一的單位元。

注對于給定的集合和運算存在幺元,有的不存在幺元.而且即使存在,但有時不止一個.為幺元為幺元2.零元定義5-10設(shè)為S上的二元運算，則稱是S中關(guān)于運算的左零元(或若存在一元素使得對于任意有(或(或若既是左零元又是右零元,則稱為零元.(3)在冪集P(S)上，∪運算的零元是S，∩運算的零元是φ。(或右零元).例如：(1)在N、Z、Q、R上，0是乘法的零元，加法沒有零元。(2)n階0矩陣是矩陣乘法的零元，n階矩陣的加法無零元。定理5－2

設(shè)是集合A上的二元運算，和分別是的左零元和右零元，則，且是的唯一的零元。證明1)因為和分別是的左、右零元，因此，，

令，則是的零元。2)設(shè)也是的零元，則

因此是的唯一的零元。

為零元為零元3.逆元定義5-10設(shè)為S上的二元運算，使得(或(或(或若既是左逆元又是右逆元,則稱為逆元.(4)在冪集P(S)上的∪運算:只有φ有逆元,為φ.為運算的幺元,若存在一元素對于任意則稱是的左逆元(或右逆元).(2)在Z集上的加法:對于任意的元素都有逆元,為其相反數(shù).(3)矩陣矩陣的乘法:只有可逆矩陣有逆元,為其逆矩陣。例如：(1)在N集上的加法:只有0有逆元,為0。例9.給定<S,⊙>,其中S={,,,,}且⊙的定義如表所示.試指出該代數(shù)結(jié)構(gòu)中各元素的左、右逆元情況．

的右逆元是,但

沒有左逆元.⊙

解:

是幺元,

的左逆元和右逆元都是,即

與

互為逆元;

的左逆元是,而右逆元是,

有兩個左逆元

和;一般地說來，一個元素的左逆元不一定等于該元素的右逆元.而且,一個元素可以有左逆元而沒有右逆元,同樣可以有右逆元而沒有左逆元.甚至一個元素的左或者右逆元還可以不是唯一的．注

定理5.３設(shè)是集合上具有幺元且可結(jié)合的二元運算，若元素有左逆元和右逆元，則且是唯一的逆元。證明1)因為和分別是的左、右逆元，因此令，則是的逆元。2)設(shè)也是的逆元，因此是的唯一的逆元。

則

性質(zhì)6－吸收律定義5-11設(shè)是S上的二元運算，則稱滿足消去律.若對于任意滿足以下條件且不是零元,則且不是零元,則(1)、(2)分別稱作左、右消去律。考慮：(1)Z上的乘法、加法。(2)在冪集P(S)上，