leizi例1:在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底邊QR=6cm，點B、C、Q、R在同一直線l上，且C、Q兩點重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線l箭頭所示方向勻速運動，t秒時梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為S平方厘米（1）當t=4時，求S的值（2）當，求S與t的函數關系式，并求出S的最大值25．（1）t＝4時,Q與B重合，P與D重合，重合部分是＝例2：如圖，直線與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D．（1）當點M在AB上運動時，你認為四邊形OCMD的周長是否發生變化？并說明理由；（2）當點M運動到什么位置時，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？（3）當四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為，正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為S．試求S與的函數關系式并畫出該函BxyMBxyMCDOABxyOABxyOA解：（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）； 則：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x； ∴C四邊形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8∴當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發生變化，總是等于8；（2）根據題意得：S四邊形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）·x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4∴四邊形OCMD的面積是關于點M的橫坐標x（0<x<4）的二次函數，并且當x＝2，即當點M運動到線段AB的中點時，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4；（3）如圖10（2），當時，；如圖10（3），當時，；∴S與的函數的圖象如下圖所示：002·4··2·4S的函數關系式并畫出該函數的圖象．∴綜上所述，S的最大值是，此時t的值是。例6：如圖，已知直線交坐標軸于兩點，以線段為邊向上作正方形，過點的拋物線與直線另一個交點為．（1）請直接寫出點的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線下滑，直至頂點落在軸上時停止．設正方形落在軸下方部分的面積為，求關于滑行時間的函數關系式，并寫出相應自變量的取值范圍；（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上兩點間的拋物線弧所掃過的面積．備用圖備用圖（14分）（1）；…………………2分（2）設拋物線為，拋物線過，解得…………………2分∴．……………1分（3）①當點A運動到點F時，當時，如圖1，圖1∵，圖1∴∴∴；……2分②當點運動到軸上時，，圖2當時，如圖2，圖2∴∴，∵，∴；…………（2分）③當點運動到軸上時，，當時，如圖3，圖3∵，圖3∴，∵，∽∴，∴，∴=．……（2分）（解法不同的按踩分點給分）（4）∵,,∴………………（2分）==．……………（1分）圖圖4例7:如圖，已知直線與直線相交于點分別交軸于兩點．矩形的頂點分別在直線上，頂點都在軸上，且點與點重合．（1）求的面積；（2）求矩形的邊與的長；（3）若矩形從原點出發，沿軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設移動時間為秒，矩形與重疊部分的面積為，求關于的函數關系式，并寫出相應的的取值范圍．（1）解：由得點坐標為由得點坐標為∴ （2分）由解得∴點的坐標為 （3分）∴ （4分）（2）解：∵點在上且∴點坐標為 （5分）又∵點在上且∴點坐標為全 （6分）∴ （7分）（3）解法一：當時，如圖1，矩形與重疊部分為五邊形（時，為四邊形）．過作于，則AADBEORFxyyM（圖3）GCADBEOCFxyyG（圖1）RMADBEOCFxyyG（圖2）RM∴即∴∴即 （10分）（2013?玉林壓軸題）如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（﹣1，0）．（1）求點B，C的坐標；（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；（3）將△COB沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．解答：解：（1）∵點A（﹣1，0）在拋物線y=﹣（x﹣1）2+c上，∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，∴拋物線解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4，令x=0，得y=3，∴C（0，3）；令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）．（2）△CDB為直角三角形．理由如下：由拋物線解析式，得頂點D的坐標為（1，4）．如答圖1所示，過點D作DM⊥x軸于點M，則OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．過點C作CN⊥DM于點N，則CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC===；在Rt△CND中，由勾股定理得：CD===；在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD===．∵BC2+CD2=BD2，∴△CDB為直角三角形（勾股定理的逆定理）．（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3，直線QE是直線BC向右平移t個單位得到，∴直線QE的解析式為：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；設直線BD的解析式為y=mx+m，∵B（3，0），D（1，4），∴，解得：m=﹣2，n=6，∴y=﹣2x+6．連接CQ并延長，射線CQ交BD于點G，則G（，3）．在△COB向右平移的過程中：（I）當0＜t≤時，如答圖2所示：設PQ與BC交于點K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．設QE與BD的交點為F，則：，解得，∴F（3﹣t，2t）．S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=PE?PQ﹣PB?PK﹣BE?yF=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t?2t=t2+3t；（II）當＜t＜3時，如答圖3所示：設PQ分別與BC、BD交于點K、點J．∵CQ=t，∴KQ=t，PK=PB=3﹣t．直線BD解析式為y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t，∴J（t，6﹣2t）．S=S△PBJ﹣S△PBK=PB?PJ﹣PB?PK=（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）2=t2﹣3t+．綜上所述，S與t的函數關系式為：S=．（2013?鄂州壓軸題）在平面直角坐標系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），線段M1N1平移至線段MN處（注：M1與M，N1與N分別為對應點）．（1）若M（﹣2，5），請直接寫出N點坐標．（2）在（1）問的條件下，點N在拋物線上，求該拋物線對應的函數解析式．（3）在（2）問條件下，若拋物線頂點為B，與y軸交于點A，點E為線段AB中點，點C（0，m）是y軸負半軸上一動點，線段EC與線段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．（4）在（3）問條件下，動點P從B點出發，沿x軸正方向勻速運動，點P運動到什么位置時（即BP長為多少），將△ABP沿邊PE折疊，△APE與△PBE重疊部分的面積恰好為此時的△ABP面積的，求此時BP的長度．解答：解：（1）由于圖形平移過程中，對應點的平移規律相同，由點M到點M′可知，點的橫坐標減5，縱坐標加3，故點N′的坐標為（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）．N（0，2）；（2）∵N（0，2）在拋物線y=x2+x+k上∴k=2∴拋物線的解析式為y=x2+x+2（3）∵y=x2+x+2=（x+2）2∴B（﹣2，0）、A（0，2）、E（﹣，1）∵CO：OF=2：∴CO=﹣m，FO=﹣m，BF=2+m∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=∴（2+m）（﹣m+1）=整理得：m2+m=0∴m=﹣1或0∵m＜0∴m=﹣1（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===∴∠ABO=30°，AB=2AO=4①當∠BPE＞∠APE時，連接A1B則對折后如圖2，A1為對折后A的所落點，△EHP是重疊部分．∵E為AB中點，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP∵S△EHP=S△ABP∴=S△EHP=S△BHP=S△ABP∴A1H=HP，EH=HB=1∴四邊形A1BPE為平行四邊形∴BP=A1E=AE=2即BP=2②當∠BPE=∠APE時，重疊部分面積為△ABP面積的一半，不符合題意；③當∠BPE＜∠APE時．則對折后如圖3，A1為對折后A的所落點．△EHP是重疊部分∵E為AB中點，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP∵S△EHP=S△ABP∴S△EBH=S△EHP==S△ABP∴BH=HP，EH=HA1=1又∵BE=EA=2∴EHAP，∴AP=2在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．∴∠APB=90°，∴BP=，綜合①②③知：BP=2或；（2013浙江麗水12分）如圖1，點A是軸正半軸上的動點，點B坐標為（0，4），M是線段AB的中點，將點M繞點A順時針方向旋轉90°得到點C，過點C作軸的垂線，垂足為F，過點B作軸的垂線與直線CF相交于點E，點D點A關于直線CF的對稱點，連結AC，BC，CD，設點A的橫坐標為（1）當時，求CF的長；（2）①當為何值時，點C落在線段BD上？②設△BCE的面積為S，求S與之間的函數關系式；（3）如圖2，當點C與點E重合時，△CDF沿軸左右平移得到△C’D’F’，再將A，B，C’，D’為頂點的四邊形沿C’F’剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形，請直接寫出所有符合上述條件的點C’的坐標。（2013浙江麗水12分）如圖1，點A是軸正半軸上的動點，點B坐標為（0，4），M是線段AB的中點，將點M繞點A順時針方向旋轉90°得到點C，過點C作軸的垂線，垂足為F，過點B作軸的垂線與直線CF相交于點E，點D點A關于直線CF的對稱點，連結AC，BC，CD，設點A的橫坐標為（1）當時，求CF的長；（2）①當為何值時，點C落在線段BD上？②設△BCE的面積為S，求S與之間的函數關系式；（3）如圖2，當點C與點E重合時，△CDF沿軸左右平移得到△C’D’F’，再將A，B，C’，D’為頂點的四邊形沿C’F’剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形，請直接寫出所有符合上述條件的點C’的坐標。解：（1）當時，OA=2，∵點B，∴OB=4．又∵，AB=2AC，可證RT?ABO∽RT?CAF．∴，即．（2）=1\*GB3①當時，∵RT?ABO∽RT?CAF，∴，AF=2，∴FD=2，．∵點C落在線段BD上，∴RT?CFD∽RT?BOD，∴，整理得，解得：，（舍去）．∴當時，點C落在線段BD上．=2\*GB3②當點C與點E重合時，CF=4，可得．當時，；當時，．（3）