2021年中考數學總復習：專題27涉及圓的證明與計算問題

圓的證明與計算是中考必考點，也是中考的難點之一。縱觀全國各地中考數學試卷，能夠看出，圓的證

明與計算這個專題內容有三種題型：選擇題、填空題和解答題。

一、與圓有關的概念

i.圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。圓的半

徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。

2.圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。圓心角的度數等于它所對弧的度數。

3.圓周角：頂點在圓周上，并且兩邊分別與圓相交的角叫做圓周角。

4.外接圓和外心：經過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心，叫

做三角形的外心。外心是三角形三條邊垂直平分線的交點。外心到三角形三個頂點的距離相等。

5.若四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓。

6.和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。內心是三角形三個角的角

平分線的交點。內心到三角形三邊的距離相等。

二、與圓有關的規律

1.圓的性質：

(1)圓具有旋轉不變性；

(2)圓具有軸對稱性：

(3)圓具有中心對稱性。

2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

3.推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

4.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

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在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也

相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦

心距也相等。

5.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

6.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

7.圓內接四邊形的特征

①圓內接四邊形的對角互補；

②圓內接四邊形任意一個外角等于它的內對角。

三、點和圓、線和圓、圓和圓的位置關系

1.點和圓的位置關系

①點在圓內O點到圓心的距離小于半徑

②點在圓上一點到圓心的距離等于半徑

③點在圓外0點到圓心的距離大于半徑

2.直線與圓有3種位置關系

如果的半徑為r,圓心。到直線’的距離為d,那么

①直線/和。0相交="<J

②直線/和。0相切O°=r；

③直線/和。。相離

3.圓與圓的位置關系

設圓的半徑為弓，圓。2的半徑為2，兩個圓的圓心距則：

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兩圓外離=1>4+&；兩圓外切=4=（+G；

兩圓相交o|八—弓|<1<4+弓；兩圓內切=1=|4一々|；

兩圓內含="<|（-

四、切線的規律

1.切線的性質

（1）經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

（2）經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。

（3）圓的切線垂直于經過切點的半徑。

2.切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

3.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，并且圓心和這一點的連線平分兩條切

線的夾角。

四、求解圓的周長和面積的公式

設圓的周長為r,則：

1.求圓的直徑公式d=2r

2.求圓的周長公式C=2nr

3.求圓的面積公式S=Jtr2

五、解題要領

1.判定切線的方法

（1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有

時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；

（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平

分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：

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①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）：

②直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化，要善于進行由此

及彼的聯想、要總結常添加的輔助線.

2.與圓有關的計算

計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結合，形式復

雜，無規律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是要借

助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關系，從而化未知為已知，解

決問題。其中重要而常見的數學思想方法有：

（1）構造思想：①構建矩形轉化線段；②構建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它

所有線段長）；③構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構造勾股定理模型；⑤構造三角函數.

（2）方程思想：設出未知數表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發現其中的相等關系建立方程，

解決問題。

（3）建模思想：借助基本圖形的結論發現問題中的線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基

本圖形的解題模型快速發現圖形中的基本結論，進而找出隱藏的線段之間的數量關系。

3.攻克典型基本模型圖是解決圓的所有難題的寶劍

類型1圖形：

（1）如圖1,48是。。的直徑，點￡C是。。上的兩點.

31

基本結論有：在“力。平分/的用；uADA.CD''；"小是。。的切線”三個論斷中，知二推一。

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(2)如圖2、3,然等于弓形6第的高；游4r的弦心距。尸(或弓形6四的半弦如。

(3)如圖(4)：若包力6于爪，則:

A

圖4

①CK=CD；BK=DE；CK=-BE=DC\AE+AB=2BK=2AD\

2

②/ADCs/ACBnA(f=AD?AB

(4)在(D中的條件①、②、③中任選兩個條件，當選，0于6時(如圖5),則:

郅

①DE=GB；②DC=CG；?AD+BG=AB-,?AD-BG=-DG2=DCt

4

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類型2圖形：如圖：應/俯7中，ZACB=90Qo點0是芯上一點，以宏為半徑作。。交于點區基本結

論有：

(1)在“B0平分/CBA”；“80〃DE"；“AB是00的切線”；“BD=BC"。四個論斷中，知一推三。

(2)①G是/板的內心；(2)CG=GD；?ABCO^ACDE=>BO'DE=CO^E=-Clf；

2

(3)在圖(1)中的線段比；CE、AE、49中，知二求四。

AP1

(4)如圖(3)，若①BC=CE,則：②一=—=tan/ADE；③BC：AC：四=3：4：5；(在①、②、③中知

AD2

一推二)④設BE、制交于點H,,則BH=2EH

類型3圖形：如圖：//49C中，//吐90°,以AB為直徑作。。交AC于D,基本結論有:

如圖:

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(1)應'切是a'的中點；

(2)若應切。0,則：

①DE=BE=CE；

②。、0、B、￡四點共圓nN的2/力

③CD?CA=4B匕DECDBC

RBDBA

圖形特殊化：在(1)的條件下

如圖：DE//AB<=>AABC./儂是等腰直角三角形;

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類型4圖形：如圖，//a'中，AB=AC,以4?為直徑作。。，交及7于點〃交AC于點、F,

基本結論有：

(1)皿400〃切。0；

(2)在應L/C或然切。。下，有：

①/ZFC是等腰三角形；

BF

②EF=EC；③〃是的中點。④與基本圖形1的結論重合。

⑤連AD,產生母子三角形。

類型5圖形：以直角梯形4版的直腰為直徑的圓切斜腰于旦基本結論有:

A_D?DMD

BC

國1S2￡3

(1)如圖1：0)AD+BC=CD;②//力吩90°；③如平分NADC(或宏平分NHN)；(注：在①、

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②、③及④“必是O0的切線”四個論斷中，知一推三)

?AD-BC=-AB-Jfi

4

(2)如圖2,連力區CO,則有：CO//AE,。0也作2〃(與基本圖形2重合)

(3)如圖3,若ERLAB于凡交47于G,貝ij：EG=FG.

類型6圖形：如圖：直線外的半徑出于反切切。。于0,BQ交直線印于上

基本結論有：

(1)PQ=PR(/做?是等腰三角形)：

(2)在“PR10B”、"切切。O'、"PQ=PR”中，知二推一

(3)2PR-RE=BR?RQ=BE?2R=AE

類型7圖形：如圖，//花1內接于。。，/為的內心。基本結論有:

(1)如圖1,①BD=CD=ID；②Df=DE?DA；③通90°+-AACB\

2

D

圖1

(2)如圖2,若乙胡小60°,貝！J：BD+CE=BC.

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A

SI

BG

類型8圖形：已知，血是。。的直徑，C是中點，CD1AB于D。BG交CD、AC

于反凡基本結論有：

0D

(1)CF—BG；BE=EF=CE；GF=2DE

2

(反之，由8G或BE=即可得:C是病中點)

(2)0E=-AF,OE//AC-,AODE^AAGF

2

(3)BE?BG=BD?BA

BC=CG=AG

（4）若〃是仍的中點，則：①/如'是等邊三角形；②

例題解析與對點練習

【例題1】（2020?武漢）如圖，在半徑為3的。。中，四是直徑，〃1是弦，〃是怒的中點，然與切交于

點2若￡是血的中點，則加的長是（）

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D

E

A.|V3B.3V3C.3V2D.4企

【對點練習】（2019?山東省聊城市）如圖，比是半圓。的直徑，D,￡是標上兩點，連接應并延長交

于點力,連接切，OE.如果N4=70°,那么ND應"的度數為（）

A.35°B.38°C.40°D.42°

【例題2】（2020?牡丹江）/夕是。。的弦，OMVAB,垂足為M,連接OA.若中有一個角是30°,OM

=2次，則弦4?的長為

【對點練習】（2019安徽）如圖，花內接于。0,/。6=30°,/煙=45°,CD1AB于點、D,若。。的

半徑為2,則切的長為

【例題3】（2020貴州黔西南）古希臘數學家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”.請研究

如下美麗的圓.如圖，線段AB是。。的直徑，延長AB至點C,使BC=0B,點E是線段0B的中點，DELAB

交。0于點D,點P是。。上一動點（不與點A,B重合），連接CD,PE,PC.

（1）求證：CD是。。的切線;

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（2）小明在研究的過程中發現言是個確定的值.回答這個確定的值是多少？并對小明發現的結論加以

證明.

【對點練習】（2019?湖北十堰）如圖，△ABC中,AB=AC,以〃1為直徑的。。交a'于點。，點￡為。延長

線上一點，且/破班C.

2

（1）求證：如是。。的切線；

（2）若AB=3BD,CE=2,求。。的半徑.

一、選擇題

1.（2020?宜昌）如圖，E,F,6'為圓上的三點，N月劣=50°,。點可能是圓心的是（）

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2.（2020?營口）如圖，力少為。。的直徑，點。，點。是。。上的兩點，連接a,CD,AD,若NCN8=40°,

則N/%的度數是（）

C.140°D.160°

3.（2020?荊門）如圖，。0中，OCLAB,ZAPC=28°,則乙%C的度數為（）

A.14°B.28°C.42°D.56°

4.（2020?臨沂）如圖，在。。中，力〃為直徑，N&T=80°.點〃為弦力C的中點，點少為訛上任意一點.則

ND必的大小可能是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

5.（2020?內江）如圖所示，點4B、a〃在。。上，/力〃。=120。，點3是前的中點，則/〃的度數是

（）

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6.（2020?湖州）如圖，已知四邊形46（力內接于。0,/ABC=70",則/4右的度數是（）

7.（2020?泰安）如圖，是。。的內接三角形，AABC,/胡C=30°,4〃是直徑，AD=3,則然的

長為（）

8.（2020?嘉興）如圖，正三角形4?。的邊長為3,將△力回繞它的外心。逆時針旋轉60°得到△40。，

則它們重疊部分的面積是（）

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o

B\/C

A.2V3B.-V3C.-V3D.V3

42

9.（2020?隨州）設邊長為a的等邊三角形的高、內切圓的半徑、外接圓的半徑分別為力、八R,則下列結

論不正確的是（）

A./?=R+rB.R=2rC.t——aD.但爭

4

10.（2020?涼山州）如圖，等邊三角形力比和正方形4版都內接于。。，貝I」/。：AB=（）

A.2V2：V3B.V2：V3C.V3：V2D.V3：2近

二、填空題

11.（2020?黑龍江）如圖，49是△4%1的外接圓。。的直徑，若/死4=50°,則//如=

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A

c

w

D

12.（2020?無錫）已知圓錐的底面半徑為1頌，高為次讖，則它的側面展開圖的面積為=cm.

13.（2020?湖州）如圖，已知四是半圓。的直徑，笠CD"AB,切=8,四=10,則"與"之間的距離

是.

14.（2020?棗莊）如圖，4?是。。的直徑，為切。。于點4線段尸。交。。于點C.連接式；若NP=36°,

則N8=.

15.（2020?連云港）用一個圓心角為90°,半徑為20M的扇形紙片圍成一個圓錐的側面，這個圓錐的底

面圓半徑為cm.

16.（2019?南京）如圖，必.陽是。。的切線，A.6為切點，點C.0在。0上.若102°,貝I]

17.（2019山東東營）如圖，力。是O0的弦，力05,點6是。。上的一個動點，且N/1於45°,若點雙N

分別是4C、a1的中點，則1處的最大值是.

18.（2019黑龍江省龍東地區）如圖，在。。中，半徑如垂直于弦8G點〃在圓上，且N/〃C=30°,則/

4仍的度數為

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19.(2020山東濟寧模擬)如圖，。為RtA直角邊4C上一點，以3為半徑的00與斜邊46相切于

點、D,交窗于點￡已知4C=3.則圖中陰影部分的面積是.

20.(2019?湖北省鄂州市)如圖，在平面直角坐標系中，已知C(3,4),以點C為圓心的圓與y軸相切.點

力、6在x軸上，且〃=6B.點。為。C上的動點，NAPB=90°,則四長度的最大值為.

三、解答題

21.(2020?咸寧)如圖，在麻△4%；中，N(7=90°,點。在461上，以十為半徑的半圓。交4?于點。，交

AC于點E,過點〃作半圓。的切線斷交及7于點汽

(1)求證：BF=DF；

(2)若4c=4,緲=3,CF=\,求半圓。的半徑長.

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22.(2020?懷化)如圖，在。。中，16為直徑，點C為圓上一點，延長46到點〃，使CD=CA,且/。=30°.

(1)求證：切是。。的切線.

(2)分別過從6兩點作直線徵的垂線，垂足分別為反尸兩點，過C點作4?的垂線，垂足為點6.求證：

C4=AE?BF.

23.(2020?銅仁市)如圖，46是。。的直徑，C為。。上一點，連接4GCE_LAB于點、E,〃是直徑46延長

線上一點，豆NBCE=NBCD.

(1)求證：⑺是。。的切線；

(2)若4)=8,徑=(求切的長.

24.(2020?溫州)如圖，C,〃為。。上兩點，且在直徑兩側，連結。交仍于點￡,G是配上一點，Z

ADC=/G.

(1)求證：Z1=Z2.

(2)點，關于%的對稱點為尸，連結6E當點尸落在直徑四上時，glO,tan/l=|,求。。的半徑.

25.