第十章概率

10.1隨機事件與概率

10.1.1有限樣本空間與隨機事件

［目標］1.了解樣本空間、隨機事件的含義；2.了解必然事件、不可能事件的含義.

［重點］樣本空間與各種事件概念的理解.

［難點］樣本空間、隨機事件的含義.

要點整合夯基礎

知識點事件的有關概念

［填一填］

1.事件的分類

(1)我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點.

(2)全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間,如果一個隨機試驗有n個可能的結果

W2,,,,,Wn,則稱樣本空間。=｛卬”卬2，…，為有限樣本空間.

(3)樣本空間Q的子集稱為隨機事件,簡稱事件;只包含一個樣本點的事件稱為魅

事件.

(4)Q作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所

以。總會發生，我們稱Q為必然事件.

(5)空集。不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱。為不可能事件.

2.對事件分類的兩個關鍵點

(1)條件：在條件S下事件發生與否是與條件相對而言的，沒有條件，無法判斷事件是

否發生.

(2)結果發生與否：有時結果較復雜，要準確理解結果包含的各種情況.

［答一答］

隨機試驗有哪些特點？

提示：(1)試驗可以在相同條件下重復進行；

(2)試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；

(3)每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.

典例講練破題型

類型一樣本點的確定

［例1］在一個不透明的口袋中裝有大小相同標號不同的5張卡片，其中3張紅色，2

張白色.

(1)從中一次摸出兩張卡片，此試驗共有多少個樣本點？

(2)從中先后各取一張卡片(每次取后立即放回)，此試驗共有多少個樣本點？

［分析］(1)一次摸出兩張卡片，這兩張卡片是沒有順序的，是無序問題：(2)先后各取

一張卡片，則這兩張卡片是有順序的，前后是有區別的.

［解］不妨記3張紅色卡片為1,2,3號，2張白色卡片為4,5號.

(1)“從中一次摸出兩張卡片”，無順序，故這個試驗中等可能出現的結果有10種，

分別為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)(其中(1,2)表示摸到

1號、2號卡片)，故共有10個樣本點.

(2)“從中先后各取一張卡片(每次取后立即放回)”，有順序，故這個試臉中的樣本點

有25個.

通法提煉

試驗結果的有序與無序是確定樣本點時要考慮的重要因素，所以要認真閱讀題干中的

關鍵詞，判斷是否要考慮順序問題.

［變式訓練1］從含有兩件正品0,42和一件次品bi的3件產品中每次任取1件，連

續取兩次.

(1)當不放回抽取時，寫出樣本空間g；

(2)當放回抽取時，寫出樣本空間。2.

解：(1)。1={(0,02),(。1,b\),(a2,—)}.

(2)02={(G,a\),{a\,。2),3,bl),(念,。1),(。2,㈤,(。2,仇)，(①,G),(歷,。2),

(歷，")}.

類型二樣本空間的分析

［例2］將一枚骰子先后拋擲兩次，貝I」：

(1)一共有幾個樣本點？

(2)“出現的點數之和大于8”包含幾個樣本點？

［分析］根據事件的特點列舉即可.

［解］方法1:(列舉法)：

(1)用(x,y)表示結果，其中x表示骰子第1次出現的點數，y表示骰子第2次出現的點

數，則試驗的樣本空間。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36個樣

本點.

(2)“出現的點數之和大于8”包含以下10個樣本點:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),

(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).

方法2:(列表法):

如圖所示，坐標平面內的數表示相應兩次拋擲后出現的點數的和，樣本點與所描點一

一對應.

第678911

'12n

、

：'

次5678A1O

拋

擲4567

后

向34567

上

的23456

點

數1234567

o123456

第?次拋擲后向上的點數

(1)由圖知，樣本點總數為36.

(2)“點數之和大于8”包含10個樣本點(已用虛線圈出).

方法3:(樹狀圖法)：

一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結果用樹狀圖表示.如圖所示:

(1)由圖知，共36個樣本點.

(2)“點數之和大于8”包含10個樣本點(已用“V標出).

通法提煉4

樣本點個數的三個探求方法

(1)列舉法：把試驗的全部結果一一列舉出來.此方法適合于較為簡單的試驗問題.

(2)列表法：將樣本點用表格的方式表示出來，通過表格可以弄清樣本點的總數，以及

要求的事件所包含的樣本點個數.列表法適用于較簡單的試驗問題，樣本點個數較多的試驗

不適合用列表法.

(3)樹狀圖法：樹狀圖法是使用樹狀的圖形把樣本點列舉出來的一種方法，樹狀圖法便

于分析樣本點間的結構關系，對于較復雜的問題，可以作為一種分析問題的主要手段，樹狀

圖法適用于較復雜的試驗問題.

[變式訓練2]一個口袋內裝有大小相同的5個球，其中3個白球，2個黑球，從中一

次摸出2個球.

(1)共有多少個樣本點？

(2)2個都是白球包含幾個樣本點？

解：方法1:(1)采用列舉法.

分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，則有以下樣本點：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個(其中(1,2)表示摸到1號、2號).

(2)“2個都是白球”包含(1,2),(1,3),(2,3)三個樣本點.

方法2:(1)采用列表法.

設5個球的編號分別為其中a,b,c為白球,d,

e為黑球.

列表如下：

abcde

a\(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)

b(b,a)(〃,c)(b,d)(6,e)

\

c(C,Q)(c,b)(c,〃)(c,e)

\

d(d,a)(d,b)(d,c)(d,e)

e(e,a)(e,b)(e,c)(e,d)

由于每次取2個球，因此每次所得的2個球不相同，而事

件(幻a)與(a,b)是相同的事件，故共有10個樣本點.

(2)“2個都是白球”包含(叫力)，(〃,c),(a,c)三個樣

本點.

課堂達標練經典

1.某校高一年級要組建數學、計算機、航空模型三個興趣小組，某學生只選報其中

的2個，則樣本點共有(C)

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：該生選報的所有可能情況是：數學和計算機、數學和航空模型、計算機和航空

模型，所以樣本點有3個.

2.在8件同類產品中，有5件正品，3件次品，從中任意抽取4件，下列事件中的必

然事件是(D)

A.4件都是正品

B.至少有一件次品

C.4件都是次品

D.至少有一件正品

解析：抽取4件中至多3件次品，即至少有一件正品.選D.

3.先后拋擲均勻的1分、2分硬幣各一枚，觀察落地后硬幣的正、反面情況，則下列

事件包含3個樣本點的是(A)

A.“至少一枚硬幣正面向上”

B.“只有一枚硬幣正面向上”

C.“兩枚硬幣都是正面向上”

D.“兩枚硬幣一枚正面向上，另一枚反面向上”

解析：“至少一枚硬幣正面向上”包括“1分正面向上，2分正面向下”“1分正面向

下，2分正面向上”“1分、2分都正面向上”三個樣本點.故選A.

4.拋擲兩枚骰子，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數的差為X,則

“X>4”表示試驗的結果為(C)

A.第一枚為5點，第二枚為1點

B.第一枚為5或6點，第二枚為I點

C.第一枚為6點，第二枚為1點

D.第一枚為1點，第二枚為6點

解析：拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數的差

為X,所以“X>4"即"X=5”表示的試臉結果為“第一枚為6點，第二枚為1點”.

5.設集合M={1,2,3,4},a^M,b&M,(a,b)是一個樣本點.

(1)寫出試驗的樣本空間.

(2)用集合表示事件〃="a+6=5”包含的樣本點.

解：⑴這個試驗的樣本空間為2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)).

(2)M={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)).

0_H

n課堂小結

一本課須掌握的問題

必然事件是在一定條件下必然會發生的事件，其概率為1,而不可能事件正相反，其

概率為0：必然事件與不可能事件都是隨機事件的極端情形.

10.1.2事件的關系和運算

［目標］1.了解事件的關系與運算；2.理解互斥事件、對立事件的概念.

［重點1事件的關系、運算.

［難點］事件關系的判定.

要點整合夯基礎

知識點事件的關系與運算

［填一填］

定義表示法圖示

一般地，對于事件4與事

件3,若事件月發生，事件

包含B34（或

8一定發生，我們就稱事

關系AQB）

件3包含事件4（或事件

4包含于事件3）

一般地，事件4與事件8

至少有一個發生,這樣

并的一個事件中的樣本點

事4U3（或

件或者在事件4中,或者在

A+B）

事件8中，我們稱這個事

件為事件4與事件8的

事并事件（或和事件）

件

的

關一般地，事件4與事件B

系同時發生，這樣一個事件

與

交

運中的樣本點既在事件力

事4GB（或

算

件中，也在事件B中，我們

AB）

稱這樣的一個事件為事

件4與事件8的交事件

（或積事件）

若AClB是一個不可能事若4G4=

事件

佳，則稱事件4與事件8互0,則4與B

互斥0@

斥(或互不相容)互斥

一般地，如果事件4和事

若AG3=

件8在任何一次試驗中

事件0,且4UB

有且僅有一個發生，那么

對立=〃，則A與

稱事件4與事件區互為CZD

3對立

對立

［答一答］

1.下列說法正確嗎？

(1)在擲骰子的試驗中，｛出現1點｝U｛出現的點數為奇數｝;

(2)不可能事件記作。，顯然C20(C是任一事件)；

(3)事件A也包含于事件A,即A.

提示：(1)(2)(3)的說法都正確，研究事件的關系可以類比集合間的關系.

2.并事件、交事件和集合的并集、交集意義一樣嗎？

提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意義一樣.例如，并事件包含三種情況:

事件A發生，事件8不發生：事件4不發生，事件8發生；事件4,B同時發生，即事件4,

B中至少有一個發生.

3.事件A與事件B互斥的含義是什么？

提示：事件A與事件B互斥的含義是：事件A與事件8在任何一次試驗中都不會同

時發生.

4.互斥事件與對立事件的關系是怎樣的？

提示：互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件.

典例講練破題型

類型一事件關系的判斷

［例IJ從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數從1?10各1張)中，任取一

張.

(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；

(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”.

判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由.

［分析］要判斷兩個事件是不是互斥事件，只需要分別找出各個事件包含的所有結果，

看它們之間能不能同時發生.在互斥的前提下，看兩個事件的并事件是否為必然事件，從而

可判斷是否為對立事件.

［解］(1)是互斥事件，不是對立事件.

理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同

時發生的，所以是互斥事件.同時，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出“方

塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件.

(2)既是互斥事件，又是對立事件.

理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩

個事件不可能同時發生，但其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件.

(3)不是互斥事件，也不是對立事件.

理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的

牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽得牌點數為10,因此，二者不是互斥事件，

當然不可能是對立事件.

通法提煉

互斥事件、對立事件的判斷方法

(1)利用基本概念

①互斥事件不可能同時發生；

②對立事件首先是互斥事件，且一次試驗中必有一個要發生.

(2)利用集合觀點

設事件4與B所含的結果組成的集合分別是A,B.

①若事件4與8互斥，則集合A08=。；

②若事件A與B對立，則集合AH8=。且AU8=0.

［變式訓練1］從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么下列各對事件

中，互斥而不對立的是(D)

A.至少有一個紅球與都是紅球

B.至少有一個紅球與都是白球

C.至少有一個紅球與至少有一個白球

D.恰有一個紅球與恰有兩個紅球

解析：根據互斥事件與對立事件的定義判斷.A中兩事件不是互斥事件，事件”三個

球都是紅球”是兩事件的交事件；B中兩事件是對立事件；C中兩事件能同時發生，如''恰

有一個紅球和兩個白球”，故不是互斥事件；D中兩事件是互斥而不對立事件.

類型二事件的運算

［例2］擲一枚骰子，下列事件：

A="出現奇數點”，B="出現偶數點"，C=”點數小于3"，D=”點數大于2”，

E="點數是3倍數”.

求：(l)An〃，BC-.

(2)AUfi,B+C；

(3)記萬為事件”的對立事件，求萬，~AC,萬UC,萬+石.

［分析］利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析

并利用這些結果進行事件間的運算.

［解］(1)ADB=0,BC={2}.

(2)AUB={1,234,5,6},

8+C={1,2,4,6}.

O)-0={1,2};TC=fiC={2}：

"BUC=AUC={1,2,3,5};~D+T={1,2,4,5}.

通法提煉

進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義；二是要全面考查同一條件下的試驗可能

出現的全部結果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析.

［變式訓練2］盒子里有6個紅球，4個的白球，現從中任取3個球，設事件4={3個

球中有,1個紅球，2個白球},事件B={3個球中有2個紅球，1個白球},事件C={3個球

中至少有1個紅球}，事件E={3個紅球}，那么事件C與4,8,E的運算關系是(B)

A.C=(ACB)UE

B.C=AUBUE

C.C=(AUB)QE

D.ACtBOE

解析：由題意可知C=AUBUE.

課堂達標練經典

1.某人打靶時，連續射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(C)

A.至多有一次中靶

B.兩次都中靶

C.兩次都不中靶

D.只有一次中靶

解析：”至少有一次中靶”與“兩次都不中靶”為互斥事件，同時，也是對立事件.

2.如果事件A,8互斥，那么(B)

A.AUB是必然事件

B.A的對立事件與B的對立事件的和事件是必然事件

C.A的對立事件與B的對立事件是互斥事件

D.A的對立事件與B的對立事件不是互斥事件

解析：A與B有兩種情況，一種是互斥不對立，另一種是A與8是對立事件，要分類

討論.

3.從1,2,3,…，7這7個數中任取兩個數，其中：

①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；

②至少有一個是奇數和兩個都是奇數；

③至少有一個是奇數和兩個都是偶數；

④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數.

上述事件中，是對立事件的是（C）

A.①B.②④

C.③D.①③

解析：③中“至少有一個是奇數”即“兩個奇數或一奇一偶”，而從1?7中任取兩

個數根據取到數的奇偶性可認為共有三件事件：”兩個都是奇數”“一奇一偶”“兩個都是

偶數”，故“至少有一個是奇數”與“兩個都是偶數”是對立事件，易知其余都不是對立事

件.

4.現有語文、數學、英語、物理和化學共5本書，從中任取1本，記取到語文、數

學、英語、物理、化學書分別為事件A、B、C、D、E,則事件“取出的是理科書”可記為

BUDUE.

解析：由題意可知事件“取到理科書”的可記為BUDUE.

5.用紅、黃、藍三種不同的顏色給大小相同的三個圓隨機涂色，每個圓只涂一種顏

色.設事件A="三個圓的顏色全不相同"，事件8=“三個圓的顏色不全相同”，事件C

="其中兩個圓的顏色相同"，事件。=”三個圓的顏色全相同”.

（1）寫出試驗的樣本空間；

（2）用集合的形式表示事件4,B,C,D；

（3）事件B與事件C有什么關系？事件4和B的交事件與事件D有什么關系？

解：（1）用數組（a,b,c）表示可能的結果，a,b,c分別表示三個圓所涂的顏色，則試

驗的樣本空間

Q=｛（紅，紅，紅），（黃，黃，黃），（藍，藍，藍），（紅，紅，黃），（紅，紅，藍），（藍，

藍，紅），（籃，藍，黃），（黃，黃，紅），（黃，黃，藍），（紅，黃，藍）｝.

（2）A=｛（紅，黃，藍）｝,B=｛（紅，紅，黃），（紅，紅，藍），（藍，籃，紅），（藍，藍，

黃），（黃，黃，紅），（黃，黃，藍），（紅，黃，藍）｝,C=｛（紅，紅，黃），（紅，紅，籃），（藍，

藍，紅），（藍，藍，黃），（黃，黃，紅），（黃，黃，藍）｝,。=｛（紅，紅，紅），（黃，黃,黃），

（藍，藍，藍）｝.

（3）由（2）可知CUB,ADB=A,4與。互斥，所以事件B包含事件C,事件4和8的

交事件與事件。互斥.

[ill_

■課堂小結

——本課須掌握的問題

概率論與集合論之間的對應關系

記號概率論集合論

n樣本空間，必然事件全集

0不可能事件空集

0)樣本點元素

A隨機事件子集

AA的對立事件1的補集

AQBA出現必然導致3出現4是8的子集

A=B事件4與事件8相等集合4與集合8相等

AUB事件A與事件B的和集合4與集合8的并集

AnB事件A與事件B的積集合4與集合B的交集

4與8兩集合中沒有相

A3=0事件4與3互不相容

同的元素

10.1.3古典概型

［目標］1.理解古典概型及其概率計算公式；2.會用列舉法計算一些隨機事件所含的樣

本點個數及事件發生的概率；3.掌握利用概率的性質求古典概型的概率的方法.

［重點］古典概型的概率及其概率計算.

［難點］應用列舉法求古典概型的概率.

要點整合夯基礎

知識點古典概型

［填一填］

1.古典概型的特點

①有限性：試驗的樣本空間的樣本點只有直限個；

②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.

2.古典概型的概率公式

a/rr——事件A包含的樣本方個數

對任何事件A,P(A)一樣本空間。包含的樣本點個數.

【答一答I

1.在區間［2013,2014］上任取一個實數的試驗，是不是古典概型？

提示：不是，因為在區間［2013,2014］上任取一個實數，是無限的.不符合試臉結果

有有限個的古典概型特點.

2.擲一枚不均勻的骰子，求出現點數為偶數點的概率，這個概率模型還是古典概型

嗎？

提示：不是.因為骰子不均勻，所以每個樣本點出現的可能性不相等，不滿足等可能

性.

3.如何用集合的觀點理解古典概型的概率公式？

提示：在一次試驗中，等可能出現的〃個結果可以組成一個集合/,這"個結果就是

集合/的〃個元素.各個基本事件都對應著集合/的只含1個元素的子集，包含加個結果的

事件A就對應著集合/的包含機個元素的子集A'.從集合的角度看，如圖所示，事件4的

概率就是子集A'的元素個數card(A')與集合/的元素個數card⑺之比，即尸(4)=舞焉，

~n'

典例講練破題型

類型一古典概型的判斷

［例1］判斷下列試驗是不是古典概型：

(1)口袋中有2個紅球、2個白球，每次從中任取1球，觀察顏色后放回，直到取出紅

球；

(2)從甲、乙、丙、丁、戊5名同學中任意抽取1名擔任學生代表；

(3)射擊運動員向一靶子射擊5次，脫靶的次數.

［分析］運用古典概型的兩個特征逐個判斷即可.

|解］(1)每次摸出1個球后，仍放回袋中，再摸1個球.顯然，這是有放回抽樣，依

次摸出的球可以重復，且摸球可無限地進行下去，即所有可能結果有無限個，因此該試驗不

是古典概型.

(2)從5名同學中任意抽取1名，有5種等可能發生的結果：抽到學生甲，抽到學生乙，

抽到學生丙，抽到學生丁，抽到學生戊.因此該試臉是古典概型.

(3)射擊的結果：脫靶。次，脫靶I次，脫靶2次，…，脫靶5次.這都是樣本點，但

不是等可能事件.因此該試驗不是古典概型.

通法提煉

1.古典概型的判斷方法：

一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征，即有限性和

等可能性，因而并不是所有的試驗都是古典概型.

2.下列三類試驗都不是古典概型：

(1)樣本點個數有限，但不等可能；

(2)樣本點個數無限，但等可能；

(3)樣本點個數無限，也不等可能.

［變式訓練1］下列試驗中是古典概型的是(B)

A.在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發芽

B.口袋里有2個臼球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球

C.向一個圓面內隨機地投一個點，觀察該點落在圓內的位置

D.射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結果為命中10環，命中9環，…，命中0環

解析：由古典概，型的兩個特征易知B正確.

類型二簡單的古典概型的問題

［例2］有編號為4,A2,…，A*的10個零件，測量其直徑(單位：cm),得到下面

數據:

編號4444A54647A849Ao

直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47

其中直徑在區間［1.48,1.52］內的零件為一等品.

(1)從上述10個零件中，隨機抽取1個，求這個零件為一等品的概率；

(2)從這些一等品中，隨機抽取2個零件，

①用零件的編號列出樣本空間；

②求這2個零件直徑相等的概率.

［分析］首先，閱讀題目，收集題目中的各種信息；其次，判斷事件是否為等可能事

件，并用字母A表示所求事件；再次，求出事件的樣本空間。包含的樣本點個數〃及事件

A包含的樣本點個數相；最后，利用公式P(A)=

樣本空間Q包含的樣本點個數=不求出事件A的概率.

［解］(1)由題表知一等品共有6個，設“從10個零件中，隨機抽取1個為一等品”為

事件A,則尸(4)=令=,.

(2)①一等品的編號為Ai,A2,A3,A4,A5,A6,從這6個一等品中隨機抽取2個，樣

本空間0={(Ai,A2),(Ai,A3),(A［，A4),(4,A5),(Ai,4),(A2,A3),(A2,A4),(A2,

A5),

(A2,4),(A3,A4),(A3,A5),(A3,4),(4,As),(A4,4),(A5,46)},共15個樣

本點.

②將“從一等品中，隨機抽取的2個零件直徑相等”記為事件8,則8包含的樣本點

有(4,4),(Ai,4),(4,4),(A2,A3),(A2,4),(4,A5),共6個，；.P(B)=卷=|.

通法提煉

根據古典概型概率公式P(A)=

A包含的樣本點個數,小什“驪

樣本空間Q包含的樣本點個數一7進仃解趣1

［變式訓練2］將一枚質地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次觀察出現點數的情況.

(1)一共有多少個不同的樣本點？

(2)點數之和為5的樣本點有多少個？

(3)點數之和為5的概率是多少？

解：(1)將一枚質地均勻的正方體骰子拋擲一次，得到的點數有123,4,5,6,共6個樣

本點，故先后將這枚骰子拋擲兩次，一共有6X6=36(個)不同的樣本點.

(2)點數之和為5的樣本點有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4個.

(3)正方體骰子是質地均勻的，將它先后拋擲兩次所得的36個樣本點是等可能出現的，

4I

其中點數之和為5(記為事件A)的樣本點有4個，因此所求概率P(A)=x=§.

類型三較復雜的古典概型問題

［例3］在一次口試中，考生要從5道題中隨機抽取3道進行回答，答對其中2道題

為優秀，答對其中1道題為及格，某考生能答對5道題中的2道題，試求：

(1)他獲得優秀的概率為多少；

(2)他獲得及格及及格以上的概率為多少.

［分析］這是一道古典概率問題，須用列舉法列出樣本點個數.

|解|設這5道題的題號分別為1,2,3,4,5,其中，該考生能答對的題的題號為4,5,則

從這5道題中任取3道回答,該試驗的樣本空間{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),

(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},共10個樣本點.

3

(1)記“獲得優秀”為事件A,則隨機事件4中包含的樣本點個數為3,故P(A)=行.

(2)記“獲得及格及及格以上”為事件8,則隨機事件B中包含的樣本點個數為9,故

9

產⑻=而

通法提煉

解決有序和無序問題應注意兩點

(1)關于不放回抽樣，計算樣本點個數時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順

序的，其最后結果是一致的.但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會產生錯

誤.

(2)關于有放回抽樣，應注意在連續取出兩次的過程中，因為先后順序不同，所以(m,

b),(b,a。不是同一個樣本點.

［變式訓練3］甲、乙兩個均勻的正方體玩具，各個面上分別刻有123,4,5,6六個數字,

將這兩個玩具同時擲一次.

(1)若甲上的數字為十位數，乙上的數字為個位數，問可以組成多少個不同的數，其中

個位數字與十位數字均相同的數字的概率是多少？

(2)兩個玩具的數字之和共有多少種不同結果？其中數字之和為12的有多少種情況？

數字之和為6的共有多少種情況？分別計算這兩種情況的概率.

解:⑴甲有6種不同的結果，乙也有6種不同的結果，故樣本點總數為6X6=36(個).其

中十位數字共有6種不同的結果，若十位數字與個位數字相同，十位數字確定后，個位數字

也即確定.故共有6X1=6(種)不同的結果，即概率為假=看.

(2)兩個玩具的數字之和共有2,3,4,5,6,7,8,9,10/1,12共11種不同結果.出現數字之和

為12的只有一種情況，故其概率為點.出現數字之和為6的共有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),

(5,1)五種情況，所以其概率為親

課堂達標練經典

1.一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現從袋中取出1個球，然后放回袋中再取出1

個球，則取出的2個球同色的概率為(A)

A-2B-3

號

解析：把紅球標記為紅1、紅2,白球標記為白1、白2,本試驗的樣本點共有16個，

其中2個球同色的樣本點有8個：(紅1,紅1),(紅1,紅2),(紅2,紅1),(紅2,紅2),

Q1

(白1,白I),(白1,白2),(白2,白1),(白2,白2),故所求概率為2=諱=菱.

2.甲、乙兩人有三個不同的學習小組A,B,C可以參加，若每人必須參加并且僅能

參加一個學習小組(兩人參加各小組的可能性相同)，則兩人參加同一個學習小組的概率為

A)

A-3B4

C-5D6

解析：甲、乙兩人參加學習小組，若以(A,8)表示甲參加學習小組A,乙參加學習小

組B,則一共有(4,A),(A,B),(A,O,(B,A),(B,B),(B,Q,(C,A),(C,B),(C,

O,共9種情形，其中兩人參加同一個學習小組共有3種情形，根據古典概型概率公式，得

r3-

3.先后拋擲兩顆骰子，所得點數之和為7的概率為(C)

A-3B12

C.6遍

解析：拋擲兩顆骰子，一共有36種結果，其中點數之和為7的共有6種結果，根據

古典概,型的概率公式，得尸=\.

4.從三男三女共6名學生中任選2名(每名同學被選中的概率均相等)，則2名都是女

同學的概率為g

解析：用A,B,C表示三名男同學，用a,b,c表示三名女同學，則從6名同學中選

出2人的所有選法為(4,B),(A,O,(4,a),(A,b),(A,c),(8,Q,(B,a),(B,b),

(B,c),(C,a),(C,b),(C,c),(a,b),(a,c),(b,c),共15種,2名都是女同學的選

31

法為3,〃)，(a,c),3,c),共3種，故所求的概率為古=/

5.海關對同時從A,B,C三個不同地區進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區進

口此種商品的數量(單位：件)如表所示.工作人員用分層隨機抽樣的方法從這些商品中共抽

取6件樣品進行檢測.

地區ABC

數量50150100

(1)求這6件樣品中來自4,B,C各地區商品的數量；

(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來自相

同地區的概率.

解：⑴因為樣本量與總體中的個體數的比是%廠壽=專，

所以樣本中包含三個地區的個體數量分別是50X點=1,150義點=3,100X表=2,

所以A,B,C三個地區的商品被抽取的件數分別為1,3,2.

(2)設6件來自A,B,C三個地區的樣品分別為4;Bi,B2,By,G,C2,則抽取的

這2件商品構成的所有樣本空間Q={(Ai,Bi),(Ai,Bi),(Al,83),(A,G),(Al(C2),

(B\,Bi),(Bi,B3),(Bi,Ci),(Bi,Q),(&,83),(&,G),(%C2),(83,Ci),(B3,

Ci),(G,C2)},共15個樣本點.

每個樣品被抽到的機會均等，因此這些樣本點出現的機會是等可能的.記事件。="抽

取的這2件商品來自相同地區”，則。={(囪，&),(Bi,B3),(82,B3),(Ci,C2)},共4

個樣本點.

44

所以P(D)=Z，即這2件商品來自相同地區的概率為百.

1t.課堂小結

本課須掌握的兩大問題

1.一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征，即有限

性和等可能性，因而并不是所有的試驗都是古典概型.

2.求某個隨機事件包含的樣本點個數是求古典概型概率的基礎和關鍵.應做到不重

不漏.

10.1.4概率的基本性質

［目標］掌握概率的基本性質并能運用這些性質求一些簡單事件的概率.

［重點］概率基本性質的理解.

［難點］概率的基本性質的應用.

要點整合夯基礎

知識點概率的幾個基本性質

［填一填I

(1)對任意的事件A,都有P(A)》O.

(2)必然事件的概率為］，不可能事件的概率為0,即P(Q)=1,P(0)=O.

(3)如果事件A與事件B互斥，那么尸(4UB)=P(A)+P(B).

(4)如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1—P(A),P(A)=\-P(B).

(5)如果AU8,那么P(A)WP(B).

(6)設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AAB).

I答一答1

1.(1)若4,B為互斥事件，則(D)

A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)>1

C.P(A)+P(8)=1D.P(4)+P(8)W1

(2)隨機事件A發生的概率的范圍是(D)

A.P(A)>0B.P(A)<1

C.0<P(A)<lD.0<P(A)Wl

解析：(1)由互斥事件的定義可知，選D.

(2)必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0,隨機事件的概率在［0,1］上.故選D.

2.若事件P(A)+P(B)=1,事件A與事件B是否一定對立？試舉例說明.

提示：事件4與事件8不一定對立.例如：拋擲一枚均勻的骰子，記事件A=“出現

偶數點"，事件B=”出現1點或2點或3點”，則P(A)+P(B)=￡+；=1.當出現2點時,

事件4與事件8同時發生，所以事件A與事件8不互斥，顯然也不對立.

典例講練破題型

類型一互斥事件概率加法公式的應用

［例1］某射手在一次射擊訓練中，射中10環，9環，8環，7環的概率分別為

0.21,0.23,0.25,0.28,計算這個射手在一次射擊中：

(1)射中10環或7環的概率；

(2)超過7環的概率.

［分析］先設出事件，判斷是否互斥或對立，然后再使用概率公式求解.

［解］(1)設4="射中10環”，B=“射中7環”，由于在一次射擊中，A與B不可

能同時發生，故A與B是互斥事件.AUB="射中10環或7環”.

故P(AUB)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.所以射中10環或7環的概率為0.49.

(2)設6=“超過7環”，則事件E="射中8環或9環或10環”，由(1)可知“射中8

環”“射中9環”等彼此是互斥事件，

所以P(E)=0.21+0.23+0.25=0.69,

所以超過7環的概率是0.69.

通法提煉4

對于一個較復雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當這些事件彼此互斥時，

原事件的概率等于這些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推廣為：尸(A|UA2

U…LM“)=P(AI)+P(A2)+…+尸(A“).其使用的前提條件仍然是Al,A2,…，A”彼此互斥.

故解決此類題目的關鍵在于分解事件及確立事件是否互斥.

［變式訓練1］擲一枚均勻的正六面體骰子，設A表示事件“出現2點”，8表示“出

現奇數點”，則P(AUB)等于(B)

A4D.|

B.3zC.67

131

解析：：P(A)=不P(B)=W=2，事件A與8互斥，由互斥事件的概率加法公式得P(A

112

U8)=P(4)+P(B)=%+］=1-

類型二