第七章第三節三重積分第1頁，課件共27頁，創作于2023年2月一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用

引例:設在空間有限閉區域內分布著某種不均勻的物質,求分布在內的物質的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質量

M.密度函數為機動目錄上頁下頁返回結束第2頁，課件共27頁，創作于2023年2月定義.

設存在,稱為體積微元,

若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數在上的三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似.性質:例如下列“乘中值定理.在有界閉域

上連續,則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作機動目錄上頁下頁返回結束第3頁，課件共27頁，創作于2023年2月二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設連續函數并將它看作某物體通過計算該物體的質量引出下列各計算最后,推廣到一般可積函數的積分計算.的密度函數,方法:機動目錄上頁下頁返回結束第4頁，課件共27頁，創作于2023年2月方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質量為細長柱體微元的質量為微元線密度≈記作機動目錄上頁下頁返回結束第5頁，課件共27頁，創作于2023年2月方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質量為該物體的質量為面密度≈記作機動目錄上頁下頁返回結束第6頁，課件共27頁，創作于2023年2月投影法方法3.三次積分法設區域利用投影法結果,把二重積分化成二次積分即得:機動目錄上頁下頁返回結束第7頁，課件共27頁，創作于2023年2月當被積函數在積分域上變號時,因為均為非負函數根據重積分性質仍可用前面介紹的方法計算.機動目錄上頁下頁返回結束第8頁，課件共27頁，創作于2023年2月小結:三重積分的計算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計算時應根據三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數及積分域的特點靈活選擇.機動目錄上頁下頁返回結束第9頁，課件共27頁，創作于2023年2月其中

為三個坐標例1.

計算三重積分所圍成的閉區域.解:面及平面機動目錄上頁下頁返回結束第10頁，課件共27頁，創作于2023年2月例2.

計算三重積分解:

用“先二后一”機動目錄上頁下頁返回結束第11頁，課件共27頁，創作于2023年2月2.利用柱坐標計算三重積分

就稱為點M的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系:坐標面分別為圓柱面半平面平面機動目錄上頁下頁返回結束第12頁，課件共27頁，創作于2023年2月如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數用柱面坐標表示時變量互相分離.機動目錄上頁下頁返回結束第13頁，課件共27頁，創作于2023年2月其中

為由例3.計算三重積分所圍解:在柱面坐標系下及平面柱面成半圓柱體.機動目錄上頁下頁返回結束第14頁，課件共27頁，創作于2023年2月例4.

計算三重積分解:在柱面坐標系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=機動目錄上頁下頁返回結束第15頁，課件共27頁，創作于2023年2月3.利用球坐標計算三重積分

就稱為點M的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系坐標面分別為球面半平面錐面機動目錄上頁下頁返回結束第16頁，課件共27頁，創作于2023年2月如圖所示,在球面坐標系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;2)被積函數用球面坐標表示時變量互相分離.機動目錄上頁下頁返回結束第17頁，課件共27頁，創作于2023年2月例5.計算三重積分解:在球面坐標系下所圍立體.其中

與球面機動目錄上頁下頁返回結束第18頁，課件共27頁，創作于2023年2月例6.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標系下所圍立體為且關于xoz

機動目錄上頁下頁返回結束第19頁，課件共27頁，創作于2023年2月內容小結積分區域多由坐標面被積函數形式簡潔,或坐標系體積元素適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應雅可比行列式為變量可分離.圍成;機動目錄上頁下頁返回結束第20頁，課件共27頁，創作于2023年2月1.

計算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采用“三次積分”較好.機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習第21頁，課件共27頁，創作于2023年2月所圍,故可思考:若被積函數為f(y)時,如何計算簡便?表為解:機動目錄上頁下頁返回結束第22頁，課件共27頁，創作于2023年2月2.計算其中解:利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結束第23頁，課件共27頁，創作于2023年2月曲面的面積設光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則機動目錄上頁下頁返回結束第24頁，課件共27頁，創作于2023年2月故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機動目錄上頁下頁返回結束第25頁，課件共27頁，創作于2023年2月若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有