第第頁安徽省安慶、池州、銅陵三市2024屆高三上學期開學聯考數學試題（Word版含答案）姓名________座位號________

（在此卷上答題無效）

安慶、池州、銅陵三市2024屆高三上學期開學聯考

數學

本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

考生注意事項：

1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。

3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。

4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知集合，，則集合（）

A．B．C．D．

2．若復數z滿足，則（）

A．B．iC．D．

3．已知，則（）

A．B．C．D．

4．在封閉的等邊圓錐（軸截面為等邊三角形）內放入一個球，若球的最大半徑為1，則該圓錐的體積為（）

A．B．C．D．

5．已知函數為奇函數，則（）

A．B．C．D．

6．分形幾何是一門新興學科，圖1是長度為1的線段，將其三等分，以中間線段為邊作無底邊正三角形得到圖2，稱為一次分形；同樣把圖2的每一條線段重復上述操作得到圖3，稱為二次分形；……，則第5次分形后圖形長度為（）

圖1圖2圖3

A．B．C．D．

7．已知橢圓C的左右焦點分別為，，P，Q為C上兩點，，若，則C的離心率為（）

A．B．C．D．

8．已知正方體的棱長為1，P，Q分別為棱，上的動點，則四面體PQAD的體積最大值為（）

A．B．C．D．

二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．

9．甲乙兩名射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環數如下：

甲78795491074

乙9578768677

則（）

A．甲乙兩人射擊成績的平均數相同

B．甲乙兩人射擊成績的中位數相同

C．甲命中環數的極差大于乙命中環數的極差

D．甲比乙射擊成績更穩定

10．已知，，，A，B兩點不重合，則（）

A．的最大值為2

B．的最大值為2

C．若，最大值為

D．若，最大值為4

11．已知為函數的極值點，則（）（參考數據：）

A．在上單調遞減B．的極小值為-2

C．D．

12．已知平行四邊形ABCD中，，，，P，Q分別為△ABC與△ADC的外接圓，上一點，則（）

A．P，Q兩點之間的距離的最大值為6

B．若直線PQ與，都相切，則直線PQ的斜率為1

C．若直線PQ過原點與相切，則直線PQ被截得的弦長為4

D．的最大值為

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．二項式的展開式中的常數項為________．

14．寫出函數，的一個單調遞增區間為________．

15．過拋物線C：的焦點F的直線l與C交于A，B兩點，且，O為坐標原點，則△OAB的面積為________．

16．已知函數既有極小值又有極大值，則實數a的取值范圍是________．

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（10分）

如圖，在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，，滿足．

（1）求；

（2）點D在BC上，，，求AB．

18．（12分）

已知數列滿足，

（1）記，求證：數列是等比數列；

（2）若，求．

19．（12分）

為發展體育運動增強學生體質，甲乙兩班各5名同學進行羽毛球友誼賽，每人至多參加一場比賽，各場比賽互不影響，比賽勝者本班獲得相應積分，負者班級積分為0，其中甲班5名參賽學生的情況如下表：

學生ABCDE

獲勝概率0.40.50.60.70.8

獲勝積分87654

（1）若進行5場比賽，求甲班至多獲勝4場的概率；

（2）若進行3場比賽，依據班級積分期望超過10為參賽資格，請問甲班BCD三人組合是否具有參賽資格？請說明理由．

20．（12分）

在矩形ABCD中，，將△ADC沿AC折起至△APC的位置，且．

（1）求證：平面平面PBC；

（2）求二面角的正弦值．

21．（12分）

已知雙曲線C：（，）的離心率為2，在C上．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）不經過點P的直線l與C相交于M，N兩點，且，求證：直線l過定點．

22．（12分）

已知函數，，若曲線與相切．

（1）求函數的單調區間；

（2）若曲線上存在兩個不同點，關于y軸的對稱點均在圖象上，

①求實數m的取值范圍；

②證明：．

數學參考答案

題號123456789101112

答案CDBADCDAABCADBCDBD

1．【解析】，所以，故選C．

2．【解析】，故選D．

3．【解析】因為，所以，，，或（舍去），故選B．

4．【解析】設底面半徑為r，由已知得，高為．故體積為．

5．【解析】由已知，因為，故，所以，故．

6．【解析】一次分形長度為，二次分形長度為，5次分形長度為，故選C．

7．【解析】設，則，，．

在中得：，即．在中得：，故．

8．【解析】過點Q作，，，設，，則t，，，，，，故四面體PQAD的體積為，當時，其最大值為，故A正確．

9．【解析】可求甲乙平均數為，中位數均為7，故A，B正確；甲的極差為6，乙的極差為4，故C正確；甲的標準差為：，乙的標準差為：，故D錯誤．

10．【解析】由已知A，B為單位圓上任意兩點，，，A正確；設D為AB的中點，則，故B錯誤；當P，A，B共線時，，故C錯誤；當P，A，B共線時，，故D正確．

11．【解析】，由，故，所以，，此時，在，上單調遞增，在單調遞減．極小值為，故．又，故BCD正確．

12．【解析】可求，由，，的方程為：，的方程為：，，P，Q兩點之間的距離的最大值為，故A錯誤．由已知，故直線PQ的斜率為1，所以B正確．當PQ斜率為0時，直線PQ被截得的弦長為4，當PQ斜率不為0時，直線PQ被截得的弦長不為4，故C錯誤．當DP與相切時，最大，此時，故，所以D正確．

13．【答案】15【解析】展開式第項為：，由，得，故常數項為．

14．【答案】，或，等【解析】因為，所以為偶函數，由，，故在上單調遞增，在上單調遞減，由對稱性可知在上單調遞增．

15．【答案】【解析】由已知得，設直線l的方程為代入整理得，設，，故，①②，又，故③。由①②③解得．此時，，O到AB距離為：．故△OAB的面積為．

16．【答案】【解析】在上有兩個不等的實數根，故，解得．

17．【解析】（1）由已知及正弦定理得：，即．……2分

由余弦定理得：，又，所以．……3分

故，

所以……5分

（2）由（1）知，又，所以，

……7分

在△ABD中，由正弦定理得：

，所以……10分

18．【解析】（1）由已知，由已知，又

當時，……2分

故，

所以數列是首項為5，公比為2的等比數列……4分

（2）由（1）知：……6分

……8分

設……10分

故……12分

19．【解析】（1）記A，B，C，D，E參賽獲勝事件分別用A，B，C，D，E表示，

5場全勝的概率為：……2分

甲班至多獲勝4場與5場全勝為對立事件，故甲班至多獲勝4場的概率為

甲班至多獲勝4場的概率為0.9328……4分

（2）記BCD三人組合班級得分為Y，Y的取值分別為0，7，6，5，11，12，13，18，由已知得

，

，

，

，……10分

因為，所以BCD三人組合具有參賽資格……12分

20．【解析】（1）由已知可得：，，

在△PBC中，，故……2分

又，且，平面PAB

因為，所以平面平面PBC……4分

（2）取AB、CD的中點O、E，連接OP，OE．

因為，所以，

由（1）知：平面平面ABC，……6分

所以平面ABC．

以OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系。

則，，，……8分

設平面APC的法向量為，，

，，故，

取，，，則……10分

又平面APC的法向量為，。

所以二面角的正弦值為……12分

21．【解析】（1）由已知得：，所以，又，……2分

解得，，故雙曲線C的方程為……4分

（2）設直線l的方程為，與C：聯立整理得：

，由已知。

設，，則，①……6分

由得：②……8分

由①②聯立得：，即，

由已知l不經過點，故，所以故，……10分

l：，過定點

當軸時，設，，解得，滿足條件

故直線l過定點……12分

22．【解析】（1）設曲線與的切點坐標為，

由，得．

故切線方程為：

即，又切線方程為，

所以①，且②……2分

設，，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減。

最大值為，

由②可得