第七章時變電磁場第1頁，課件共55頁，創作于2023年2月§7.1位移電流和推廣的安培回路定律1、問題的提出①高斯定理(庫侖定律）

②安培回路定律（安培磁力定律）

③法拉第定律（電磁感應定律）

④電流連續方程（電荷守恒原理）

前面各章的總結：靜態場結論時變場結論★考察①②在時變場中的適用性：對兩邊取散度，有靜態場成立時變場不成立第2頁，課件共55頁，創作于2023年2月2、推廣的安培回路定律

麥克斯韋提出安培回路定律的修正于是即若要滿足，必須為了得到的表達式，進一步假設對時變場成立由此可得比較兩邊，得因此得到推廣的安培回路定律：積分形式微分形式第3頁，課件共55頁，創作于2023年2月3、位移電流密度①來源a.電場隨時間的變化率b.極化電介質的極化強度隨時間的變化率②全電流密度③全電流連續性方程對兩邊取散度，得積分形式為全電流的無散性和連續性第4頁，課件共55頁，創作于2023年2月4、推廣的安培回路定律的物理意義①分布電流和時變的電場都是磁場的源②定律本身無法用實驗直接驗證。但由此得到的電磁理論與時變場的所有現象相吻合，從而被間接的得到驗證。③位移電流與分布電流有著本質的區別，的存在并不要求伴隨電荷的定向運動，而只是電場的變化率。第5頁，課件共55頁，創作于2023年2月例7.1試證明電容器中的位移電流等于導線中的傳導電流證明：①導線上的傳導電流是假設電容器極板面積為S，電荷在極板上均勻分布，則所以傳導電流為②由導體的邊界條件知則位移電流為③因此★位移電流作為傳導電流的繼續，從電極1流到電極2若作一閉合曲面S包圍電極1，則：傳導電流I流入閉合面為負值位移電流Id流出閉合面為正值閉合面S上總電流滿足全電流連續性方程第6頁，課件共55頁，創作于2023年2月§7.2麥克斯韋方程組1、微分形式①描述宏觀電磁現象的基本方程組動電生磁動磁生電電流與電荷關系★高斯定律與電流連續方程的等價性證明：所以對比可知反之亦然因為第7頁，課件共55頁，創作于2023年2月其中可以由導出②Maxwell方程組我們采用高斯定律，而將電流連續方程略去。因此，不要這個方程也不會影響基本方程組的正確性和完備性，但增加該方程使基本方程組具有了對稱性，為方程組的求解提供了方便。第8頁，課件共55頁，創作于2023年2月2、積分形式

3、媒質本構方程（輔助方程）

僅由麥克斯韋方程組的四個基本方程還無法求解出電磁場的具體分布需要補充如下3個方程通過對上述方程的分析，麥克斯韋預言了時變的電磁場將以波的形式按光速傳播。并在1888年，由物理學家赫茲首次用實驗驗證了上述預言的正確性。第9頁，課件共55頁，創作于2023年2月4、麥克斯韋方程組的限定形式將本構方程各式代入麥克斯韋方程組的微分形式中，得5、麥克斯韋方程組的局限性①帶電體的受力問題離散連續②機械力問題牛頓定律③微觀領域問題量子力學第10頁，課件共55頁，創作于2023年2月§7.3正弦電磁場時變電磁場隨時間的變化規律可以有多種形式：正弦波、方波、鋸齒波、脈沖……按照付里葉理論周期的函數可以展開為付里葉級數非周期函數可以展開為付里葉變換因此，不論對周期性或非周期性的時變電磁場，都可以通過對正弦電磁場的數學變換來進行分析和求解。第11頁，課件共55頁，創作于2023年2月一.正弦電磁場的復數表示法

基礎：正弦電磁場的時間變量和空間坐標變量可以進行分離約定：用余弦函數表示正弦點磁場1、振幅例：將點的正弦電場寫作其中、振幅初位相角頻率單位：rad/s頻率單位：Hz或s-1只與位置有關第12頁，課件共55頁，創作于2023年2月2、復振幅先求解空間變化，然后再考慮其時間因素，降低求解難度。利用歐拉公式，則有令，則表達式更為簡潔考慮x分量稱為復振幅，一般是坐標變量的復函數，包含著振幅和初相信息★為避免混淆復振幅寫成或，也可簡寫成瞬時值寫成，也可以簡記為振幅寫成，也可簡記為第13頁，課件共55頁，創作于2023年2月3、復矢量利用復數的基本運算法則，電場表示為上式稱為電場矢量的復數表示法稱為電場強度的復矢量

它的各分量就是每個瞬時分量的復振幅。★特別強調指出：①復振幅和復矢量都只是場點坐標的函數或常量，因此在它們的表達式中不應出現時間變量t

；②而瞬時場矢量或分量都是實數域內的函數，在它們的表達式中不能出現復數的標記j。第14頁，課件共55頁，創作于2023年2月例7.2已知一電場的瞬時矢量為寫出它的復矢量。解：首先利用三角關系將電場順勢矢量的z分量寫成余弦函數所以復矢量表達式為第15頁，課件共55頁，創作于2023年2月例7.3已知一磁場分量的復振幅為

頻率為，寫成對應的瞬時表達式。對應的瞬時分量表達式為將所給表達式寫成模值和輻角的形式解：利用公式第16頁，課件共55頁，創作于2023年2月二.麥克斯韋方程的復數形式

考察瞬時安培回路定律利用復數表達式得因為取實和微分可互換順，則因此可以得到安培回路定律的復數表示第17頁，課件共55頁，創作于2023年2月利用同樣的方法，還可以得到這組復矢量的方程組稱為麥克斯韋方程組的復數形式，或復麥克斯韋方程組。頻域方法：首先求解復麥克斯韋方程組，得到所求的復矢后，再利用瞬時矢量與復矢量的關系式得到瞬時場量。時域方法：直接求解瞬時麥克斯韋方程組獲得瞬時場量。★時域方法、頻域方法第18頁，課件共55頁，創作于2023年2月例7.4假設真空中有一電場矢量為求磁場矢量

解法1:將電場表達式代入瞬時麥克斯韋方程組第2式，得

兩邊對t積分，得到第19頁，課件共55頁，創作于2023年2月解法2:電場的復矢量為

代入復麥克斯韋第二方程，得

第20頁，課件共55頁，創作于2023年2月§7.4媒質的色散與損耗一.媒質的色散和復電磁參數1、色散現象在時變電磁場中，媒質參數隨頻率變化的現象稱為媒質色散。2、色散現象來源

媒質的極化、磁化、載流子的定向運動在時變電磁場的作用下，極化、磁化及載流子運動都將隨著電場和磁場的指向變化而不斷改變方向。由于電荷載體粒子的慣性影響，粒子的運動將落后于場的變化，產生滯后效應。以極化為例：當頻率很高時，只有電子極化的建立能夠跟上場的周期變化，以電子極化的貢獻為主，所以一般媒質的極化強度都有隨場頻率增高而逐漸減小的趨勢第21頁，課件共55頁，創作于2023年2月3、復電容率由于極化狀態滯后于電場狀態，因此除了極化強度的模值隨頻率變化外，其相位也要滯后于電場的相位為滯后相位是與頻率f有關的函數對于時變場，一般不成立，因為相位不一致。與有著復雜的關系由于輔助方程不具備正比形式，所以對色散媒質必須用頻域法。對于某個特定頻率，可以象靜態場一樣，有對色散媒質，可令第22頁，課件共55頁，創作于2023年2月由此得到電通量密度的復矢量由于的相位滯后于，復極化率的輻角應小于零，所以的輻角也小于零，因此可以將ε寫作其中ε稱為復電容率可見，在復頻域內，復矢量與之間也有簡單的正比關系，只不過比例系數ε是一個復數。根據物理學原理，可知色散公式第23頁，課件共55頁，創作于2023年2月4、復磁導率對于一般的非鐵磁媒質而對鐵磁材料在頻域內，同樣有其中，稱為復磁導率5、電導率與極化和磁化相比，電導率的色散效應很弱，從直流到光頻都可以近似用一個實常數表示。因此，在時域和頻域內，本構方程具有簡單的正比關系★媒質的復參數是在頻域方法中引入的，只能在頻域中使用，對于瞬時場是沒有意義的。第24頁，課件共55頁，創作于2023年2月二.媒質的損耗和等效電容率

1、媒質損耗的來源①焦耳損耗σ②極化損耗和磁化損耗2、媒質損耗與頻率的關系第25頁，課件共55頁，創作于2023年2月3、等效復電容率由復麥克斯韋方程得稱為等效復電容率，稱為相對等效復電容率令采用了等效電容率后，可以將導電媒質視為一種等效的電介質，從而使各種媒質都可以用相同形式的麥氏方程求解。4、損耗角正切電損耗角正切磁損耗角正切損耗角正切的值越大，表示媒質對電磁能量的損耗越大。第26頁，課件共55頁，創作于2023年2月例7.5已知海水的。若振幅為100V/m，頻率為1kHz的電場存在于海水中，試求海水的損耗角正切和損耗功率密度。若頻率增高到1GHz又將如何?解:由題意知，海水的極化損耗可以忽略，所以相對等效電容率為

f=1KHz時

f=1GHz時

媒質損耗功率密度與頻率無關第27頁，課件共55頁，創作于2023年2月§7.5電磁場的能量關系－坡印廷定理一.瞬時坡印廷定理

聲明：為了書寫簡單，省略瞬時場量中的坐標變量和時間變量。設τ是時變電磁場媒質空間的一個區域，其外表面記為S

考察安培回路定律兩邊同時點乘，再在τ區域內作體積分，則有根據矢量關系可得所以有第28頁，課件共55頁，創作于2023年2月設媒質無色散損耗，則瞬時輔助方程成立

同理即于是有因此瞬時坡印廷定理焦耳損耗功率瞬時坡印廷矢量（功率流密度、能流密度）：單位時間內穿出閉合面S的電磁場能量單位時間τ內電磁能量的減少量第29頁，課件共55頁，創作于2023年2月★物理意義一個閉合曲面內的電磁能量在單位時間內的減少量等于兩部分功率之和：①τ內的導電損耗功率轉換為熱能散發，②以功率流的形式輻射到閉合面S之外。這是電磁能量守恒定律在一個閉合曲面上的表現形式。★穩恒場情況意義：對于穩恒場，τ內的焦耳損耗必須由外界提供能量。對穩恒場有根據瞬時坡印廷定理得第30頁，課件共55頁，創作于2023年2月例7.6設同軸傳輸線的內導體半徑為a，外導體的內半徑為b，中間填充介質的參量為μ和ε，內外導體間加電壓U，導體上有直流I。試通過坡印廷矢量計算同軸線傳輸的功率。解：①內外導體是理想導體令外導體接地（Ub=0），并設內導體單位長度帶電荷則介質中電場為在導體內，即r＜a及r＞b時，電場強度為零。內外導體間的電位差為所以介質中第31頁，課件共55頁，創作于2023年2月再求磁場強度，利用安培回路定律得因此，坡印廷矢量為沿同軸線傳輸的功率為表明：同軸線傳輸的功率等于電壓與電流的乘積，即等于負載電阻所消耗的功率。第32頁，課件共55頁，創作于2023年2月②若導體不理想(σ

值有限)內導體中電場矢量為根據邊界條件，導體外緊靠導體表面地方的電場矢量切向分量為該處的磁場矢量為因此，坡印廷矢量的法線分量為在長為l的圓柱面上進入導體的功率為其中R等于長為l的圓柱導體的電阻表明：進入導體的功率等于導體的損耗功率。第33頁，課件共55頁，創作于2023年2月二.復坡印廷定理瞬時坡印廷定理適用于任意時變場非色散媒質區域｛考慮｛色散媒質電磁場的平均功率引入復坡印廷定理1、定理證明對復安培回路定律兩邊取復共軛得交換哈密頓算子與共軛運算的次序，有兩邊點積，得到（a）第34頁，課件共55頁，創作于2023年2月根據矢量關系可得代入a式中，并兩邊同乘以1/2，得兩邊對體積τ積分，并對左邊應用散度定理，得考慮媒質的色散性質，則有第35頁，課件共55頁，創作于2023年2月因此得到復坡印廷定理將定理分寫成實部和虛部

2、有功功率和無功功率①有功功率（實部）實部的右邊分別表示著τ內各種損耗焦耳損耗極化損耗磁化損耗第36頁，課件共55頁，創作于2023年2月表明：在無源區域內，各種損耗功率的平均值之和等于從閉合面外流入的平均輸入功率，反映了S面上有功功率平均值的平衡關系。實部的左邊表示一個周期內進入S面的瞬時功率的平均值，即★平均坡印廷矢量★復坡印廷矢量為避免與混淆：復坡印廷矢量記作而瞬時坡印廷矢量記作或表示垂直方向上單位面積所通過的有功功率的平均值第37頁，課件共55頁，創作于2023年2月②無功功率（虛部）無功功率是指在S面內外振蕩交換的功率。對應著單位體積內正弦電場能量的平均值和磁場能量的平均值③舉例a.進入S面的有功功率就是電阻R上消耗的焦耳功率b.無功功率是電容C和電感L的電磁儲能與電源能量之間的交換功率，它等于電源的視在功率與電路的有功功率之差。c.閉合面S上用于振蕩交換的平均無功功率等于τ內磁場儲能平均值與電場儲能平均值之差的2ω倍。第38頁，課件共55頁，創作于2023年2月例7.7已知正弦電磁場的表達式為

解：瞬時坡印廷矢量為電場和磁場的復矢量為平均坡印廷矢量為求點P（1，2，0）處的和。

第39頁，課件共55頁，創作于2023年2月§7.6電磁場的波動方程1、瞬時波動方程討論范圍：限定在非色散均勻媒質的無源區域內。非色散：電磁參數是與f無關均勻：電磁參數是與坐標無關無源：①非齊次矢量波動方程考察麥克斯韋方程限定形式(a)(b)(c)(d)第40頁，課件共55頁，創作于2023年2月令（a）式兩邊對時間t求偏導，得對（b）式兩邊取旋度，得比較上面兩式，得到利用矢量恒等式，并注意，上式變成非齊次矢量波動方程

同理可得★時變的電磁場是電磁波。第41頁，課件共55頁，創作于2023年2月②齊次矢量波動方程若媒質是σ=0的非導電介質，則有2、矢量亥姆霍茲方程

討論范圍：均勻媒質無源區域其中

對于正弦電磁場，利用復麥克斯韋方程可得此時的媒質可以包括色散媒質第42頁，課件共55頁，創作于2023年2月§7.7標量位和矢量位1、瞬時位函數①定義式動態矢量磁位：動態電位：②洛倫茲規范討論范圍：均勻和非色散媒質考察安培回路定律代入本構方程，得再代入位函數定義式，得第43頁，課件共55頁，創作于2023年2月利用矢量恒等式，上式變成考察高斯定律代入位函數定義式，得所以有為了得到每個輔助位函數的獨立方程，必須增加新的限制條件洛倫茲規范③達朗貝爾方程第44頁，課件共55頁，創作于2023年2月2、復位函數利用瞬時位函數的結果可以得到關于復位函數的方程①定義式

②洛倫茲規范③達朗貝爾方程其中對色散媒質，ε,μ是復數④由表示電磁場第45頁，課件共55頁，創作于2023年2月3、靜態場與時變場當電磁場不隨時間變化時ω=0，亥姆霍茲方程退化為泊松方程

或者從瞬時達朗貝爾方程出發，也可以得到上面的結果。4、位函數的任意性①矢量電位和標量磁位②電赫茲矢量③磁赫茲矢量第46頁，課件共55頁，創作于2023年2月§7.8時變電磁場的邊界條件1、瞬時邊界條件

第47頁，課件共55頁，創作于2023年2月切向問題利用環路積分，法向問題利用閉合曲面積分可得邊界條件其中是界面上的分布面電荷密度是界面上的分布面電流密度。由媒質1指向媒質22、復邊界條件利用復麥克斯韋方程推導，會得到與以上四式完全相同的邊界條件表達式，不過此時各式中的物理量應為復矢量和復振幅。第48頁，課件共55頁，創作于2023年2月3、理想導體的邊界條件設1區是一般媒質，2區是σ2→∞的理想導體此時2區中的電場強度必須為0，否則利用歐姆定律有這在實際中是不可能的。因此同時，由麥克斯韋方程可得到可見2區的磁場與時間無關由此可知，2區理想導體內不存在時變的電磁場第49頁，課件共55頁，創作于2023年2月此時1區有電磁場，省略1區場量的下標，則4個邊界條件寫成理想導體外側的電場必垂直于導體表面，且；理想導體外側的磁場必平行于導體表面，且。可見：例7.8一時變電磁場的電場表達式為