第04講冪函數與二次函數1．冪函數(1)冪函數的定義：一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．(2)常見的五種冪函數的圖象和性質比較函數y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1圖象性質定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性在R上單調遞增在(－∞，0]上單調遞減；在(0，＋∞)上單調遞增在R上單調遞增在[0，＋∞)上單調遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調遞減公共點(1,1)2．一般冪函數的圖象特征(1)所有的冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．(2)當α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間[0，＋∞)上是增函數．特別地，當α>1時，冪函數的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數的圖象上凸．(3)當α<0時，冪函數的圖象在區間(0，＋∞)上是減函數．(4)冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖象關于直線y＝x對稱．(5)在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數按從小到大的順序排列．3．二次函數的圖象和性質解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調遞減；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調遞增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調遞增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調遞減對稱性函數的圖象關于直線x＝－eq\f(b,2a)對稱一．冪函數及其圖象和性質例1．（1）現有下列函數：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據冪函數的定義逐個辨析即可【詳解】冪函數滿足形式，故，滿足條件，共2個故選：B【復習指導】：判斷函數為冪函數的方法(1)自變量x前的系數為1.(2)底數為自變量x.(3)指數為常數．（2）下列命題中正確的是（

）A．當時，函數的圖像是一條直線；B．冪函數的圖像都經過和點；C．冪函數的定義域為；D．冪函數的圖像不可能出現在第四象限．【答案】D【分析】根據冪函數的性質依次分析各選項即可得答案.【詳解】解：對于A，時，函數的圖像是一條直線除去點，故錯誤；對于B，冪函數的圖像都經過點，當指數大于時，都經過點，當指數小于時，不經過點，故B錯誤；對于C，函數，故定義域為，故錯誤；對于D，由冪函數的性質，冪函數的圖像一定過第一象限，不可能出現在第四象限，故正確.故選：D.（3）冪函數在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據冪函數的性質，在第一象限內，的右側部分的圖像，圖像由下至上，冪指數增大，即可判斷；【詳解】根據冪函數的性質，在第一象限內，的右側部分的圖像，圖像由下至上，冪指數增大，所以由圖像得：，故選：D（4）已知冪函數的圖象經過點，且，則的取值范圍為(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根據已知條件求出的解析式，再根據的單調性和奇偶性求解即可.【詳解】由題意可知，，解得，，故，易知，為偶函數且在上單調遞減，又因為，所以，解得，或.故的取值范圍為.故選：C.（5）（多選）已知函數圖像經過點(4,2)，則下列命題正確的有（

）A．函數為增函數 B．函數為偶函數C．若，則 D．若，則【答案】ACD【分析】先代點求出冪函數的解析式，根據冪函數的性質直接可得單調性和奇偶性，由可判斷C，利用展開和0比即可判斷D.【詳解】將點(4,2)代入函數得：，則.所以，顯然在定義域上為增函數，所以A正確.的定義域為，所以不具有奇偶性，所以B不正確.當時，，即，所以C正確.當若時，==.即成立，所以D正確.故選：ACD.【點睛】本題主要考查了冪函數的性質，（6）若，試求的取值范圍.【答案】【分析】根據冪函數的定義域，將分成：同時大于零、同時小于零、三種情況，結合冪函數的單調性列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】∵，∴或或解得或.故的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查冪函數的定義域和單調性的運用，考查分類討論的數學思想方法，考查不等式組的解法，屬于中檔題.【復習指導】：(1)冪函數圖象的畫法①確定冪函數在第一象限內的圖象：先根據α的取值，確定冪函數y＝xα在第一象限內的圖象．②確定冪函數在其他象限內的圖象：根據冪函數的定義域及奇偶性確定冪函數f(x)在其他象限內的圖象．(2)解決與冪函數有關的綜合性問題的方法首先要考慮冪函數的概念，對于冪函數y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應冪函數的單調性和奇偶性也不同．同時，注意分類討論思想的應用．二．比較冪值的大小例2．（1）若，，，，則a，b，c，d的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據冪函數的概念，利用冪函數的性質即可求解.【詳解】冪函數在上單調遞增，又，，故選：C.（2）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助函數的單調性，可得解【詳解】由題意，構造函數，由指數函數和冪函數的性質，可知兩個函數在單調遞增；由于；由于；綜上：故選：A（3）已知，，則a、b、c的大小關系為（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【答案】C【分析】根據給定條件，利用指數函數、冪函數單調性即可比較大小作答.【詳解】函數是定義域R上的單調減函數，且，則，即，又函數在上單調遞增，且，于是得，即，所以a、b、c的大小關系為．故選：C（4）已知函數為上的偶函數，對任意，，均有成立，若，則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據條件判斷函數的單調性，然后利用單調性進行比較即可．【詳解】解：對任意，，均有成立，此時函數在區間為減函數，是偶函數，當時，為增函數，，，，因為，所以，因為，所以，所以，所以，即.故選：D．（5）比較下列各組中兩個冪的值的大小：=1\*GB3①，；=2\*GB3②，；=3\*GB3③，；=4\*GB3④，.【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.【解析】根據冪函數的單調性比較大小即可.【詳解】解：=1\*GB3①∵冪函數在上為增函數，又，.=2\*GB3②∵冪函數在上為增函數，又，.=3\*GB3③∵冪函數在上為減函數，又，.=4\*GB3④∵冪函數在上為減函數，又，.【點睛】本題考查冪函數的單調性的應用，屬于基礎題.【復習指導】：在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點：指數不變，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵，另外特別要善于應用“搭橋”法進行分組，常數0和1是常用的中間量．三．求二次函數的解析式例3．（1）已知函數的圖象關于y軸對稱，且與直線相切，則滿足上述條件的二次函數可以為_______.【答案】（答案不唯一）．【分析】關于軸對稱，函數為偶函數，可以設，然后由它與直線相切可求得的關系，取特殊可得結論．【詳解】因為二次函數的圖象關于y軸對稱，所以可設，由得，所以，即．取，，則，（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．（2）已知二次函數的圖像經過點，且函數是偶函數，則函數的解析式為___________.【答案】【分析】由偶函數易得關于對稱求參數b，根據圖象過點求參數c，寫出解析式即可.【詳解】∵是偶函數，有，∴關于對稱，即，故，又圖像經過點，∴，可得.故.故答案為：（3）已知二次函數f

(x)與x軸的兩個交點坐標為(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，則f(x)＝______.【答案】x2＋2x【詳解】設函數的解析式為f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq\f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.（4）二次函數f(x)滿足f(2)＝f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)＝________.【答案】－4x2＋4x＋7【詳解】方法一(利用一般式)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))所以所求二次函數的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用頂點式)因為f(2)＝f(－1)，所以拋物線的對稱軸為x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2).又根據題意函數有最大值8，所以f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8.因為f(2)＝－1，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.（5）已知是二次函數，且滿足，，，求函數的解析式.【答案】【分析】設，根據對稱軸、，可構造方程組求得，由此可得解析式.【詳解】設，，關于對稱，即；又，，，解得：.【復習指導】：求二次函數解析式的方法四．二次函數的圖象和性質命題點1二次函數的圖象例4．（1）已知函數（其中）的圖象如下圖所示，則的圖象是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據二次函數圖象上特殊點的正負性，結合指數型函數的性質進行判斷即可.【詳解】解：由圖象可知：，因為，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函數是減函數，，所以選項A符合，故選：A（2）在同一直角坐標系中，指數函數，二次函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據指數函數的單調性、二次函數的零點確定正確選項.【詳解】指數函數圖象位于x軸上方，據此可區分兩函數圖象．二次函數，有零點．A，B選項中，指數函數在R上單調遞增，故，故A錯誤、B正確．C，D選項中，指數函數在R上單調遞減，故，故C，D錯誤．故選：B（3）對數函數y＝logax（a＞0且a≠1）與二次函數y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐標系內的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】①當0＜a＜1時，對數函數y＝logax為減函數，二次函數開口向下，且其對稱軸為x＝，故排除C與D；②當a＞1時，對數函數y＝logax為增函數，二次函數開口向上，且其對稱軸為x＝，故B錯誤.【詳解】解：由對數函數y＝logax（a＞0且a≠1）與二次函數y＝（a﹣1）x2﹣x可知，①當0＜a＜1時，此時a﹣1＜0，對數函數y＝logax為減函數，而二次函數y＝（a﹣1）x2﹣x開口向下，且其對稱軸為x＝，故排除C與D；②當a＞1時，此時a﹣1＞0，對數函數y＝logax為增函數，而二次函數y＝（a﹣1）x2﹣x開口向上，且其對稱軸為x＝，故B錯誤，而A符合題意．故選：A．（4）已知函數，若關于的不等式的解集為，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得，且，3為方程的兩根，運用韋達定理可得，，的關系，可得的解析式，計算，（1），（4），比較可得所求大小關系．【詳解】關于的不等式的解集為，可得，且，3為方程的兩根，可得，，即，，，，可得，（1），（4），可得（4）（1），故選．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象和性質、函數與方程的思想，以及韋達定理的運用．命題點2二次函數的單調性例5．（1）已知函數f（x）=x2-kx-6在[2，8]上是單調函數，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據題意，求出二次函數f（x）的對稱軸，結合二次函數的性質可得2或8，解可得k的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：根據題意，函數f（x）＝x2﹣kx﹣6的對稱軸為x，若f（x）在[2，8]上是單調函數，必有2或8，解可得：k≤4或k≥16，即k的取值范圍是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；故選D．【點睛】本題考查二次函數單調性的性質，注意二次函數的性質，屬于基礎題．（2）函數的單調遞減區間為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函數的定義域，確定內層函數的單調性，再根據復合函數的單調性得出答案．【詳解】由題可得，即，所以函數的定義域為，又函數在上單調遞減，根據復合函數的單調性可知函數的單調遞減區間為，故選D．【點睛】本題考查對數函數的單調性和應用、復合函數的單調性、二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．（3）函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定的函數，借助二次函數分段討論其單調性作答.【詳解】當時，，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，則函數在上單調遞增，所以函數的單調遞減區間是.故選：A（4）已知函數在R上是增函數，則實數a的取值范圍是_______．【答案】【分析】保證在每一段都是增函數，同時要注意上、下段間端點值之間的大小關系，由此列出不等式組，進而可解得結果.【詳解】要使在上是增函數，則，解得.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于分段函數的單調性，有兩種基本的判斷方法：一是保證各段上同增(減)時，要注意上、下段間端點值之間的大小關系；二是畫出這個分段函數的圖象，結合函數圖象、性質進行直觀的判斷．（5）已知函數，若任意、且，都有，則實數a的取值范圍是___________．【答案】【分析】本題首先可令，將轉化為，然后令，通過函數單調性的定義得出函數在上是增函數，最后分為、兩種情況進行討論，結合二次函數性質即可得出結果.【詳解】因為任意、且，都有，所以令，即，，令，則函數在上是增函數，若，則，顯然不成立；若，則，解得，綜合所述，實數a的取值范圍是，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據函數的性質求參數，主要考查函數單調性的定義以及二次函數性質，要注意這種情況，考查推理能力，是中檔題.命題點3二次函數的值域、最值例6．（1）若函數的定義域為，值域為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二次函數性質可確定其最小值為，由可求得，；由此根據值域可確定函數定義域，即可得到的取值范圍.【詳解】為開口方向向上，對稱軸為的二次函數令，解得：，

即實數的取值范圍為故選：【點睛】本題考查根據函數的值域求解函數的定義域的問題，關鍵是能夠確定最值點的位置，根據函數的性質可確定定義域.（2）已知函數在定義域上的值域為，則實數的取值范圍為____.【答案】【分析】求出原函數的對稱軸，分析可知，然后根據x≥1時，函數為增函數且，分析即得解【詳解】函數f（x）＝x2﹣2x的對稱軸方程為x＝1，在[﹣1，1]上為減函數，且值域為[﹣1，3]，當x≥1時，函數為增函數，且∴要使函數f（x）＝x2﹣2x在定義域[﹣1，n]上的值域為[﹣1，3]，實數n的取值范圍是[1，3]．故答案為：[1，3]（3）若函數的值域為R，則實數m的取值范圍是_________．【答案】【分析】因為函數的值域為R，所以真數能取到大于0的一切實數，分類討論和兩種情況討論，再取并集即可.【詳解】令，由題意得出真數能取到大于0的一切實數.①當時，，函數為，此時函數的值域為，不符合題意；②當時，則有，解得：.綜上所述，實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】易錯點睛：本題考查利用二次不等式在實數集上恒成立求參數的取值范圍，解題時要對首項系數的符號以及判別式的符號進行分析，考查化歸與轉化思想的應用，屬于中等題.（4）若函數的定義域和值域均為，則的值為____.【答案】【分析】根據二次函數的性質，結合定義域和值域均為，列出相應方程組，求出，的值即可.【詳解】解：由函數，可得對稱軸為，故函數在上是增函數.函數的定義域和值域均為，，即.解得，或.，..故答案為：.（5）已知，，對任意的，存在，使得，則的取值范圍是____【答案】【分析】求出和的值域，根據的值域包含的值域列式可求得結果.【詳解】因為在上為增函數，所以，，所以在上的值域為，因為在上的最小值為，最大值為，所以的值域為，又對任意的，存在，使得，則的值域包含的值域，即，則，解得，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：轉化為的值域包含的值域求解是解題關鍵.（6）已知，求的最小值與最大值．【答案】最小值；最大值57【詳解】試題分析：試題解析：,∵,∴.則當,即時,有最小值；當,即時，有最大值57．（7）已知函數f(x)＝－x2＋2x－3.=1\*GB3①求f(x)在區間上的最大值g(a)；=2\*GB3②已知，求的值【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②【分析】=1\*GB3①因為的對稱軸與區間的位置關系不確定，故分，，三類來討論，確定單調性，即可求出最值．=2\*GB3②由=1\*GB3①所得的是分3段的分段函數，每一段都代入計算，符合每一段的取值范圍即可保留，不符合就舍去．【詳解】解：=1\*GB3①1）當時，；2）當時，；3）當時，綜上所述：=2\*GB3②，當時，，另一根不符合，故舍去，當時，，另一跟不符合，故舍去，綜上．【點睛】本題考查確定的二次函數在不確定的區間的上的最大值問題，將對稱軸和區間的位置關系分三類進行討論求最大值即可，是一道中檔題．【復習指導】：解決二次函數圖象與性質問題時要注意：(1)拋物線的開口方向，對稱軸位置，定義區間三者相互制約，要注意分類討論．(2)要注意數形結合思想的應用，尤其是給定區間上的二次函數最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)．(3)二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動．無論哪種類型，解題的關鍵都是圖象的對稱軸與區間的位置關系，當含有參數時，要依據圖象的對稱軸與區間的位置關系進行分類討論．命題點4二次函數的恒成立問題例7．（1）已知函數，若，恒有，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數恒成立問題，直接求最值利用二次函數的性質可得；或利用參變分離法，利用基本不等式求最值即得.【詳解】解法一：若，恒有，只需，設函數在上的最小值為，則（1）當，即時，，即，所以；（2）當，即時，，即，所以此時不滿足題意；（3）當，即時，，所以，即，得，則.綜上，實數的取值范圍為.故選：B.解法二：若，恒有，即對任意恒成立，所以對任意的恒成立，而，當且僅當，即時取等號，所以.因此，實數的取值范圍是.故選：B.（2）若，使得不等式成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可轉化為，使成立，求的最大值即可.【詳解】因為，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，，因為對稱軸為，所以，所以，故選：C【點睛】本題主要考查了存在性命題的應用，考查了函數最值的求法，轉化思想，屬于中檔題.（3）若關于的方程有解，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方程有解轉化為有正根，即在有解，根據解出的范圍．【詳解】方程有解，有解，令，則可化為有正根，則在有解，又當時，所以，故選：．（4）設函數，若對于，恒成立，則實數的取值范圍為___________.【答案】【分析】整理可得在上恒成立，根據x的范圍，可求得的范圍，分析即可得答案.【詳解】由題意，可得，即，當時，，所以在上恒成立，只需，當時有最小值為1，則有最大值為3，則，實數的取值范圍是，故答案為：（5）已知.=1\*GB3①不等式恒成立，求實數a的取值范圍；=2\*GB3②若不等式有解，求實數a的取值范圍.【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②.【分析】=1\*GB3①令，求出在上的最小值即可；=2\*GB3②令，求出在上的最大值即可.【詳解】令，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，，，=1\*GB3①因在恒成立，于是得，所以實數a的取值范圍是；=2\*GB3②因不等式在有解，于是得，所以實數a的取值范圍是.【復習指導】：=1\*GB2⑴有關不等式恒成立求參數的取值范圍，通常處理方法有二：①考慮能否進行參變量分離，若能，則構造關于變量的函數，轉化為求函數的最大(小)值，從而建立參變量的不等式；②若參變量不能分離，則應構造關于變量的函數(如一次函數、二次函數)，并結合圖象建立參變量的不等式求解.=2\*GB2⑵能成立問題可以轉化為>ymin或<ymax的形式，求y的最大值與最小值，從而求得參數的取值范圍．1．下圖給出四個冪函數的圖象，則圖象與函數的大致對應是（）①

②

③

④A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】B【分析】通過②的圖象的對稱性判斷出②對應的函數是偶函數；①對應的冪指數大于1，通過排除法得到選項【詳解】②的圖象關于y軸對稱，②應為偶函數，故排除選項Ｃ，Ｄ，①由圖象知，在第一象限內，圖象下凸，遞增的較快，所以冪函數的指數大于1，故排除Ａ故選Ｂ．【點睛】本題考查冪函數的圖象與性質，冪函數的圖象取決于冪指數．屬于基礎題．2．已知函數是冪函數，且在上遞增，則實數（

）A．－1 B．－1或3 C．3 D．2【答案】C【分析】根據冪函數的定義和性質，列出相應的方程，即可求得答案.【詳解】由題意知：，即，解得或，∴當時，，則在上單調遞減，不合題意;當時，，則在上單調遞增，符合題意,∴,故選：C3．已知冪函數滿足，若，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由可求得，得出單調遞增，根據單調性即可得出大小.【詳解】由可得，∴，∴，即.由此可知函數在上單調遞增.而由換底公式可得，，，∵，∴，于是，又∵，∴，故，，的大小關系是.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查利用函數單調性判斷大小，解題的關鍵是判斷出函數的單調性以及自變量的大小.4．已知，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用冪函數和指數函數的性質比較大小即可【詳解】∵，，∴．故選：C．5．不等式的解為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將不等式化為，再利用函數的單調性即可解出．【詳解】等價于∴解得．故選B．【點睛】本題主要考查分數指數冪與根式的轉化，以及冪函數單調性的應用．6．設a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】A【詳解】試題分析：∵函數是減函數，∴；又函數在上是增函數，故.從而選A考點：函數的單調性.7．已知冪函數的圖象關于y軸對稱，且在上單調遞減，則滿足的a的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由條件知，，可得m＝1．再利用函數的單調性，分類討論可解不等式.【詳解】冪函數在上單調遞減，故，解得．又，故m＝1或2．當m＝1時，的圖象關于y軸對稱，滿足題意；當m＝2時，的圖象不關于y軸對稱，舍去，故m＝1．不等式化為，函數在和上單調遞減，故或或，解得或．故應選：D．8．已知是定義在上的增函數，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用冪函數以及指數函數的單調性判斷的大小關系，結合是定義在上的增函數，即可判斷出答案.【詳解】因為函數為R上單調增函數，故，而，由于是定義在上的增函數，故，即.故選：A.9．已知點(m,8)在冪函數f(x)＝(m－1)xn的圖象上，設a＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，b＝f(lnπ)，c＝，則a，b，c的大小關系是()A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．b<a<c【答案】A【詳解】由于f(x)＝(m－1)xn為冪函數，所以m－1＝1，則m＝2，f(x)＝xn.又點(2,8)在函數f(x)＝xn的圖象上，所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函數，又lnπ>1>＝eq\f(\r(2),2)>eq\f(1,3)，所以f(lnπ)>>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，則b>c>a.10．四個數2.40.8,3.60.8，log0.34.2,log0.40.5的大小關系為（

）A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2【答案】D【分析】由對數函數的性質判出1＞log0.40.5>0＞log0.34.2，由冪函數的性質得到3.60.8＞2.40.8＞1，則四個數的大小得到比較．【詳解】∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函數，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.∵log0.34.2<log0.31＝log0.41<log0.40.5<log0.40.4，∴log0.34.2<0<log0.40.5<1，∴3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2.故選：D.11．若，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據函數的單調性可判斷A是否正確；根據不等式的性質可判斷B是否正確；根據函數的單調性可判斷C是否正確；根據函數的單調性即可判斷D是否正確.【詳解】由于函數在上單調遞增，又，所以，故A錯誤；因為，由不等式的性質可知，，故B錯誤；由于函數在上單調遞減，又，所以，故C錯誤；由于函數在上單調遞減，又，所以，故D正確.故選：D.12．若不等式的解集為，則函數的圖象可以為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題可得和是方程的兩個根，求出，再根據二次函數的性質即可得出.【詳解】由題可得和是方程的兩個根，且，，解得，則，則函數圖象開口向下，與軸交于.故選：C.13．設，二次函數的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為,二次函數，那么可知，在A中，a<0,b<0,c<0，不合題意；B中，a<0,b>0,c>0，不合題意；C中，a>0,c<0,b>0,不合題意，故選D.14．函數的單調遞減區間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出函數的定義域，再由二次函數的性質以及復合函數的單調性即可求解.【詳解】由得或，即函數的定義域為，又二次函數的圖象的對稱軸方程為，所以函數（）在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，又函數為增函數，所以的單調遞減區間為．故選：D15．函數的單調遞增區間是()A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】結合絕對值的含義與二次函數的性質，可畫出函數的圖象，即可求出函數的單調遞增區間.【詳解】，當或時，；當時，，如圖所示，函數的單調遞增區間是和.故選B.【點睛】本題考查了二次函數的性質，考查了函數的單調性，屬于基礎題.16．設函數在區間上是減函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次函數的圖象和性質即可求解.【詳解】函數的對稱軸為，又函數在上為減函數，，即．故選：B.【點睛】本題考查由函數的單調區間求參數的取值范圍，涉及二次函數的性質，屬基礎題.17．二次函數在區間上單調遞增的一個充分不必要條件為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出在區間上單調遞增的等價條件為，通過充分不必要條件的定義，即可判斷【詳解】因為二次函數在區間上單調遞增，所以解得．因為只有C是其真子集，故選：C18．已知函數.若，都有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先可得函數在上是增函數，然后保證函數在每一段都是增函數，同時要注意上、下段間端點值之間的大小關系，由此列出不等式組，進而可解得結果.【詳解】依題意可知，函數在上是增函數，則，解得.故選：B.【點睛】方法點睛：對于分段函數的單調性，有兩種基本的判斷方法：一是保證各段上同增(減)時，要注意上、下段間端點值之間的大小關系；二是畫出這個分段函數的圖象，結合函數圖象、性質進行直觀的判斷．19．已知二次函數的值域為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二次函數的值域可得出，可得出，則有，利用基本不等式可求得結果.【詳解】若，則函數的值域為，不合乎題意，因為二次函數的值域為，則，且，所以，，可得，則，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：B.20．已知命題“，”為真命題，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，結合命題的否定與原命題的真假性關系，再討論二次函數的單調性與最值，即可求解.【詳解】因，為真命題，則，為假命題.若命題，為真命題，若時，則，解得；若時，，解得，若時，則，解得；綜上所述，的取值范圍為，所以命題，為真命題，實數的取值范圍為.故B正確.21．設，函數，若的最小值為，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當時，結合不等式求得其最小值為，當時，，根據函數的最小值為，列出不等式組，即可求解.【詳解】當時，，當且僅當時，等號成立；即當時，函數的最小值為，當時，，要使得函數的最小值為，則滿足，解得，即實數的取值范圍是.故選：A.22．函數的單調遞減區間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，由結合函數的遞減區間可得結果.【詳解】，由得，又，所以函數的單調遞減區間為.故選：．23．“”是“冪函數在上是減函數”的一個（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】由冪函數在上是減函數，可得，由充分、必要條件的定義分析即得解【詳解】由題意，當時，在上是減函數，故充分性成立；若冪函數在上是減函數，則，解得或，故必要性不成立因此“”是“冪函數在上是減函數”的一個充分不必要條件故選：A冪函數y＝xα，當α取不同的正數時，在區間[0,1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設點A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq\f(1,b)等于()A．0B．1C.eq\f(1,2)D．2【答案】A【詳解】由BM＝MN＝NA，點A(1,0)，B(0,1)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))，將兩點坐標分別代入y＝xa，y＝xb，得a＝，b＝，∴a－eq\f(1,b)＝－＝0.25．定義在上的函數滿足，，當時，，則函數的圖象與的圖象的交點個數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，分析的周期性和對稱性，結合函數的解析式可得的圖像，在相同坐標系中作出的圖像與的圖像，結合圖像分析可得答案【詳解】解：因為義在上的函數滿足，，所以的周期為2，且圖像關于直線對稱，由于當時，，所以的圖像如圖所示，再作出的圖像，則由圖像可知，兩函數圖像的交點個數為5，故選：A26．（多選）已知冪函數，對任意，且，都滿足，若且，則下列結論可能成立的有（

）A．且 B．且C．且 D．以上都可能【答案】BC【分析】先求出冪函數的解析式，，根據奇函數和增函數解不等式，即可得到.【詳解】因為為冪函數，所以，解得：m=2或m=-1.因為任意，且，都滿足，不妨設，則有，所以為增函數，所以m=2，此時因為，所以為奇函數.因為且，所以.因為為增函數，所以，所以.故BC正確.故選：BC27．（多選）已知冪函數，則下列結論正確的有（

）A．B．的定義域是C．是偶函數D．不等式的解集是【答案】ACD【分析】首先求函數的解析式，再根據冪函數的性質，判斷定義域，奇偶性，以及解不等式.【詳解】因為函數是冪函數，所以，得，即，，故A正確；函數的定義域是，故B不正確；，所以函數是偶函數，故C正確；函數在是減函數，不等式等價于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正確.故選：ACD28．（多選）函數與在同一坐標系中的圖像可能為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】可令，和三種情況討論，先分析函數的圖象性質，再分析函數的圖象性質，觀察選項是否符合．【詳解】當時，為奇函數，定義域為，且在上遞減，而開口向下，對稱軸為，，故A符合；當時，為偶函數，且在上遞增，開口向上，且對稱軸為，，其圖象和軸沒有交點，故D符合；當時，函數的定義域為，且在上遞增，開口向上，且對稱軸為，，圖象和軸有兩個交點，故C符合．故選：ACD．【點睛】本題考查根據函數的解析式選擇函數圖象，考查二次函數圖象性質、冪函數圖象性質的運用，解答時，針對的不同取值，觀察所給兩個函數圖象是否符合即可．29．（多選）若函數的值域是，則實數的可能取值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】CD【分析】由題意,要使的值域為，只需要的值域包括0即可．【詳解】令，要使值域包括0，即最小值小于等于0．那么：，解得．故選：CD．30．冪函數y=（m2-m-5）x的圖象分布在第一、二象限，則實數m的值為______.【答案】m=3【分析】由題意利用冪函數的定義和性質可得，解得的值，代入驗證，即可求解．【詳解】由題意，冪函數的圖象分布在第一、二象限，∴，解得或，當時，函數的圖象分布在第一、三象限，不符合題意；當時，函數的圖象分布在第一、三象限，符合題意；故答案為：3．【點睛】本題主要考查了冪函數的定義，以及冪函數的圖象與性質的應用，其中解答中熟記冪函數的概念，以及熟練應用冪函數的性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．31．已知函數是二次函數，則________，此時函數的值域為________．【答案】

2

【分析】根據函數是二次函數列式，由此求得的值，進而求得函數的值域.【詳解】由題意得，解得，此時．由于，所以函數的值域為．故答案為：2；【點睛】本小題主要考查待定系數法求二次函數解析式，考查二次函數值域的求法，屬于基礎題.32．函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據二次函數的單調性確定對稱軸與區間的關系，同時注意分母不為0需滿足上符號一致.【詳解】在上單調遞增，在單調遞減，則，即，同時需滿足，即，解得，綜上可知故答案為：【點睛】關鍵點點睛：注意利用二次函數對稱軸與所給區間的關系求解，同時需注意時，符號必須一致是解題的關鍵，屬于中檔題.33．已知在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是_____________.【答案】【分析】根據題意，設，由復合函數的單調性可知函數在區間上單調遞增，根據二次函數的圖象和性質得出，解不等式即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，在區間上單調遞減，設，而外層函數在定義域內單調遞減，則可知內層函數在區間上單調遞增，由于二次函數的對稱軸為，由已知，應有，且滿足當時，，即，解得：，所以實數的取值范圍是.故答案為：.34．已知函數，若在上單調遞減，則的取值范圍為______．【答案】【分析】由題意可得，解不等式組即可得出答案.【詳解】由題意得,即，解得：．所以的取值范圍為.故答案為：.35．若存在，使不等式成立，則實數取值范圍是__.【答案】.【解析】對不等式進行參變量分離得到，然后令，，即可以得到的取值范圍.【詳解】由題意，可知：，可得：令，.在上單調減，在上單調增，而，..根據題意故答案為:.【點睛】本題考查能成立問題的解決思路以及參變量分離方法，屬中檔題.36．函數的值域是________.【答案】【解析】先求出函數的定義域為，設，，根據二次函數的性質求出單調性和值域，結合對數函數的單調性，以及利用復合函數的單調性即可求出的單調性，從而可求出值域.【詳解】解：由題可知，函數，則，解得：，所以函數的定義域為，設，，則時，為增函數，時，為減函數，可知當時，有最大值為，而，所以，而對數函數在定義域內為減函數，由復合函數的單調性可知，函數在區間上為減函數，在上為增函數，，∴函數的值域為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查對數型復合函數的值域問題，考查對數函數的單調性和二次函數的單調性，利用“同增異減”求出復合函數的單調性是解題的關鍵，考查了數學運算能力.37．已知，當時，其值域是________【答案】【分析】令，因為，所以，得到函數，利用二次函數的性質，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，令，因為，所以，則函數，所以當時，函數取得最小值，最小值為，當時，函數取得最大值，最小值為，所以函數的值域為，故答案為．【點睛】本題主要考查了指數函數的性質，以及二次函數的圖象與性質的應用，著重考查了換元思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題．38．函數的值域為_______【答案】【解析】利用，對原式配方可得，進而可求得值域.【詳解】由，定義域為，可得可得函數的值域為．故答案為：【點睛】本題考查了通過配方的方法求函數值域，考查了運算求解能力，屬于中檔題目.39．若冪函數在其定義域上是增函數.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）根據冪函數的概念，以及冪函數單調性，求出，即可得出解析式；（2）根據函數單調性，將不等式化為，求解，即可得出結果.【詳解】（1）因為是冪函數，所以，解得或，又是增函數，即，，則；（2）因為為增函數，所以由可得，解得或的取值范圍是或.40．利用冪函數的性質，比較下列各題中兩個值的大小：（1），；（2），.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據的單調性比較大小；（2）根據在上的單調性比較大小.【詳解】解：（1）設，則在R上為增函數.，.（2）設，則在上為減函數，，.【點睛】本題考查冪函數的單調性的應用，屬于基礎題.41．比較下列各組數的大小：（1），；（2），；（3），，.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）考慮冪函數在上的單調性進行比較；（2）變換，考慮冪函數在上的單調性，進行比較；（3）根據冪函數的奇偶性和單調性即可比較【詳解】解析（1）冪函數在上為減函數，且，.（2）冪函數在上為增函數，且，，，從而，.（3）考慮冪函數在上為增函數，，.【點睛】此題考查根據冪函數的奇偶性和單調性進行指數冪的大小比較，關鍵在于建立合理的冪函數進行比較.42．已知二次函數．(1)若在區間上單調遞增，求實數k的取值范圍；(2)若在上恒成立，求實數k的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用二次函數的單調性求解；（2）將在上恒成立，轉化為在恒成立求解．【詳解】（1）解：因為在單調遞增，所以，解得；（2）因為在上恒成立，所以在恒成立，即在恒成立．令，則，當且僅當時等號成立．所以．43．已知函數．(1)求函數在區間上的最大值；(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)當時,；當時,；(2).【分析】（1）分和兩種情況，討論函數的最大值；（2）時，恒成立的等價條件為，求出不等式組的解可確定的取值范圍．【詳解】(1)函數的圖象開口向上，對稱軸為，在區間上的最大值，分兩種情況：①（）時，根據圖象知，當時，函數取得最大值；②（）時，當時，函數取得最大值.所以，當時,；當時,.(2)恒成立，只需在區間上的最大值即可，所以，得，所以實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查含參數的二次函數在給定區間的最大值，分類討論是解決本題的關鍵；另外恒成立問題往往通過其等價條件來求解更簡單．44．已知關于的不等式.（1）若不等式的解集是或，求的值；（2）若不等式的解集是，求的取值范圍；（3）若不等式的解集為，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由題意可知不等式的兩根分別為、，利用韋達定理可求得實數的值；（2）由題意得出，由此可解得實數的取值范圍；（3）