山東大學(xué)工科研究生數(shù)學(xué)物理方法class9第8.1.2Laplace方程矩形域(齊次方程的分離變量法)_第1頁(yè)
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1第八章分離變數(shù)(傅里葉級(jí)數(shù))法

分離變數(shù)法是定解問(wèn)題的一種基本解法，適用于大量的第一節(jié)、齊次方程的分離變數(shù)法征值問(wèn)題，本章限于本征函數(shù)是三角函數(shù)的情況。個(gè)常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件，構(gòu)成本各種各樣的定解問(wèn)題，其基本思想是把偏微分方程分解成幾2散熱片的橫截面為矩形，一邊y＝b處于較高溫度U，其他例3：三邊y＝0，x＝0和x＝a處于冷卻介保持較低的溫度u0，求解橫截面上的穩(wěn)定溫度分布u（x，y），即定解問(wèn)題：3xyUu0u0u0Oab如右圖所示：解這是二維拉普拉斯方程的第一類邊界值把u（x，y）分解為v（x，y）和w（x，y）的線性疊加：其中v和w分別滿足一組齊次邊界條件即：化為齊次的，可以帶來(lái)方便。是齊次的，此時(shí)恒為零，但可以把邊界問(wèn)題，沒(méi)有初始條件，邊界條件不能都4可以驗(yàn)證，把w和v的泛定方程疊加起來(lái)就是u的泛定方程把v和w的邊界條件疊加起來(lái)就是u的邊界條件，則原問(wèn)題化為另解令把原來(lái)的溫度U0作為新的溫標(biāo)v（x，y）的零點(diǎn)，代入泛定方程和邊界條件可得：分離變數(shù)令：?jiǎn)栴}解出。求解v和w，而此時(shí)v和w各有兩個(gè)齊次邊界條件可以利用本征值5代入上述泛定方程和齊次邊界條件，可得X和Y的常微分方程和X的邊界條件：（1）（2）則顯然（1）構(gòu)成本征值問(wèn)題，可得本征值為：本征函數(shù)為：將本征值代入（2）可得：分離解為：疊加即得一般解：6為確定系數(shù)An和Bn,j將上式代入非齊次

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