二次函數平行四邊形存在性問題例題一.解答題(共8小題).如圖，拋物線經過A(-1,0),B(5,0),C(0,誓)三點.2(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC的值最小，求點P的坐標；(3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由..如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-3x-3與x軸交于點A,與y軸交于點C.拋物線y=x2+bx+c經過A,C兩點，且與x軸交于另一點B(點B在點A右側).(1)求拋物線的解析式及點B坐標；(2)若點M是線段BC上一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F,交拋物線于點E.求ME長的最大值；(3)試探究當ME取最大值時，在x軸下方拋物線上是否存在點P,使以M,F,B,P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由..已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線廠等肝§與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點，將NOBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.(1)直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)若(1)中拋物線的頂點為D,在直線BC上是否存在點P,使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；(3)若把(1)中的拋物線向左平移3.5個單位，則圖象與x軸交于F、N(點F在點N的左側)兩點，交y軸于E點，則在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q,使點Q到E、N兩點的距離之差最大？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由..已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線廠得H+8與x軸、y軸的交點分別為A、B,將NOBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.(1)直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)若拋物線的頂點為D,在直線BC上是否存在點P,使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；(3)設拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T,Q為線段BT上一點，直接寫出|QA-QO|的取值范圍..如圖，RtAOAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，NOAB=90°,OA=4,AB=2,把RtAOAB繞點O逆時針旋轉90°,點B旋轉到點C的位置，一條拋物線正好經過點O,C,A三點.(1)求該拋物線的解析式；(2)在x軸上方的拋物線上有一動點P,過點P作x軸的平行線交拋物線于點M,分別過點P,點M作x軸的垂線，交x軸于E,F兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由.(3)如果x軸上有一動點H,在拋物線上是否存在點N,使O(原點)、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由.c c.如圖，直線y=--x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,拋物線y=ax2+反x+c經過B、C兩點.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當ABEC面積最大時，請求

出點E的坐標和4BEC面積的最大值？(3)在(2)的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M,連接AM,點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標;如果不存在，.如圖，拋物線y=ax2+bx+2與坐標軸交于A、B、C三點，其中B(4,0)、C(2,0),連接AB、AC,在第一象限內的拋物線上有一動點D,過D作DE±x軸，垂足為E,交AB于點F.(1)求此拋物線的解析式；(2)在DE上作點G,使G點與D點關于F點對稱，以G為圓心，GD為半徑作圓，當。G與其中一條坐標軸相切時，求G點的橫坐標;(3(3)過D點作直線DH〃AC交AB于H,當△DHF的面積最大時，在拋物線和直線AB上分別取M、N兩點，并使D、H、M、N四點組成平行四邊形，請你直接寫出符合要求的M、N兩點的橫坐標.DD8.已知直線y=kx+b(k=0)過點F(0,1),與拋物線y=i-x2相交于B、C兩M J*REs點. w 室二(1)如圖1,當點C的橫坐標為1時，求直線BC的解析式；(2)在(1)的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線交于點D，是否存在這樣的點M，使得以M、D、0、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2,設B(m.n)(m<0),過點E(0.-1)的直線l〃x軸，BR±l于R,CS±l于S,連接FR、FS.試判斷^RFS的形狀，并說明理由.參考答案與試題解析一.解答題(共8小題)(2016?安順)如圖，拋物線經過A(-1,0),B(5,0),C(0,3)三點.2(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC的值最小，求點P的坐標；(3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理

【解答】解：(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a=0),?A(-1,0),B(5,0),C(0,三)三點在拋物線上，2a-b-l-c=0.25什5b+《二。?? ,5I2ra-2解得b=-2.5r- 2???拋物線的解析式為：y=Lx2-2x-旦2 2(2)二?拋物線的解析式為:y=-x(2)二?拋物線的解析式為:y=-x2-2x--,

2 2，其對稱軸為直線x=-^亳2,連接連接BC,如圖1所示，?B(5,0),C(0,-里)，2???設直線BC的解析式為y=kx+b(k/0),"5k+b=05,解得b=解得b=4??.直線BC的解析式為??.直線BC的解析式為y=1x-當x=2時，y=1--：2??.P(2,-金)；2(3)存在.如圖2所示，圖2①當點圖2①當點N在x軸下方時，???拋物線的對稱軸為直線x=2,C（0,.?.N1（4,-1~）；②當點N在x軸上方時，如圖，過點N2作N2D±x軸于點D,在^ANzD與AM2co中，2電虹二*an2=cm2Zan2d=Zn2co.?.△an2d2Am2co（ASA）,??.N2D=OC得，即N2點的縱坐標為_|..1r55..—x2-2x--=^-,2 22解得x=2+.14或x=2-14,.N2（2+二五$）,N3（2--五$）.2 2 3 2綜上所述，符合條件的點N綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4--）,（2+；下，$）或（2- 8）.2 2 2(2016?十堰一模)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-3x-3與x軸交于點A,與y軸交于點C.拋物線y=x2+bx+c經過A,C兩點，且與x軸交于另一點B(點B在點A右側).(1)求拋物線的解析式及點B坐標；(2)若點M是線段BC上一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F,交拋物線于點E.求ME長的最大值；(3)試探究當ME取最大值時，在x軸下方拋物線上是否存在點P,使以M,F,B,P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由.【解答】解：(1)當y=0時，-3x-3=0,x=-1??A(-1,0)當x=0時，y=-3,AC(0,-3),???…0lc=-3?4 ,Ic=-3拋物線的解析式是：y=x2-2x-3.當y=0時，x2-2x-3=0,解得：x1=-1,x2=3AB(3,0).(2)由(1)知B(3,0),C(0,-3)直線BC的解析式是：y=x-3,設M(x,x-3)(0WxW3),則E(x,x2-2x-3)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"，ME=(x-3)-(x2-2x-3)=-x2+3x=-(x--)2+—；2 4.??當x=l時，ME的最大值為生.2 4(3)答：不存在.由(2)知ME取最大值時ME=@,E(—,-—),M(&,-W)4 2 4 2 2.??MF=2,BF=OB-OF=&.2 2設在拋物線x軸下方存在點P,使以P、M、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形，則BP〃MF,BF〃PM.沁(0,-_1)或P2(3,-1-)當P1(0,->|)時，由(1)知y=x2-2x-3=-3=-看AP1不在拋物線上.當P2(3,-卷)時，由(1)知y=x2-2x-3=0=-5AP2不在拋物線上.綜上所述：在x軸下方拋物線上不存在點P,使以P、M、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形.(2016?義烏市模擬)已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線廠得工+6與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點，將NOBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.(1)直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)若(1)中拋物線的頂點為D,在直線BC上是否存在點P,使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；(3)若把(1)中的拋物線向左平移3.5個單位，則圖象與x軸交于F、N(點F在點N的左側)兩點，交y軸于E點，則在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使點Q到E、N兩點的距離之差最大？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【解答】解：(1)連接CH由軸對稱得CH±AB,BH=BO,CH=CO??在4CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2??直線產得H+8與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點??當x=0時，y=6,當y=0時，x=8AB(0,6),A(8,0)??OB=6,OA=8,在RtAAOB中，由勾股定理，得AB=10設C(a,0),?OC=aACH=a,AH=4,AC=8-合，在RtAAHC中，由勾股定理，得(8-a)2=a2+42解得a=3C(3,0)設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c,由題意，得r6=c[0=64a+Sb+c10=9a+3b+c

1a=7解得：「11b-41211ir產了工一^肝&、c1211ir產了工一^肝&???拋物線的解析式為:.一1111J25(2)由(1)的結論，得D(旦，Z)2 16adf=-^16設BC的解析式為：y=kx+b,則有(6=b10=3k+b解得’『6lk=-2直線BC的解析式為：y=-2x+6設存在點P使四邊形ODAP是平行四邊形，P(m,n)作PE±OA于E,HD交OA于F.???NPEO=NAFD=90°,PO=DA,PO〃DA???NPOE=NDAF.^△ope^Aadf，PE=DF=n=空16?2516=-2x+6?2516=-2x+6義再32P義再32P①，至）2 16當x=l時，2y=-2X互+6=1/延2 16???點P不再直線BC上，即直線BC上不存在滿足條件的點P.(3)由題意得，平移后的解析式為:尸卜-2)2系，對稱軸為：x=2,當x=0時，當y=0時，v_-9y=吟k-2)22516解得:(3)由題意得，平移后的解析式為:尸卜-2)2系，對稱軸為：x=2,當x=0時，當y=0時，v_-9y=吟k-2)22516解得:VF在N的左邊F(上，0),E(0,2連接EF交x=2于Q,包)，N(九，0)16 2設EF的解析式為：y=kx+b，則有解得：k=4b=^解得：，Q(2解得：，Q(2,45

產16里).16

4.(2016?深圳模擬)已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線廠得肝^與x軸、y軸的交點分別為A、B,將NOBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.(1)直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)若拋物線的頂點為D,在直線BC上是否存在點P,使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；(3)設拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T,Q為線段BT上一點，直接寫出|QA-QO|的取值范圍.【解答】解：（1）點C的坐標為（3,0）.（1分）??,點A、B的坐標分別為A（8,0）,B（0,6）,???可設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-8）.將x=0,y=6代入拋物線的解析式，得號（2分）???過A、B、C三點的拋物線的解析式為"/今,+6.（3分）25、正）,（2）可得拋物線的對稱軸為直線篁吟，頂點D的坐標為吟,設拋物線的對稱軸與x軸的交點為25、正）,直線BC的解析式為y=-2x+6.4分）設點P的坐標為（x,-2x+6）.解法一：如圖，作OP〃AD交直線BC于點P,連接AP,作PM±x軸于點M.：OP〃AD,，NPOM=NGAD,tanZPOM=tanZGAD.PMDG?二,OMGA25nn-2x+6 16即 =~7T.解得爐曲.7經檢驗富占是原方程的解.7此時點P的坐標為（紅，①）.（5分）■7 77但此時0后華，GA二,，OM<GA.?「Ok一頭二，由二一槳H，ZPOM=ZGAE，cosZPOMcosZGAD???OP<AD,即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，???直線BC上不存在符合條件的點P（6分）解法二：如圖，取OA的中點E,作點D關于點E的對稱點P,作PN±x軸于點N.則NPEO=NDEA,PE=DE.可得ApensAdeg.由比梨二4,可得E點的坐標為（4,0）.NE=EG=—,ON=OE-NE=2,NP=DG=—.2 2 16??點P的坐標為百■,年!）.（5分）:x=f"時，一立肝6二-2父-|_+6=1盧2，??點P不在直線BC上.??直線BC上不存在符合條件的點P.（6分）|QA-QO|的取值范圍是區如嫗&（8分）當Q在OA的垂直平分線上與直線BC的交點時，（如點K處），此時OK=AK,則|QA-QO|=0,當Q在AH的延長線與直線BC交點時，此時|QA-QO|最大，直線AH的解析式為：y=-^x+6,直線BC的解析式為：y=-2x+6,4聯立可得：交點為（0,6）,??OQ=6,AQ=10,??|QA-QO|=4,??|qa-qo|的取值范圍是：0W|QA-QO|W4.（2016?山西模擬）如圖，RtAOAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，NOAB=90°,OA=4,AB=2,把RtAOAB繞點O逆時針旋轉90°,點B旋轉到點C的位置，一條拋物線正好經過點O,C,A三點.（1）求該拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P,過點P作x軸的平行線交拋物線于點M,分別過點P,點M作x軸的垂線，交x軸于E,F兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由.（3）如果x軸上有一動點H,在拋物線上是否存在點N,使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）因為OA=4,AB=2,把4AOB繞點O逆時針旋轉90°,可以確定點C的坐標為（2,4）；由圖可知點A的坐標為（4,0）,又因為拋物線經過原點，故設y=ax2+bx把（2,4）,（4,0）代入,r0=L6a+4b,4=4a+2b解得"a=-l解得"a=-l3所以拋物線的解析式為y=-X2+4x；（2）四邊形PEFM的周長有最大值，理由如下:由題意，如圖所示，設點P的坐標為P（a,-a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF,，EF=PM=4-2a,PE=MF=-a2+4a,則矩形PEFM的周長L=2[4-2a+(-a2+4a)]=-2(a-1)2+10,???當a=1時，矩形PEFM???當a=1時，矩形PEFM的周長有最大值，Lmax=10；（3）在拋物線上存在點N,使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形，理由如下:(2,4),Vy=-x2+4x=-(x-2)2+4可知頂點坐標???知道C點正好是頂點坐標，知道C點到x軸的距離為4個單位長度，過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=-4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有-x2+4x=-4解得x1=2+2,；2,x2=2-"用AN點坐標為*（2+2/2-4）,N2（2-2(2,4),（2015?葫蘆島）如圖，直線y=-&x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,拋4物線y=ax2+-1-x+c經過B、C兩點.（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當4BEC面積最大時，請求出點E的坐標和4BEC面積的最大值？（3）在（2）的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M,連接AM,點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標;如果不存在，【解答】解：（1）???直線y=-當+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,4???點B的坐標是（0,3）,點C的坐標是（4,0）,???拋物線y=ax2+-1x+c經過B、C兩點，

3.16a+-X4+c=0..( 4ic=3解得.方L燈二M，y=--x2+—x+3.8 4(2)如圖1,過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M,EF交x軸于點F,???點E是直線BC上方拋物線上的一動點，???設點E的坐標是(x,-22+3x+3),8 4則點M的坐標是(x,--1x+3),4.?.?.EM=-老x2+Wx+3-3 4(-—x+3)=-—x2+—x,

4 g2?,SaBEC-SaBEM+SaMEC二1w。。J_X(-Wx2+3x)X48 2尺=--x2+3x4=-((x-2)2+3,4??當x=2時，即點E的坐標是(2,3)時，^BEC的面積最大，最大面積是3.(3)在拋物線上存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形.①如圖2, 宴二 ，由（2）,可得點M的橫坐標是2,??點M在直線y=-3x+3上，??點M的坐標是（2,呈），2又???點A的坐標是（-2,0）,AAM='..1[2-（-2）]2+（1-0）=^Y~,TOC\o"1-5"\h\z|--0 3AAM所在的直線的斜率是：^；2-C-2）3y=--x2+—x+3的對稱軸是x=1,\o"CurrentDocument"4A設點Q的坐標是（1,m）,點P的坐標是（x,-&x2+&x+3）,8 4"323則I工2 2「產+《芯+》3f）專7二-M Cy=5解得1 21或1 21,Vx<0,A點P的坐標是（-3,-罵）.8

②如圖3, 圖3由（2）,可得點M的橫坐標是2,??點M在直線y=-&x+3上，4??點M的坐標是（2,W）,2又???點A的坐標是（-2,0）,AAM=.：［2-（-2）］2+（1—0）=~Y~,AAM所在的直線的斜率是：J^=A；TOC\o"1-5"\h\zy=-&X2+Wx+3的對稱軸是x=1,8 4??設點Q的坐標是（1,m）,點P的坐標是（X,-&X2+&x+3）,8 4323甘宜肝31rl3K-1\o"CurrentDocument"2 2■）%登+十?'）岑解得戈二521,V= 解得戈二521,V= 5 821或y= -SVx>0,??點P的坐標是（5,-罵）.由（2）,可得點M的橫坐標是2,??點M在直線y=-3x+3上，??點M的坐標是（2,呈），2又???點A的坐標是（-2,0）,AAM=.：［2-（-2）］2+（1-0）=^Y~,TOC\o"1-5"\h\zy=-&X2+Wx+3的對稱軸是x=1,8 4??設點Q的坐標是（1,m）,點P的坐標是（X,-&X2+3x+3）,\o"CurrentDocument"8 4「 23/ 3石耳+鏟今了 50則^-2直+1，-2丁丁7二-1解得15,卡丁???點P的坐標是（-1,匹）.8綜上，可得在拋物線上存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是（-3,-罵）、（5,-9）、（-1,正）.8 8 87.（2015?梧州）如圖，拋物線y=ax2+bx+2與坐標軸交于A、B、C三點，其中B（4,0）、C（-2,0）,連接AB、AC,在第一象限內的拋物線上有一動點D,過

D作DE±x軸，垂足為E,交AB于點F.(1)求此拋物線的解析式；(2)在DE上作點G,使G點與D點關于F點對稱，以G為圓心，GD為半徑作圓，當。G與其中一條坐標軸相切時，求G點的橫坐標；(3)過D點作直線DH〃AC交AB于H,當△DHF的面積最大時，在拋物線和直線AB上分別取M、N兩點，并使D、H、M、N四點組成平行四邊形，請你直接寫出符合要求的M、N兩點的橫坐標.【解答】解：(1)：B,C兩點在拋物線y=ax2+bx+2上，.ri6aMb+2=0??4 ,「_1A/口RR解得：.???所求的拋物線為：y=.//4肝『(2)拋物線y=一/6葉2,則點A的坐標為(0,2),設直線AB的解析式為y=kx+b,」,14k+b=0rk-A解得：廠2.』二2???直線AB的解析式為y=-1x+2,設F設F點的坐標為(x,上x+2),則D點的坐標為(x,2VG點與D點關于F點對稱，???G點的坐標為???G點的坐標為(x,若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得。G與其中一條坐標軸相切，①若。G與x軸相切則必須由DG=GE,即-_Lx2+Lx+2-(L/￡)=—v2 2,4 2 4 2 4 2解得：x=2,x=4(舍去)；3②若。G與y軸相切則必須由DG=OE,解得：