概率論與數理統計教案PAGEPAGE1《概率論與數理統計教程》教案第一章隨機事件與概率教材：《概率論與數理統計教程》總安排學時：90本章學時：14第一講：隨機事件及其運算教學內容：引言、概率論的基本概念、事件之間的關系及運算、事件之間的運算規律。教學目的：（1）了解概率論這門學科的研究對象，主要任務和應用領域；（2）深刻理解隨機試驗、基本事件、樣本空間、隨機事件的概念；掌握一個隨機試驗的樣本空間、基本事件和有關事件的表示方法。（3）深刻理解事件的包含關系、和事件、積事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意義；掌握事件之間的各種運算，熟練掌握用已知事件的運算表示隨機事件；（4）掌握事件之間的運算規律，理解對偶律的意義。教學的過程和要求：（1）概率論的研究對象及主要任務（10分鐘）舉例說明概率論的研究對象和任務，與高等數學和其它數學學科的不同之處，簡單介紹概率論發展的歷史和應用；(i)概率論的研究對象：確定性現象或必然現象：在相同的條件下，每次觀察（試驗）得到的結果是完全相同的現象。例：向空中拋擲一物體，此物體上升到一定高度后必然下落；例：在一個標準大氣壓下把水加熱到100℃必然會沸騰等現象。隨機現象或偶然現象：在相同的條件下，每次觀察(試驗)可能出現不同結果的現象。例：在相同的條件下拋一枚均勻的硬幣，其結果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重復投擲，每次的結果在出現之前都不能確定；例：從同一生產線上生產的燈泡的壽命等現象。(ii)概率論的研究任務：概率論與數理統計就是研究和揭示隨機現象的統計規律性的一門數學學科。(iii)概率論發展的歷史：概率論起源于賭博問題。大約在17世紀中葉，法國數學家帕斯卡(B?Pascal)、費馬（fermat）及荷蘭數學家惠更斯(C?Hugeness)用排列組合的方法，研究了賭博中一些較復雜的問題。隨著18、19世紀科學的迅速發展，起源于賭博的概率論逐漸被應用于生物、物理等研究領域，同時也推動了概率理論研究的發展.概率論作為一門數學分支日趨完善，形成了嚴格的數學體系。(iv)概率論發展的應用：概率論的理論和方法應用十分廣泛，幾乎遍及所有的科學領域以及工、農業生產和國民經濟各部門.如應用概率統計方法可以進行氣象預報，水文預報和市場預測、股市分析等；在工業中，可用概率統計方法進行產品壽命估計和可靠性分析等。（2）隨機事件與樣本空間；（25分鐘）（重點）重點講清隨機試驗的目的、隨機試驗要求具備的條件、概率論中隨機試驗可以是主動做試驗，也可能是被動觀察某一隨機現象；講清楚隨機試驗的基本事件、樣本空間的定義，對于每個概念要舉例說明，可用書中例1、例2、例3、例4或其它，例子中應該包括有限的、無限可數，連續的等類型。應該使學生了解樣本空間可以是有限的也可以是無限的，可以是離散的也可以是連續的。隨機事件的概念，基本事件與一般隨機事件關系、區別，在上述例子中繼續給出事件的例子。著重說明事件發生和不發生的含義，引進必然事件和不可能事件的意義。(i)隨機試驗的目的：要研究隨機現象的規律需要進行大量的觀察和試驗。(ii)隨機試驗要求具備的條件：試驗可以在相同的條件下重復進行；試驗所有可能的結果是明確知道的，并且不止一個；每次試驗必然出現這些可能結果中的一個，但試驗前不能預知出現哪一個結果；這樣的試驗稱為隨機試驗，簡稱試驗，用字母E表示.例：擲一枚均勻硬幣觀察正面和反面出現的情況；例：某日電話總機所接到的呼叫次數；例：在一批燈泡中任意抽取一個，測試其壽命等等都是隨機試驗。(iii)基本概念：基本事件（樣本點）：每一個可能的基本結果（不可分解）稱為E的基本事件，通常用表示.基本事件空間（樣本空間）：E的所有基本事件組成的集合稱為E的基本事件空間，常用表示。例1（1）拋一枚均勻的硬幣，其可能出現的結果只有兩種：正面、反面.若令=正面，=反面，則為該隨機試驗的兩個基本事件，為樣本空間.（2）投擲一顆骰子，觀察出現的點數.其可能出現的點數為：1、2、3、4、5、6，若令=，=1，2，3，4，5，6，則為隨機試驗的基本事件，樣本空間.（3）觀察單位時間內到達某公交車站候車的人數，令=單位時間內有人到達車站候車，，則基本事件為，樣本空間.（4）從一批燈泡中任取一只，以小時為單位，測試這只燈泡的壽命，令t表示燈泡的壽命，則大于等于零的任意一個實數都是該試驗的一個樣本點，.隨機事件：在隨機試驗中可能發生、也可能不發生的事情稱為隨機事件，通常用大寫字母等表示.例：投擲一顆骰子出現的點數為偶數可以用事件表示，={出現的點數為偶數}={2，4，6}，而={出現的點數大于4}={5，6}、={出現的點數為2}等等都是隨機試驗的事件.事件發生：若一次試驗結果出現了事件A中的樣本點，即當試驗結果為且時，則稱事件A發生，否則稱A不發生.（3）事件之間的運算關系；（30分鐘）重點對于每一種關系應該舉例、畫維恩圖說明其含義，積事件和和事件要著重說明并推廣到多個事件，說明對立事件與互斥事件的相同點與不同點及其應用，差事件的意義及幾種表示方法及運算關系；事件之間的運算關系：1）事件的包含關系：設在同一個試驗中有兩個事件A與B，若A發生必然導致B發生（即A中任意一個基本事件都在B中），則稱事件B包含事件A，記作（或）.例：如投擲一顆骰子的試驗，A={出現4點}，B={出現偶數點}，則A發生必導致B發生，故。2）事件相等：若且，則稱事件.例：如擲骰子試驗中，記={擲出3點或6點}，={擲出3的倍數點}，這兩個事件所包含樣本點相同，因而。3）和事件：稱事件和至少有一個發生所構成的事件為A與B的和事件，記作.例：如擲一顆骰子觀察所得的點數，設A={1，3，5}，B={1，2，3}，則={1，2，3，5}。例2：測試燈泡壽命的試驗中，令（壽命不超過1000小時），（壽命不超過500小時），則（壽命不超過1000小時）。4）積事件：稱事件A與B同時發生所構成的事件為A與B的積事件，記作或.例：如在擲骰子的試驗中，則={4}，即只有隨機試驗出現4點時，A與B同時發生。5）互斥事件：若事件不能同時發生，即，則稱事件A與B是互斥事件或互不相容事件。例3：擲一顆骰子，令A={出現奇數點}，B={出現4點}，則有，即A與B互斥，。6）互逆事件：若事件A與事件B在一次試驗中必有且只有一個發生，則稱事件A與B為互逆事件或對立事件。例4：擲一顆骰子，令C={出現偶數點}，則，且，所以，即C與是互逆事件；但由于，而，所以不是互逆事件.7）例5：擲骰子試驗中，令C={2，4，6}，D={1，2，3}，則，.（4）事件之間的運算規律（5分鐘）事件之間的交換律、結合律、分配律只需簡單說明，舉例說明對偶律的意義和應用。事件之間的運算律：1）交換律：2）結合律：3）分配律：4）德摩根定律（對偶律）：（可以推廣到任意多個事件的情形）。（5）以例6和例7為主。學生練習（10分鐘）例6：設是樣本空間中的三個隨機事件，試用的運算表達式表示下列隨機事件.（1）A與B發生但C不發生；（2）事件中至少有一個發生；（3）事件中至少有兩個發生；（4）事件中恰好有兩個發生；（5）事件中不多于一個事件發生.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）或。練習（10分鐘）。第二講：概率的定義和性質教學內容：概率的古典定義、統計定義、幾何定義，概率的公理化體系及概率的性質。教學目的：（1）理解概率的古典定義的條件，掌握計算的一般方法，理解古典概率具備的三條性質；（2）粗知概率的統計定義和幾何定義，歸納其性質；（3）深刻理解概率的公理化定義的意義，掌握概率的性質在概率計算中的應用。教學的過程和要求：（1）舉例簡單說明什么是概率；（5分鐘）闡述概率是隨機事件發生的可能性的大小。舉例說明：例：拋一枚均勻的硬幣，因為已知出現正、反面的可能性相同，各為，足球裁判就用拋硬幣的方法讓雙方隊長選擇場地，以示機會均等.例：某廠研制出一種新藥，要考慮新藥在未來市場的占有率將是多少.市場占有率高，就應多生產，獲取更多利潤；市場占有率低，就不能多生產，否則會造成產品積壓.上述問題中的機會、市場占有率以及彩票的中獎率、產品的次品率，射擊的命中率等都是用來度量隨機事件發生的可能性大小的.都可以用0到1之間的一個數值（也稱為比率）來作為隨機事件發生的可能性大小的度量，即事件發生的概率，記作.把隨機事件出現的可能性大小的度量值稱為該隨機事件的概率.（2）概率的古典定義和計算（30分鐘）：由簡單的例子說明古典概率應具備的條件，即有限性和等可能性，重點講解古典概型的條件和計算，定義中強調事件和樣本空間所含樣本點數，而不需知道是什么樣本點；講解書中例1和例2，并通過簡單的例子（如擲骰子）歸納古典概率的三個性質。（20分鐘）。書中例3可不講，補充習題（學生先做教師講解）。（10分鐘）(i)古典概率應具備的條件：試驗的樣本空間中只含有有限多個基本事件，稱為有限性；在每次試驗中，每個基本事件出現的可能性相同，稱為等可能性.具有這種特點的隨機試驗稱為古典概型.(ii)概率的古典定義：定義：若隨機試驗為古典概型，且已知樣本空間中含有個基本事件，事件中含有k個基本事件，則事件A的概率定義中強調事件和樣本空間所含樣本點數，而不需知道是什么樣本點。(iii)古典概型的計算：利用概率的古典定義計算隨機事件A的概率，首先要確定隨機試驗E滿足古典概型的特點，然后確定樣本空間所包含的基本事件總數n和事件A中包含的基本事件數k.有。例1：從有9件正品、3件次品的箱子中抽取兩次，每次一件，按兩種方式抽取（1）不放回；（2）有放回，求事件A={取得兩件正品}和事件B={取得一件正品一件次品}的概率.解：（1）從12件產品中不放回抽取兩件，所含的基本事件數為，A包含的基本事件數為，B包含的基本事件數為，所以：（2）從12件產品中有放回抽取兩件，所含的基本事件數為，A包含的基本事件數為，B包含的基本事件數為，所以：例2：將n個球隨意地放入N個箱子中，假設每個球都等可能地放入任意一個箱子，求下列各事件的概率：（1）指定的n個箱子各放一個球；（2）每個箱子最多放入一個球；（3）某指定的箱子里恰好放入（）個球.解：將n個球隨意地放入N個箱子中，共有種放法，記（1）、（2）、（3）的事件分別為.（1）將n個球放入指定的個箱子，每個箱子各有一球，其放法有種，故有（2）每個箱子最多放入一個球，等價于先從N個箱子中任選出n個，然后每個箱子中放入一球，其放法有種，故（3）先任取k個球（有種取法）放入指定的箱子中，然后將其余的個球隨意地放入其余個箱子，共有種放法，故有.補充例題：例題：一個機構投資商考慮對5個公司中的2個公司進行一項大的投資，假設投資者不知道5個公司中的2個公司關于新產品的開發的基礎不穩定。a．列出所有可能的基本事件。b．確定從3個基礎更好的公司中選出2個公司的概率。c．所選公司中包含1個基礎不穩定的公司的概率是多少?d．選出2個基礎最不穩定公司的概率是多少?(iv)古典概率的三個性質：1）；2）；3）設事件兩兩互斥，則：（3）簡單介紹統計概率和幾何概率的定義，并說明其與古典概率具有相同的性質；（10分鐘）(i)統計概率的定義：定義：在一組不變的條件下，進行大量重復試驗，隨機事件出現的頻率穩定地在某個固定的數值的附近擺動，我們稱這個穩定值為隨機事件A的概率，記為.(ii)幾何概率的定義：定義：設在可測區域內，任一具有相同度量的子區域被取到的可能性相等，且從中隨機取一點屬于子區域A的可能性只與A的測度成正比，而與A的形狀及位置無關，則事件A={點屬于A}的概率為：統計概率和幾何概率與古典概率具有相同的性質。（4）由前面概率的性質引出概率的公理化定義，說明公理化定義的偉大意義。（10分鐘）(i)概率的公理化定義：定義：設隨機試驗E的樣本空間為，對于E的每一個事件A，賦予一個實數，且滿足以下三個條件（公理）：（1）非負性：對于任意，有；（2）規范性：；（3）可列可加性：若是兩兩互斥的事件列，有則稱為事件A的概率.(ii)公理化定義的意義：事件概率的統計定義、古典概率定義、幾何概率定義在一定的范圍內解決了某些實際問題，但這幾種概率的定義都存在著應用上的局限性，缺乏數學定義的嚴密性與一般性.經過長期的研究，到1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫在總結了前人的研究成果的基礎上，提出了概率的公理化體系，明確定義了概率的基本概念，使概率論成為一門嚴謹的數學分支。（5）重點講解概率的性質及應用。性質1和性質2比較顯然，直接給出，可不證，性質3（說明對立事件的應用）、性質4和性質5給出證明，并舉出應用的例子。性質5（加法定理）給出三個事件的情形（可根據圖形讓學生自己總結）進而推廣到個事件的情形。（20分鐘）概率的性質及證明：性質1：；性質2：（有限可加性）設有限個事件兩兩相斥，則性質3：對任何事件，有.證明：由且，由性質2有即：.性質4：設為兩個事件，且，則.證明：因為，所以且，由可加性得即一般情況下，對任意事件，有性質5：（加法定理）設為任意兩個事件，則.證明：，且，由性質2、4得：。n個事件的概率加法公式：（6）利用例5說明概率性質的應用，可補充例題。（10分鐘）例5：設，，分別在下列條件下求：（1）；（2）A與B互斥；（3）.解：（1），則，因此；（2）若互斥，則，因此；（3），因此.補充例題：例題：某企業與甲、乙兩公司簽訂某商品的長期供貨合同，從以往情況看．甲公司按時供貨的概率為0.9，乙公司按時供貨的概率為0.75，這兩公司都按時供貨的概率為0.7，求至少有一家公司按時供貨的概率。（7）書中配套練習（5分鐘）第三講：條件概率教學內容：條件概率的定義、概率的乘法定理及應用、全概率公式的證明及應用。教學目的：（1）深刻理解條件概率的意義，掌握條件概率的計算；（2）了解概率的乘法定理在實際應用中的重要性；掌握兩及多個事件乘積的概率計算；（3）深刻理解全概率公式的意義和方法，掌握全概率公式求事件概率的方法和過程。教學的過程和要求：（1）條件概率（30分鐘）通過兩個例子說明條件概率與無條件概率的不同，并由此給出條件概率的定義和計算方法書中例題2，3可選其一，補充應用例題。(i)舉例說明：例：十張彩票中有兩張能中獎，甲、乙兩人各抽獎一次.抽前乙關心的是自己抽到獎的概率，令A={乙抽到獎}，則有.若甲先抽，乙就會關心甲抽簽的結果，因為這會影響到他抽到“獎”的可能性.設={甲抽到獎}，則在B發生條件下，樣本空間已經發生了變化，只含有九個樣本點，事件A發生的概率為.可見考慮在事件B已經發生條件下，事件A發生的概率是有實際意義的.例：兩個車間生產同一種產品，產品數量和質量情況如表1-2（單位：千件）表1-2合格品數不合格品數合計一車間35540二車間501060總計8520100試求：（1）從所有的產品中任取一件，取到合格品的概率；（2）從所有的產品中任取一件，取到的是二車間生產的產品的概率；（3）在取到合格品的條件下，取到二車間產品的概率。解：設{取到合格品}，{取到二車間產品}，則（1）（2）（3）(ii)條件概率的定義：定義：設A、B是隨機試驗E的兩個事件，且，在事件B已經發生條件下，事件A發生的條件概率為(iii)條件概率的計算：例3：設一只烏龜能存活60年的概率為0.89，能存活100年的概率為0.83，若現在這只烏龜已經60歲，則它能再存活40年的概率是多少？解：設A={烏龜活到100歲}，B={烏龜活到60歲}因為，所以p{已活到60歲的烏龜再存活40年}=也可以理解為100只活到60歲的烏龜中大約有93只能活到100歲.補充應用例題：考慮下列情況：在對很多保險索賠的分析中，根據保險的類型以及索賠是否屬于欺詐對索賠進行分類、得到的結果見下表。假定你負責審核保險索賠——具體地說，是要識別出欺詐索賠——并且正在處理一樁索賠，那么，事件“該樁索賠為欺詐索賠”的概率是多少，為了回答這個問題，你考察表中數據，并且注意到在所有的索賠中有10％是欺詐索賠。假定在表中給出的各個百分比與收到特定類型的索賠的真實概率充分接近，就得出P(F)＝0.10。你會說你面對個欺詐索賠風險的概率有0.10嗎?我們想不會．因為你有一些可以影響估計P(F)的附加信息。這些附加信息與你正在核審的保險單的類型(火災，汽車，或其他)有關。保險索賠分類類型保險單的類型總和%火災汽車其他欺詐索賠非欺詐索賠6141293471090總和203050100假定你的附加信息是這樁索賠與一張火災保險單有關。在表中，我們看到所有的索賠中有20％(或0.20)與火災保險單有關，有6％(或0.06)是欺詐性火災保險索賠。因此，可以得到在已知是火災保險單的情況下，該樁索賠是欺詐索賠的概率為：＝學生練習：一家大公司為了評估其雇員在日常工作中的表現，花了相當多的時間開發了一套雇員表現等級的評估辦法。這樣，可以把應當被安排在重點崗位上的人確定出來，并在需要時進行重大調整。確定重點崗位人員的關鍵是體現雇員能力的指標，即可以負荷的工作量以及雇員所接受的正規工作訓練。工作量正規訓練無很少一定程度全面低中等高0.010.050.100.020.060.150.020.070.160.040.100.22由負荷的工作量以及所接受的正規工作訓練把所有雇員分成12個類。雇員被安排在重要崗位上的概率如表所示。下面定義3個事件A：一個雇員負荷的工作量是屬于高的；B：一個雇員具有最高的(全面)正規訓練水平；C：一個雇員很少或沒有正規訓練并且工作量為中低檔。a求P(A)、P(B)，和P(C)。b．求P(A/B)，P(B/A)和P(B/C)。c求P(AUB)．P(AUC)和P(BC)（2）概率的乘法定理（25分鐘）條件概率和概率的乘積定理的關系和在實際應用中的意義，由條件概率的定義說明實際應用中乘積概率的重要性及計算方法，進而推廣到多個事件積的概率；(i)條件概率和概率的乘積定理的關系：定理：（概率乘法公式）由條件概率的定義得或.(ii)多個事件積的概率：(iii)乘積概率的計算方法：例4：計算機房有10臺機器，其中一臺是壞的.現有4名學生同時上機，他們依次隨機地選擇一臺計算機，求4名學生都選到好機器的概率.解：令={第個學生選到好機器}，.則：，，，由概率的乘法公式得例5：設袋中有5個紅球、3個黑球、2個白球，（1）不放回摸取三次，每次一球；（2）有放回地摸取三次，每次一球；求第三次才摸到白球的概率.解：第三次才摸到白球，意味著第一次、第二次摸到的是紅球或黑球.設A={第一次沒有摸到白球}，B={第二次沒有摸到白球}，C={第三次摸到白球}，則={第三次才摸到白球}.（1）無放回摸取時，，，因而.（2）有放回摸取時，，，因而.（3）全概率公式（35分鐘）由例子（例6）引進全概率公式，畫圖說明全概率公式的含義，給出定理的公式及證明，重點講清全概率公式應用的條件，舉例7；(i)舉例說明全概率公式：例6：在前面甲、乙二人摸獎的的試驗中，若甲先摸，而乙并不知道甲摸得的結果，求乙摸到獎的概率？解：我們來分析一下，乙摸到獎可以分為兩種情況，即在甲摸到獎時乙也摸到獎或甲沒有摸到獎時乙摸到獎，并且這兩種情況是互不相容的（甲要么摸到獎，要么摸不到）.設{甲摸到獎}，={甲摸不到獎}，={乙摸到獎}，則：在發生時也發生的概率為在不發生時發生的概率為因此：。(ii)全概率公式的定義及證明：定理：（全概率公式）設是兩兩互不相容的事件，（），且，則對于任意事件B，有故：(iii)全概率公式應用的條件：有限個事件兩兩互斥，，，且。(iv)全概率公式的計算：例7：設某批產品中甲、乙、丙三個廠家的產量分別占45%，35%，20%，各廠產品中次品率分別為4%、2%和5%.現從中任取一件，求取到的恰好是次品的概率.解：設B={任取一件，恰好是次品}，={取到甲廠生產的}，={取到乙廠生產的}，={取到丙廠生產的}，則，，且，，，由全概率公式得：補充例題：12個乒乓球中有9個新的3個舊的,第一次比賽取出了3個,用完后放回去,第二次比賽又取出3個,求第二次取到的3個球中有2個新球的概率.解:設為第i次比賽取到了i個新球,(i=0,1,2,3),構成完備事件組.設B為第二次取到的3個球中有2個新球.則有根據全概率公式有(5)書中配套練習第四講：獨立性教學內容：事件的獨立性及應用、貝努利概型。教學目的：（1）深刻理解兩個事件的獨立性的概念和性質；（2）理解多個事件相互獨立的定義，了解多個事件相互獨立和事件之間兩兩相互獨立的關系；（3）掌握事件獨立性在概率計算中的應用；（4）理解貝努利概型的條件，理解公式；（5）掌握貝努概型概率的計算。教學的過程和要求：（1）兩個事件的獨立性（20分鐘）:由條件概率引出兩個事件的獨立性（或其它實際例子）給出定義，證明兩事件獨立的推論定理5，書中例題9。(i)舉例說明兩個事件的獨立性：某人擲一顆骰子兩次，第一次骰子出現的點數并不會影響第二次骰子出現的點數；此時有，當時，(ii)事件獨立性定義及獨立的充要條件：定義：對任意兩個事件A與B，若，則稱事件A與B相互獨立.定理：事件與獨立的充要條件是或(iii)事件獨立性計算：例9：甲、乙兩人單獨地解答同一道習題，甲能答對的概率是0.8，乙能答對的概率是0.9.試求：（1）兩個都答對的概率；（2）至少有一個人答對的概率.解（1）設A={甲答對}，B={乙答對}，則，，A與B相互獨立，兩人都答對為事件AB，則有.（2）至少有一人答對的事件為，可用多種方法求解：解法一：解法二：解法三：補充例題：某個大城市的公用事業公司發現其70％的顧客付清每月的賬單，假定從所有顧客的列表中隨機選擇2名顧客。兩個顧客都付清每月賬單的概率是多少？至少一個顧客付清每月賬單的概率是多少?（2）多個事件相互獨立（20分鐘）簡單介紹多個事件相互獨立的含義，兩兩相互獨立與多個事件相互獨立的關系。補充例題。這里重點需要說清楚獨立性應用的情況。書中配套練習(i)多個事件相互獨立的定義：定義：設有n個事件，假如對所有可能的，以下等式均成立：，……則稱這n個事件是相互獨立的.(ii)兩兩相互獨立與多個事件相互獨立的關系：(iii)例10：設某種高射炮的命中率為0.6，若有一架敵機入侵領空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮同時射擊？即，所以至少需要6門高射炮.補充例題：在一個均勻的正四面體的四個面上分別涂上紅色、藍色、黃色和紅、藍、黃色，拋擲該四面體，設：有紅色著地，：有藍色著地，：有黃色著地，則，