冀教版九年級數學上冊同步練習：28.5弧長和扇形面積的計算第頁28.5弧長和扇形面積的計算知識點1弧長公式l＝eq\f(nπr,180)(n°為圓心角，r為半徑)1．假設扇形的半徑為6，圓心角為120°，那么此扇形的弧長是()A．3πeq\a\vs4\al(B).4πeq\a\vs4\al(C).5πeq\a\vs4\al(D).6π2．2023·哈爾濱扇形的弧長為4π，半徑為48，那么此扇形的圓心角為______度．3．扇形的圓心角為120°，弧長為10πcm，那么扇形的半徑為__________cm.4．如圖28－5－1，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，∠D＝60°.當BC＝4時，求eq\o(AC,\s\up8(︵))的長．圖28－5－1知識點2扇形面積公式S＝eq\f(nπr2,360)(n°為圓心角，r為半徑)5．扇形OBC的圓心角為90°，半徑為eq\r(5)，那么該扇形的面積是()A.eq\f(\r(5)π,4)eq\a\vs4\al(B).eq\f(5π,4)eq\a\vs4\al(C).eq\f(4π,5)eq\a\vs4\al(D).20π6．教材練習第2題變式一個扇形的弧長是10πcm，面積是60πcm2，那么此扇形的圓心角的度數是()A．300°eq\a\vs4\al(B).150°eq\a\vs4\al(C).120°eq\a\vs4\al(D).75°7．2023·菏澤一個扇形的圓心角為100°，面積為15πcm2，那么此扇形的半徑為______cm.8．平面內，將長度為4的線段AB繞它的中點M，按逆時針方向旋轉30°，那么線段AB掃過的面積是________．知識點3圓錐的側面展開圖、母線與高9．2023·無錫假設圓錐的底面半徑為3cm，母線長是5cm，那么它的側面展開圖的面積為______cm2.10．一個扇形的半徑為60cm，圓心角為150°，用它圍成一個圓錐的側面，那么圓錐的底面半徑為__________cm.11．如圖28－5－2，用圓心角為120°，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個圓錐形無底紙帽，那么這個紙帽的高是________cm.圖28－5－212．如圖28－5－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.以直線AB為軸，把△ABC旋轉一周，求所得幾何體的外表積．圖28－5－313．2023·咸寧如圖28－5－4，⊙O的半徑為3，四邊形ABCD內接于⊙O，連接OB，OD，假設∠BOD＝∠BCD，那么eq\o(BD,\s\up8(︵))的長為()圖28－5－4A．πeq\a\vs4\al(B).eq\f(3,2)πeq\a\vs4\al(C).2πeq\a\vs4\al(D).3π14．2023·棗莊如圖28－5－5，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2eq\r(3)，那么陰影局部的面積為()圖28－5－5A．2πeq\a\vs4\al(B).πeq\a\vs4\al(C).eq\f(π,3)eq\a\vs4\al(D).eq\f(2π,3)15．如圖28－5－6，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中點D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在弧EF上，設∠BDF＝α(0°＜α＜90°)，當α由小到大變化時，圖中陰影局部的面積()A．由小到大eq\a\vs4\al(B).由大到小eq\a\vs4\al(C).不變eq\a\vs4\al(D).先由小到大，后由大到小圖28－5－6圖28－5－716．2023·寧波如圖28－5－7，半圓O的直徑AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，那么圖中陰影局部的面積為________．17．如圖28－5－8分別是邊長均大于2的三角形，四邊形，…，凸n邊形．分別以它們的各頂點為圓心，以1為半徑畫弧與兩相鄰邊相交，得到3個，4個，…，n個扇形．(1)三角形中3條弧長的和為________，3個扇形的面積的和為________；(2)四邊形中4條弧長的和為________，4個扇形的面積的和為________；(3)凸n邊形中n條弧長的和為________，n個扇形的面積的和為________．圖28－5－818．如圖28－5－9所示，圓錐的底面半徑r＝10cm，母線長為40cm.(1)求它的側面展開圖的圓心角和面積；(2)假設一甲蟲從點A出發沿著圓錐側面繞行到母線SA的中點B，請你動腦筋想一想它所爬行的最短路程是多少？圖28－5－919．如圖28－5－10，扇形OAB從圖①無滑動旋轉到圖②，再由圖②到圖③.∠O＝60°，OA＝1.(1)求點O所運動的路徑長；(2)求點O走過的路徑與直線l圍成的面積．圖28－5－1020．P是正方形ABCD內的一點，連接PA，PB，PC.將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置(如圖28－5－11)．(1)設AB的長為a，PB的長為b(b＜a)，求△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域(圖中陰影局部)的面積；(2)假設PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的長．圖28－5－111．B[解析]此扇形的弧長為eq\f(120×π×6,180)＝4π.2．15[解析]設扇形的圓心角為n°，那么eq\f(nπ×48,180)＝4π，解得n＝15.3．15[解析]扇形的弧長l＝eq\f(nπr,180)＝eq\f(120×π×r,180)＝10π，解得r＝15.4．解：∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，∴∠ABC＝∠D＝60°.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝180°－90°－60°＝30°.連接OC.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO＝30°，∴∠AOC＝180°－2×30°＝120°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC為等邊三角形，∴OC＝BC＝4，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))的長為eq\f(120π×4,180)＝eq\f(8,3)π.5．B6．B[解析]∵一個扇形的弧長是10πcm，面積是60πcm2，∴S＝eq\f(1,2)lr，即60π＝eq\f(1,2)×10π×r，解得r＝12，∴S＝60π＝eq\f(nπ×122,360)，解得n＝150.應選B.7．3eq\r(6)[解析]設該扇形的半徑為r，那么eq\f(100π×r2,360)＝15π，解得r＝3eq\r(6)，即該扇形的半徑為3eq\r(6)cm.8.eq\f(2,3)π[解析]線段AB掃過的面積S＝2×eq\f(30π×22,360)＝eq\f(2,3)π.9．15π[解析]圓錐的底面半徑為3cm，那么其底面周長＝6πcm，∴其側面展開圖面積＝eq\f(1,2)×6π×5＝15π(cm2)．10．25[解析]扇形的弧長是eq\f(150π×60,180)＝50π(cm)，設圓錐的底面半徑是rcm，那么2πr＝50π，解得r＝25.11．4eq\r(2)[解析]∵圓心角為120°，半徑為6cm的扇形的弧長為eq\f(120×π×6,180)＝4π，∴圓錐的底面圓的周長為4π，因此圓錐的底面圓的半徑為2，∴這個紙帽的高為eq\r(62－22)＝4eq\r(2)(cm)．故答案為4eq\r(2).12．解：由勾股定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，斜邊上的高為eq\f(6×8,10)＝4.8，由題意易知幾何體是由兩個圓錐組成的，那么幾何體的外表積為eq\f(1,2)×2×4.8π×(6＋8)＝67.2π.13．C[解析]∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠BCD＋∠A＝180°.∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，∴2∠A＋∠A＝180°，解得∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))的長＝eq\f(120π×3,180)＝2π.應選C.14．[全品導學號：27572231]D[解析]∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°.又∵弦CD⊥AB，CD＝2eq\r(3)，∴OC＝eq\f(\f(1,2)CD,sin60°)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，∴S陰影＝S扇形COB＝eq\f(60×π×22,360)＝eq\f(2π,3).應選D.C[解析]如圖，過點D作DM⊥AC于點M，DN⊥BC于點N，連接DC.∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，DM＝eq\f(\r(2),2)AD＝eq\f(\r(2),4)AB，DN＝eq\f(\r(2),2)BD＝eq\f(\r(2),4)AB，∴DM＝DN.又∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DMCN是正方形，∴∠MDN＝90°，∴∠MDG＝90°－∠GDN.∵∠EDF＝90°，∴∠NDH＝90°－∠GDN，∴∠MDG＝∠NDH.在△DMG和△DNH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MDG＝∠NDH，,DM＝DN，,∠DMG＝∠DNH，))∴△DMG≌△DNH，∴四邊形DGCH的面積＝正方形DMCN的面積．∵正方形DMCN的面積＝DM2＝eq\f(1,8)AB2，∴四邊形DGCH的面積＝eq\f(1,8)AB2.∵扇形DFE的面積＝eq\f(90·π·CD2,360)＝eq\f(πAB2,16)，∴陰影局部的面積＝扇形DEF的面積－四邊形DGCH的面積＝eq\f(〔π－2〕AB2,16)(定值)．16．eq\f(π,4)[解析]∵弦CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∴S陰影＝S扇形OCD＝eq\f(90,360)×π×12＝eq\f(π,4).故答案為eq\f(π,4).17．(1)πeq\f(1,2)π(2)2ππ(3)(n－2)πeq\f(n－2,2)π[解析](1)根據題意，設三角形三個內角的度數分別為n°1，n°2，n°3，那么根據三角形內角和公式，有n°1＋n°2＋n°3＝180°.又半徑為1，所以3條弧長的和l＝eq\f(n1πr,180)＋eq\f(n2πr,180)＋eq\f(n3πr,180)＝eq\f(〔n1＋n2＋n3〕πr,180)＝π，3個扇形的面積和為S＝eq\f(n1πr2,360)＋eq\f(n2πr2,360)＋eq\f(n3πr2,360)＝eq\f(〔n1＋n2＋n3〕πr2,360)＝eq\f(π,2).類似地，四邊形的內角和為360°，n邊形的內角和為180°(n－2)，從而可得答案．18．解：(1)eq\f(nπ×40,180)＝2π×10，解得n＝90.圓錐側面展開圖的面積為eq\f(1,2)×(2π×10)×40＝400π(cm2)．即它的側面展開圖的圓心角為90°，面積為400πcm2.(2)如圖，將圓錐的側面展開，連接AB.由圓錐的側面展開圖，得甲蟲從點A出發沿著圓錐側面繞行到母線SA的中點B所走的最短路程是線段AB的長．在Rt△ASB中，SA＝40cm，SB＝20cm，∴AB＝eq\r(SA2＋SB2)＝eq\r(402＋202)＝20eq\r(,5)(cm)．∴甲蟲所走的最短路程是20eq\r(,5)cm.19．解：(1)從圖①到圖②，點O運動的軌跡是一個以A為圓心，OA為半徑的四分之一圓弧，l1＝eq\f(2π×1,4)＝eq\f(π,2)；從圖②開始旋轉到圖②旋轉結束，即從OA垂直于l旋轉到OB′垂直于l，點O運動的軌跡是一段直線段，長度與弧AB的長度相等，l2＝eq\f(2π×1,6)＝eq\f(π,3)；從圖②旋轉結束到圖③，點O運動的軌跡是一個以B為圓心，OB為半徑的四分之一圓弧，l3＝eq\f(2π×1,4)＝eq\f(π,2)，∴點O所運動的路徑長為eq\f(π,2)＋eq\f(π,3)＋eq\f(π,2)＝eq\f(4,3)π.(2)點O走過的路徑與直線l圍成的面積是一個半圓與長為eq\f(π,3)、寬為1的矩形的面積和，即eq\f(π×12,2)＋1×eq\f(π,3)＝eq\f(5π,6).20．解：(1)∵將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置