九年級數學圓與相似的專項培優易錯試卷練習題(含答案)及答案一、相似1.如圖所示，將二次函數y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數y=ax2+bx+c的圖象.函數y=x2+2x+1的圖象的頂點為點A.函數y=ax2+bx+c的圖象的頂點為點B,和x軸的交點為點C,D(點D位于點C的左(1)求函數y=ax2+bx+c的解析式；(2)從點A,C,D三個點中任取兩個點和點B構造三角形，求構造的三角形是等腰三角形的概率；(3)若點M是線段BC上的動點，點N是^ABC三邊上的動點，是否存在以AM為斜邊的1RtA八乂^使^AMN的面積為^ABC面積的？若存在，求tanNMAN的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：y=x2+2x+1=(x+1)2的圖象沿x軸翻折，得y=-(x+1)2,把y=-(x+1)2向右平移1個單位，再向上平移4個單位，得y=-x2+4,「?所求的函數y=ax2+bx+c的解析式為y=-x2+4(2)解:vy=x2+2x+1=(x+1)2,「.A(-1,0),當y=0時，-x2+4=0,解得x=±2,則D(-2,0),C(2,0)；當x=0時，y=-x2+4=4,則UB(0,4),從點A,C,D三個點中任取兩個點和點B構造三角形的有：△ACB,△ADB,△CDB,vAC=3,AD=1,CD=4,AB=%『,BC=2-,/",BD=2-,/,??.△BCD為等腰三角形，」?構造的三角形是等腰三角形的概率=

(3)解：存在，易得BC的解析是為y=-2x+4,SAABC=-AC*OB=x3x4=6,M點的坐標為(m,-2m+4)(0<m<2),①當N點在AC上，如圖1,????.△AMN的面積為^ABC面積的，1「?二(m+1)(-2m+4)=2,解得m『0,m2=i,當m=0時，M點的坐標為(0,4),N(0,0),貝UAN=1,聊4———「.tanNMAC=d[=4；當m=1時，M點的坐標為(1,2),N(1,0),則AN=2,哪二： ——「.tanNMAC=1 '=1；MN=4,MN=2,②當②當N點在BC上，如圖2,「SAAMN=AN-MN=2,4「.MN=':= ',入八腑_3AN"…"S「.NMAC=③當N點在AB上，如圖3,由②得AH= ，則BH=\丁NNBG=NHBA,「.△BNM-△BHA,出\”一t.AN?MN=2,1 by~6t即■?('■■-■■-t)? =2,整理得3t2-3'、t+14=0,△=(-3%丁)2-4x3x14=-15<0,方程沒有實數解，???點N在AB上不符合條件，,5綜上所述，tanNMAN的值為1或4或【解析】【分析】(1)將y=x2+2x+1配方成頂點式，根據軸對稱的性質，可得出翻折后的函數解析式，再根據函數圖像平移的規律：上加下減，左加右減，可得出答案。(2)先求出拋物線y=X2+2x+1的頂點坐標A,與x軸、y軸的交點D、C、B的坐標，可得出從點A,C,D三個點中任取兩個點和點B構造三角形的有：△ACB,△ADB,△CDB,再求出它們的各邊的長，得出構造的三角形是等腰三角形可能數，利用概率公式求解即可。(3)利用待定系數法求出直線BC的函數解析式及^ABC的面積、點M的坐標，再分情況討論：①當N點在AC上，如圖1；②當N點在BC上，如圖2；③當N點在AB上，如1圖3。利用△AMN的面積=△ABC面積的，解直角三角形、相似三角形的判定和性質等相關的知識，就可求出tanzMAN的值。2.如圖，在■■」…中，? ?，點M是AC的中點，以AB為直徑作"分別交’?二于點,‘二(1)求證：''；(2)填空：」若=仇當期？=*圾時，DE=；篇連接如，曜，當』"的度數為時，四邊形ODME是菱形.【答案】(1)證明：':ZABC=90°,AM=MC,「.BM=AM=MC,「.ZA=ZABM.;四邊形ABED是圓內接四邊形，，ZADE+ZABE=180°,又ZADE+ZMDE=180°,「.ZMDE=ZMBA,同理證明：ZMED=ZA,「.ZMDE=ZMED,「.MD=ME2；DE【解析】【解答】解：⑵①由(1)可知，ZA=ZMDE,DEIIAB,「.'=ML 1 1'.丁AD=2DM,「.DM：MA=1：3,「.DE=AB=x6=2.故答案為：2.②當ZA=60°時，四邊形ODME是菱形.理由如下：連接OD、OE.AM C;OA=OD,ZA=60°,「.△AOD是等邊三角形，「.ZAOD=60°.丁DEIAB,「.ZODE=ZAOD=60°,ZMDE=ZMED=ZA=60°,：,△ODE,△DEM都是等邊三角形，「.OD=OE=EM=DM,「.四邊形OEMD是菱形.故答案為：60°.【分析】(1)要證MD=ME,只須證ZMDE=ZMED即可。根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=AM=MC,則ZA=ZABM,由圓內接四邊形的性質易得NMED=NA,NMDE=NMBA,所以可得NMDE=NMED；DE初(2)①由(1)易證得DEIIAB,可得比例式0■說結合①中的已知條件即可求解；②當NA=60°時，四邊形ODME是菱形.理由如下：連接OD、OE,由題意易得△ODE,△DEM都是等邊三角形，所以可得OD=OE=EM=DM,由菱形的判定即可求解。3.已知直線miln,點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點.(1)操作發現：直線Um,l，n,垂足分別為A、B,當點A與點C重合時(如圖①所示)，連接PB,請直接寫出線段PA與PB的數量關系：.(2)猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問(1)中的PA與PB的關系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.(3)延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點A旋轉，使得NAPB=90°(如圖③所示)，若兩平行線m、n之間的距離為2k.求證：PA?PB=k?AB.【答案】(1)PA=PB(2)解：把直線l向上平移到如圖②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如圖②，過C作CEUn于點E,連接PE,時 打「三角形CED是直角三角形，點P為線段CD的中點，「.PD=PE,「.PC=PE；:PD=PE,「.NCDE=NPEB,「直線miln,，NCDE=NPCA,「.NPCA=NPEB,又「直線lUm,lUn,CEUm,CEUn,，lIICE,，AC=BE,PC=W{ZK'A=ZPEB在^PAC和^PBE中，產二二皿 「.△PAC-△PBE,，PA=PB(3)解：如圖③，延長AP交直線n于點F,作AEUBD于點E,AP_PC;直線miln,「. ',「.AP=PF,.:乙APB=90°,「.BP±AF,又;AP=PF,「.BF=AB；rZAEF=^BPF=900 竺二世在△AEF和△BPF中，,?工二二.?二；’ 」.△AEF-△BPF, ，  」,「.AF?BP=AE?BF,;AF=2PA,AE=2k,BF=AB,「.2PA?PB=2k.AB,「.PA?PB=k?AB.【解析】【解答】解：(1);Un,「.BC±BD,「.三角形CBD是直角三角形，又二?點P為線段CD的中點，「.PA=PB.【分析】(1)根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半；(2)把直線l向上平移到如圖②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如圖②，過C作CE±n于點E，連接PE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半得出PD=PE=PC，根據等邊對等角得出NCDE=NPEB，根據二直線平行，內錯角相等得出NCDE=NPCA，故NPCA=NPEB，根據夾在兩平行線間的平行線相等得出 AC=BE，然后利用SAS判斷出△PAC-△PBE，根據全等三角形的對應邊相等得出PA=PB；(3)如圖③，延長AP交直線n于點F，作AE±BD于點E，根據平行線分線段成比例定理得出AP=PF，根據線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等得出BF=AB；然后判斷出△AEF-△BPF，根據相似三角形的對應邊成比例即可得出AF?BP=AE?BF，根據等量代換得出2PA?PB=2k.AB,即PA?PB=k?AB.4.如圖，△ABC內接于OO,且AB=AC.延長BC到點D,使CD=CA,連接AD交。O于點E.(1)求證：△ABE^△CDE；(2)填空：

①當NABC的度數為時，四邊形AOCE是菱形；②若AE=6,BE=8,貝UEF的長為.【答案】(1)證明：7AB=AC,CD=CA,「.NABC=NACB,AB=CD.丁四邊形ABCE是圓內接四邊形，，NECD=NBAE,NCED=NABC.丁NABC=NACB=NAEB,「.NCED=NAEB,「.△ABE^△CDE(AAS)(2)60；-【解析】【解答】解：(2)①當NABC的度數為60°時，四邊形AOCE是菱形;理由是：連接AO、OC.丁四邊形ABCE是圓內接四邊形，，NABC+NAEC=180°.丁NABC=60,「.NAEC=120°=NAOC.;OA=OC,「.NOAC=NOCA=30°.;AB=AC,「.△ABC是等邊三角形，「.NACB=60°.丁NACB=NCAD+ND.;AC=CD,「.NCAD=ND=30°,「.NACE=180°-120°-30°=30°,「.NOAE=NOCE=60°,「.四邊形AOCE是平行四邊形.EBC.;OA=OC,「.AOCE是菱形；②由(1)得：△ABEM△CDE,「.BE=DE=8,AE=CE=6,「.ND=NECCl6————丁NCED=NABC=NACB,「.△ECD-△CFB,「.=EBC.68 36.于= ,「.EF=■■=AE_BC丁NAFE=NBFC,NAEB=NFCB,「.△AEF-△68 36.于= ,「.EF=■■=s故答案為：①60°；②.【分析】(1)由題意易證NABC=NACB,AB=CD；再由四點共圓和已證可得NABC=NACB=NAEB,NCED=NAEB,則利用AAS可證得結論；(2)①連接AO、CO.憲政△ABC是等邊三角形，再證明四邊形AOCE是平行四邊形，又AO=CO可得結論；②先證△ECD-△CFB，可得EC：ED=CF：BC=6:8；再證△AEF-△BCF,則AE：EF=BC：CF,從而求出EF.E.設PD=x,EF=y.U備用圖備用圖(1)(E.設PD=x,EF=y.U備用圖備用圖(1)(2)(3)當點A、P、F在一條直線上時，求AABF的面積；如圖1,當點F在邊BC上時，求y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域;聯結PC,若NFPC=NBPE,請直接寫出PD的長.【答案】（1）解：如圖，矩形ABCD,5.已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=4.P是對角線BD上的一個動點（點P不與點B、D重合），過點P作PFLBD,交射線BC于點F.聯結AP,畫NFPE=NBAP,PE交重合），過點P作=ZABF=90°ZABD+ZADB=90ZABD+ZADB=90cA、P、F在一條直線上，且PF±BD,ZBPA/ABB一ZBAF=90°??..■■AB1心—R麴二一ADBFtonZBAF/ABB一ZBAF=90°??..■■AB1心—R麴二一ADBFtonZBAF=—=AB（2）解:;PF±BP,「.二：「二一: ；.■■■ ,「? .；EF■■■■二;…?，又:NBAP=NFPE,ABBF

——丁AD//BC, ,1=1an//班--JPFJPF=--x)2(3)解：ZCPF=ZBPE,①如圖所示，當點F在CE上時,ZBPF=ZFPD=90°,/.ZDPC=ZFPE,ZFPE=ZBAP,/.ZDPC=ZBAP,---AB//CD,ZABD=ZCDB,/.△PAB-△CPD,/.PB：CD=AB：PD,PB-PD=CD-AB,x(j)=2x2,.x=75±1；②如圖所示，當點F在EC延長線上時,過點P作PN_LCD于點N,在CD上取一點M,連接PM,使NMPF=NCPF,貝I］有PC：PM=CH：MH,ZBPF=ZDPF=90°,/.ZBPC=ZDPM,,/ZBPE=ZCPF,ZBPE=ZEPF,ZBAP=ZFPE,/.ZBAP=ZDPM,,/ZABD=ZBDC,△PAB-△MPD,」.PB：MD=AB：PD,由PD=x,tanZPDM=tanNPFC=2,—x x —工易得：DN=1 ,PN=' ,CN=2- ,可亍-5xPH=2x,FH= ,CH=2-\x,x~力由PB：MD=AB：PD可得MD=: ，從而可得MN,在RtAPCN中利用勾股定理可得PC,由PC：PM=CH：MH可得PM,在在RtAPMN中利用勾股定理可得關于x的方程，-“履解得x= ,M-'加綜上：PD的長為：；,?或【解析】【分析】(1)要求三角形ABF的面積，由題意只須求出BF的長即可。根據同角ABBF1—————的余角相等可得ZBAF=ZADB,所以tanZPBF=tanZADB=曲?融 ’：,結合已知即可求得1BF的長，三角形ABF的面積=AB'BF；(2)要求y與x之間的函數關系式，由題意只須證得 ABAPsAFPE,從而得出比例ABBF—— 式;一 ?，現在需求出PF的長，代入比例式即可得y與x的關系式。(3)由已知條件過點P作PFLBD,交射線BC于點F可知，點F可能在線段CE上，也可在CE的延長線上，所以分兩種情況求解即可。6.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a<0)從左到右依次交x軸于A、B兩點，交y軸于點C.(1)求點A、C的坐標；(2)如圖1,點D在第一象限拋物線上，AD交y軸于點E,當DE=3AE,OB=4CE時，求a

的值；點Q在點PC=PD,(3)如圖2,在(2)的條件下，點P在C、D之間的拋物線上，連接PC、PD,B、D之間的拋物線上，QFIIPC，交x軸于點F，連接CF、CB，當NCFQ=2NABC點Q在點PC=PD,【答案】(1)解：當x=0時，y=3,「.C(0,3).當y=0時，ax2+(a+3)x+3=0,,j(ax+3)(x+1)=0,解得x1=-,x2=-1.:a<0,,j???->0,」.A(-1,0)(2(2)解：如圖1,過點D作DM^AB于M.「OEIIDM,OMDE二一「.I,「.OM=3,「.D點縱坐標為12a+12.OE_DM_上為+12.「tanNEAO=.■： .■::: ，? =3a+3,「.OE=3a+3,「.CE=OC-OE=3-(3a+3)=-3a.;OB=4CE,,1j」.-=-12a,「a<0,(3)解：如圖2,過點D作DT±y軸于點T,過點P作PG±y軸于點G,連接TP.?a=--,1 .5「?拋物線的解析式為y=--X2+.x+3,D(3,6),DT=3,OT=6,CT=3=DT,又「PC=PD，PT=PT，△TCP^△TDP，「.NCTP=NDTP=45°，TG=PG.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 .5設P(t,--t2+-t+3),1 .5「?OG=-t2+-t+3,PG=t,\o"CurrentDocument"1 .5 1 .5??.TG=OT-OG=6-(-.t2+.t+3)=t2--t+3,,5?.―t2--t+3=t，解得t=1或6,二?點P在C、D之間，，t=1.過點F作FKIIy軸交BC于點K，過點Q作QN±x軸于點N,則NKFC=NOCF,NKFB=NCON=90°.「FQIIPC,「.NPCF+NCFQ=180°,NPCF+NPCG+NOCF=180°,「.NCFQ=NPCG+NOCF,「.NCFK+NKFQ=NPCG+NOCF,「.NKFQ=NPCG.

丁P丁P(1,5),「.PG=1,CG=OG-OC=5-3=2,PG1———「.tanZPCG=一，0C3 1—————vtanZABC=■,一，「.ZPCG=ZABC,「.ZKFQ=ZABC.vZCFQ=2ZABC,「.ZCFQ=2ZKFQ,「.ZKFQ=ZKFC=ZOCF=ZABC,OFOF - 「.tanZOCF=,3設FN=m，貝UQN=2m,Q(m+-,2m),vQ在拋物線上，1.j.5,j」.-.(m+.)2+?x(m+-)+3=2m,.5解得m=?或m=-(舍去)，「.Q(4,5),vB(6,0),TOC\o"1-5"\h\z「.BQ=J' '' ' .【解析】【分析】(1)令x=0,求出y的值，得到C點坐標；令y=0,求出x的值，根據a<0得出A點坐標；(2)如圖1,過點D作DM±AB于M.根據平行線分線段成比例定理求出OM=3,得到D點縱坐標為12a+12.再求出OE=3a+3,那么CE=OC-OE=-3a.根據,1j 1OB=4CE,得出-=-12a,解方程求出a=-?；(3)如圖2,過點D作DT±y軸于點T,過點P作PG±y軸于點G,連接TP.利用SSS證明^TCPM△TDP,得出ZCTP=ZDTP=45°,那么1 .5 1 .5TG=PG.設P(t,--t2+.t+3),列出方程?t2--t+3=t，解方程求得t=1或6,根據點P在C、D之間，得到t=1.過點F作FKIIy軸交BC于點K,過點Q作QN±x軸于點N,根據平行線的性質以及已知條件得出ZKFQ=ZPCG,進而證明ZKFQ=ZKFC=ZOCF=ZABC,由Ob 1 JtanZOCF='=tanZABC=?，求出OF=?.設FN=m，貝UQN=2m,Ij,5 ,1jQ在拋物線上列出方程--(m+?)2+?x(m+?)+3=2m,解方程求出滿足條件的m的值，得到Q點坐標，然后根據兩點間的距離公式求出BQ.7.如圖，在△ABC中，NACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,點D從點C出發，以2cm/s的速度沿折線CfAfB向點B運動，同時點E從點B出發，以1cm/s的速度沿BC邊向點C運動，設點E運動的時間為t(單位：s)(0<t<8).(1)當4BDE是直角三角形時，求t的值；(2)若四邊形CDEF是以CD、DE為一組鄰邊的平行四邊形，①設它的面積為S,求S關于t的函數關系式；②是否存在某個時刻t,使平行四邊形CDEF為菱形?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：如圖1,當NBED=90°時，△BDE是直角三角形，貝UBE=t,AC+AD=2t,「.BD=6+10-2t=16-2t,丁NBED=NC=90°,「.DEIIAC,BE，t_DL「.,3t「.DE=',DE———丁sinB=,如圖2,當NEDB=90°時，△BDE是直角三角形，

貝UBE=t,BD=16-2t,BDyC_8TOC\o"1-5"\h\zcosB= ,16~.,.7_8「. ,4G「?t=■；64 46答：當△BDE是直角三角形時，t的值為?或(2)解：①如圖3,當0<t<3時，BE=t,CD=2t,CE=8-t,C圖31'SCDEF=2,CDE=2X-X2tX(8-t)=-2t2+16t，如圖4,當3<t<8時，BE=t,CE=8-t,過D作DH^BC,垂足為H,3(16-2t)3(16~2t)6 96384「?Socdef=2Sacde=2x>xCExDH=CExDH=(8-t)x5 =5t2- t+；；??.S于t的函數關系式為：當0<t<3時，S=-2t2+i6t,6 96384當3<t<8時，S=t2-1t+；圖E由CD=DE得：CH=HE,4(16-2t) 8-tBH= ,BE=t,EH=,「.BH=BE+EH,4（16- 8-t「. =t+一，88?..t=\,88即當t=時，"DEF為菱形.【解析】【分析】（1）因為△BDE是直角三角形有兩種情況：①當NBED=90°時，可得DEIIAC,根據平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似可得匚二二；1于是可得比例式將DEDb用含t的代數式表示，再根據sinB='：?可得關于t的方程，解方程即可求解②當NEDB=90°時，同理可求解；（2）①當0<t<3時，S.cdef=2Sacde可得s與t的關系式；當3<t<8時，過D作DHLBC,垂足為H,根據平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似可得一用二：—于是可得比例式將DH用含t的代數式表示，則S.cdef=2Sacde可得s與t的關系式；當3<t<8時，同上；②存在，當。CDEF為菱形時，DH±CE,根據BH=BE+EH可得關于t的方程，解方程即可求解。8.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點P是邊AB上的一動點，連結DP.

(1)若將△DAP沿DP折疊，點A落在矩形的對角線上點A'處，試求AP的長；(2)點P運動到某一時刻，過點P作直線PE交BC于點￡,將4DAP與^PBE分別沿DP與PE折疊，點A與點B分別落在點A'，B'處，若P，A'，B'三點恰好在同一直線上，且AZBZ=2,試求此時AP的長；(3)當點P運動到邊AB的中點處時，過點P作直線PG交BC于點6,將4DAP與^PBG分別沿DP與PG折疊，點A與點B重合于點F處，連結CF,請求出CF的長.【答案】(1)解:①當點A落在對角線BD上時，設AP=PA'=x,1=5,在《△ADB中，:AB=4,AD=3,「.BD=F;AB=DA'=3,「.BA'1=5,在Rt△BPA'中,(4-x)2=x2+22,解得x=',.j「.AP=:②當點A落在對角線AC上時，圖2由翻折性質可知：PDLAC,則有△DAP-△ABC,ADAR ADJBC3X.)S?二4==El,「.AP= "= =..

,J(2)解:①如圖3中，設AP=x，則PB=4-x,圖3根據折疊的性質可知：PA=PA‘=x,PB=PB'=4-x,「A'B'=2,「.4-x-x=2,「.x=1,「.PA=1；②如圖4中，圖4設AP=x，則UPB=4-x,根據折疊的性質可知：PA=PA‘=x,PB=PB'=4-x,「A'B'=2,「.x-(4-x)=2,綜上所述，PA的長為1或3(3)解:如圖5中，作FH±CD由H.由翻折的性質可知；AD=DF=3.BG=BF,G、F、D共線，

4.5解得x=,，DG=DF+FG= ,CG=BC-BG=I-T- 3F匚EL1DF .7EE13.「FHIICG,「.：1■■=Dl=.：J,「.1= =1,* 3636 16■WI「.FH=.,DH=.,「.CH=4-.= ,在RtACFH中，CF=\=設BG=FG=x,在RtAGCD中,（X+3）2=42+（3-X）2,【解析】【分析】(1)分兩種情形：①當點A落在對角線BD上時，設AP=PA'=x，構建方程即可解決問題；②當點A落在對角線AC上時，利用相似三角形的性質構建方程即可解決問題；(2)分兩種情形分別求解即可解決問題；(（X+3）2=42+（3-X）2,二、圓的綜合9.如圖，OM交x軸于B、C兩點，交y軸于八，點M的縱坐標為2.B(-3J3,O),C(<3,O).(1)求OM的半徑；(2)若CE±AB于H,交y軸于F,求證：EH=FH.(3)在(2)的條件下求AF的長.【答案】(1)4；(2)見解析；(3)4.【解析】【分析】(1)過M作MT±BC于T連BM,由垂徑定理可求出BT的長，再由勾股定理即可求出BM的長；(2)連接AE,由圓周角定理可得出NAEC=NABC,再由AAS定理得出^AEHM△AFH,進而可得出結論；(3)先由(1)中4BMT的邊長確定出NBMT的度數，再由直角三角形的性質可求出CG的長，由平行四邊形的判定定理判斷出四邊形AFCG為平行四邊形，進而可求出答案.【詳解】（1）如圖（一），過M作MT±BC于T連BM,丁BC是。O的一條弦，MT是垂直于BC的直徑，1 —「?BT=TC=-BC=2<3,「?BM=,12+4=4；（2）如圖（二），連接AE,則NAEC=NABC,;CE±AB,「.NHBC+NBCH=90°在^COF中，「NOFC+NOCF=90°，「.NHBC=NOFC=NAFH，在^AEH和^AFH中，叱AFH=/AEH?.?</AHF=/AHE，AH=AH「.△AEH^△AFH（AAS），「.EH=FH；（3）由（1）易知，NBMT=NBAC=60°，作直徑BG，連CG，則NBGC=NBAC=60°，丁OO的半徑為4，「.CG=4，連AG，丁NBCG=90°，「.CG±x軸，「.CGIIAF，丁NBAG=90°，「.AG±AB，;CE±AB，「.AGIICE，???四邊形AFCG為平行四邊形，...AF=CG=4.【點睛】本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、直角三角形的性質及平行四邊形的判定與性質，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵.10.如圖，CD為。O的直徑，點B在。O上，連接BC、BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A,NAEO=NC,OE交BC于點F.（1）求證：OEIIBD；（2）當。O的半徑為5,sin/DBA=2時，求EF的長.21【答案】（1）證明見解析；（2）EF的長為方【解析】試題分析：（1）連接OB,利用已知條件和切線的性質證明；（2）根據銳角三角函數和相似三角形的性質，直接求解即可.試題解析：（1）連接OB,丁CD為OO的直徑，/CBD=ZCBO+ZOBD=90°.AE是OO的切線，ZABO=ZABD+ZOBD=90°.，ZABD=ZCBO.「OB、OC是OO的半徑，OB=OC.:.ZC=ZCBO.ZC=ZABD.ZE=ZC, ZE=ZABD.OEHBD.2 cnL BD2(2)由(1)可得sinzC=NDBA=-，在RtAOBE中，sinZC=---=-,OC=5,J JBD=4「.ZCBD=ZEBO=90°?ZE=ZC，?二△CBD-△EBO.BD_CDBO-EOEO二25「OEIIBD,CO=OD,11.如圖，在。O中，直徑AB，弦CD于點E,連接AC,BC,點F是BA延長線上的一點，且NFCA=ZB.(1)求證：CF是。O的切線； ⑵若AE=4,tanNACD=1，求AB和FC的長.CC【答案】(1)見解析;(2)⑵AB=20,CF=y【解析】分析：(1)連接OC,根據圓周角定理證明OC±CF即可；(2)通過正切值和圓周角定理，以及NFCA=NB求出CE、BE的長，即可得到AB長，然后根據直徑和半徑的關系求出OE的長，再根據兩角對應相等的兩三角形相似(或射影定理)證明AOCEs△CFE,即可根據相似三角形的對應線段成比例求解.詳解：⑴證明：連結OC丁AB是。O的直徑「.NACB=90°「.NB+NBAC=90°;OA=OC「.NBAC=NOCA;NB=NFCA「.NFCA+NOCA=90°即NOCF=90°丁C在。O上「.CF是。O的切線ECEC，、_ __AE1⑵?「AE=4,tanZACDAE=-EC2「.CE=8;直徑AB,弦CD于點E「?AD=AC丁ZFCA=ZB「.ZB=ZACD=ZFCA「.ZEOC=ZECA_ CE1「.tanZB=tanZACD= =—BE2「.BE=16「.AB=20「.OE=AB“-AE=6;CE±AB「.ZCEO=ZFCE=90°「.△OCE-△CFE,OC_OECF-CE「?CF二翌3點睛：此題主要考查了圓的綜合知識，關鍵是熟知圓周角定理和切線的判定與性質，結合相似三角形的判定與性質和解直角三角形的知識求解，利用數形結合和方程思想是解題的突破點，有一定的難度，是一道綜合性的題目.12.如圖，已知BC是。O的弦，A是。O外一點，AABC為正三角形，D為BC的中點，M為。O上一點，并且ZBMC=60°.（1）求證：AB是。O的切線；（2）若E,F分別是邊AB,AC上的兩個動點，且NEDF=120°,OO的半徑為2,試問BE+CF的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）證明見試題解析；（2）BE+CF的值是定值，為等邊^ABC邊長的一半.【解析】試題分析：（1）連結OB、OD,如圖1,由于D為BC的中點，由垂徑定理的推理得OD±BC,NBOD=NCOD,即可得到NBOD=NM=60°,則NOBD=30°,所以NABO=90°,于是得到AB是OO的切線；（2）作DM^AB于M,DN±AC于N,連結AD,如圖2,由4ABC為正三角形，D為BC的中點，得到AD平分NBAC,NBAC=60°,利用角平分線性質得DM=DN,得NMDN=120°,由NEDF=120°,得到NMDE=NNDF,于是有△DMEM△DNF,得至I」ME=NF,1 1 1得至1」BE+CF=BM+CN,由BM=-BD,CN=;yOC,得至UBE+CF=5BC,即可判斷BE+CF的值是定值，為等邊^ABC邊長的一半.試題解析：（1）連結OB、OD,如圖1,丁D為BC的中點，「.OD±BC,NBOD=NCOD,1 「.NODB=90°,VNBMC=-NBOC,，NBOD=NM=60°,，NOBD=30°,V△ABC為正三2角形，「.NABC=60°,「.NABO=60°+30°=90°,，AB±OB,，AB是0。的切線；BE+CF的值是為定值.作DMLAB于M,DN±AC于N,連結AD,如圖2,V△ABC為正三角形，D為BC的中點，」.AD平分/BAC,NBAC=60°,，DM=DN,NMDN=120°,VNEDF=120°,「.NMDE=NNDF,在△DME和^DNF中，VNDME=NDNF.DM=DN,NMDE=NNDF,「.△DME^△DNF,「.ME=NF,，BE+CF=BM-EM+CN+NF=BM+CN,在RSDMB中，1 1 1 1 1-NDBM=60,…BM=BD,同理可得CN=-OC,「.BE+CF=-OB+-OC=-BC,，BE+CF乙 乙 乙 乙 乙的值是定值，為等邊^ABC邊長的一半.

考點：1.切線的判定；2.等邊三角形的性質；3.定值問題；4.探究型；5.綜合題;6.壓軸題.13.如圖，在直角坐標系中，OM經過原點0（0，0），點A（u'6，0）與點B（0,—<2），點D在劣弧OA上，連結BD交x軸于點C,且NC0D=ZCB0.（1）求OM的半徑；（2）求證:BD平分NAB0；⑶在線段BD的延長線上找一點E,使得直線AE恰為OM的切線，求此時點E的坐標.【答案】（1）M的半徑r=J2；（2）證明見解析；（3）點E的坐標為（耳,<2）.【解析】試題分析：根據點A和點B的坐標得出0A和0B的長度，根據RtAA0B的勾股定理得出AB的長度，然后得出半徑；根據同弧所對的圓周角得出NABD=NCOD,然后結合已知條件得出角平分線；根據角平分線得出△ABEM△HBE,從而得出BH=BA=2J2，從而求出0H的長度，即點E的縱坐標，根據RSAOB的三角函數得出NABO的度數，從而得出NCBO的度數，然后根據Rt△HBE得出HE的長度，即點E的橫坐標.試題解析：（1）.??點A為（％：6,0）,_點B>為（0, 22）..0A=660B二-22???根據RSAOB的勾股定理可得：AB=2%.；2」.CM的半徑r=1AB=%'2.’ 2（2）根據同弧所對的圓周角相等可得：NABD=NCOD?「/COD=NCBO,NABD=NCBO」.BD平分/ABO（3）如圖，由（2）中的角平分線可得△ABE^△HBE」BH=BA=2,.,2」0H=24"—<2八①OAy在Rt△AOB中，OBv3」.n在Rt△AOB中，OBTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"- -BH 2<6 _g……&6 在RtAHBE中，HE=^~，點E的坐標為（，）\o"CurrentDocument"；3 3 3考點：勾股定理、角平分線的性質、圓的基本性質、三角函數.14.在平面直角坐標系中，已知點A（2,0）,點B（0,」\］：），點O（0,0）.△AOB繞著O順時針旋轉，得△A'OB',^A、B旋轉后的對應點為A',B',記旋轉角為a.\o"CurrentDocument"圖1 圖2（工）如圖1,A'B'恰好經過點A時，求此時旋轉角a的度數，并求出點B'的坐標；（口）如圖2,若0°<a<90°,設直線AA'和直線BB′交于點P,求證：AA'±BB'；（印）若0°<a<360°,求（口）中的點P縱坐標的最小值（直接寫出結果即可）.【答案】（工）a=60°,B'（3,，）；（口）見解析；（印）點P縱坐標的最小值為J：-2.【解析】【分析】（工）作輔助線，先根據點A（2,0）,點B（0八］：），確定NABO=30°,證明△AOA是等邊三角形，得旋轉角a=60°,證明△COB是30°的直角三角形，可得B的坐標；（口）依據旋轉的性質可得NBOB'=NAOA=a,OB=OB',OA=OA',即可得出NOBB=NOA'A1=.,（180°-a），再根據NBOA'=90°+a,四邊形OBQA的內角和為360°,即可得到NBPA'=90°,即AA±BB';1（印）作AB的中點M（1,「：），連接MP,依據點P的軌跡為以點M為圓心，以MP=AB=2為半徑的圓，即可得到當PMIIy軸時，點P縱坐標的最小值為-2.【詳解】解：（工）如圖1,過B彳作BC±x軸于C,

圖1;OA=2,OB=2、\nAOB=90°,「.NABO=30°,ZBAO=60°,由旋轉得：OA=OA',ZA'=ZBAO=60°,??.△OAA'是等邊三角形，「.a=ZAOA