第一講微積分第1頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月任課教師馬連榮Email:lrma@Tel:62796896(OM)辦公地點(diǎn)：荷二樓213房間第2頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微積分學(xué)教程

數(shù)學(xué)分析習(xí)題集高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題集蔡大用等譯參考書(shū)目第3頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月集合(set)常用的數(shù)集自然數(shù)集naturalnumber整數(shù)集integer有理數(shù)集rationalnumber實(shí)數(shù)集是實(shí)數(shù)};realnumber復(fù)數(shù)集complexnumber子集真子集空集區(qū)間(interval)鄰域去心鄰域第4頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用邏輯符號(hào)表示A蘊(yùn)含B.A是B的充分條件.若A成立，則B成立.B是A的必要條件.表示A與B等價(jià).A成立當(dāng)且僅當(dāng)B成立.A是B的充分必要條件.ForAll表示對(duì)于所有的x,P(x)都成立.表示對(duì)于所有的正數(shù)x,P(x)都成立.ThereExists表示存在x使得P(x)成立.表示能夠找到正數(shù)x使得P(x)成立.的否定的否定第5頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第1章函數(shù)函數(shù)的定義設(shè)X是一非空實(shí)數(shù)集。如果按照某種確定1.1函數(shù)概念函數(shù)用來(lái)描述變量變化過(guò)程中的相互依賴關(guān)系。關(guān)系f，對(duì)于每個(gè)，都有Y內(nèi)唯一的實(shí)數(shù)y與其對(duì)應(yīng)，則稱f為定義在D上的一個(gè)函數(shù)(function)。為函數(shù)的值域(range)。用數(shù)學(xué)記號(hào)表示為：稱X是函數(shù)的定義域(domain)，稱注意：不一定是Y，可以是Y的真子集！例1.1.1定義域值域[-1，1].第6頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.1.1定義域值域[-1，1].另一種表示方式:例1.1.2定義域值域[0，1].另一種表示方式:下面介紹幾個(gè)有趣并且在今后會(huì)用到的函數(shù)。例1.1.3兩種“取整”函數(shù)(1)符號(hào)表示小于或等于x的最大整數(shù)。，稱為地板(floor)函數(shù)，或者下取整函數(shù)。(2)符號(hào)表示大于或等于x的最小整數(shù)。是定義在上的一個(gè)函數(shù)，值域?yàn)椤Ｒ步?jīng)常寫(xiě)成第7頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.1.3兩種“取整”函數(shù)(2)符號(hào)表示大于或等于x的最小整數(shù)。(ceiling)函數(shù)，或者上取整函數(shù)。是定義在上的一個(gè)函數(shù)，值域?yàn)椋址Q為天花板地板函數(shù)圖像天花板函數(shù)圖像例1.1.4符號(hào)函數(shù)定義域值域{-1，0，1}第8頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.1.5Dirichlet函數(shù)定義域值域{0，1}例1.1.6Riemann函數(shù)定義域值域任意有理數(shù)都可以寫(xiě)成，其中，且例1.1.4圖像最后介紹兩個(gè)“不能作圖”的函數(shù)。第9頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.2函數(shù)的初等性質(zhì)1.2.1函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)定義在對(duì)稱區(qū)間或上，若對(duì)于任意，則稱是奇函數(shù)(oddfunction)。若對(duì)于任意，則稱是偶函數(shù)(evenfunction)。例1.2.1都定義在對(duì)稱區(qū)間I上。是奇函數(shù);是奇函數(shù),是偶函數(shù)，則是奇函數(shù);是偶函數(shù)。是偶函數(shù)。對(duì)于任意第10頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.2.2定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)。分別是例1.2.3數(shù)。因?yàn)閷?duì)于任意,函數(shù)是定義在上的奇函例1.2.4Dirichlet函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)。第11頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.2.2函數(shù)的單調(diào)性設(shè)是定義在區(qū)間X上的一個(gè)函數(shù)，若對(duì)于任意有，則稱是X上的單調(diào)增加函數(shù)(increasingfunction)。若對(duì)于任意有，則稱是X上的單調(diào)減少函數(shù)(decreasingfunction)。若有，則稱是X上的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)。若有，則稱是X上的嚴(yán)格單調(diào)減少函數(shù)。例1.2.5在上單調(diào)增加，在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少。第12頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.2.3函數(shù)的周期性例1.2.6若是以T為周期的周期函數(shù)，則是以為周期的周期函數(shù)。因?yàn)橐訲為周期，所以，即這就說(shuō)明以為周期。例1.2.7常函數(shù)但其沒(méi)有最小周期。例1.2.8Dirichlet函數(shù)但其沒(méi)有最小周期。是周期函數(shù)，是周期函數(shù)，對(duì)于函數(shù)，若存在正數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)任意x，有，則稱是周期函數(shù)(period的最小周期，簡(jiǎn)稱周期。function)。滿足的最小正數(shù)T稱為第13頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.2.4函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，如果存在正數(shù)M，上有界(bounded)。使得對(duì)任意，有，則稱在區(qū)間I函數(shù)在區(qū)間I上無(wú)界的描述：對(duì)于任意正數(shù)M，存在，使得。例1.2.9函數(shù)在上有界，因?yàn)榈呛瘮?shù)在上無(wú)界，這是因?yàn)閷?duì)于任意，存在第14頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于實(shí)數(shù)集的界：上、下界

設(shè)A是實(shí)數(shù)集，若存在數(shù)b使得對(duì)所有

都成立，則稱數(shù)集A有上界。實(shí)數(shù)b稱為A的一個(gè)上界(upperbound)；都成立，則稱數(shù)集A有下界。實(shí)數(shù)a稱為A的一個(gè)下界

若存在數(shù)a使得對(duì)所有(lowerbound)。

若數(shù)集A既有上界又有下界，則稱A有界。顯然，

A有界的充分必要條件是存在正數(shù)M，使得

對(duì)所有成立。確界

若數(shù)集A有上界，且A的上界中存在最小值，則稱為A的上確界(supremum)，記作sup(A)；若A有下界，且A的下界中存在最大值，則稱為A的下第15頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月確界存在公理非空數(shù)集若有上(下)界，則必有上(下)確界。確界與最值關(guān)系非空數(shù)集若有最大(小)值，則必有上(下)確界，但反之不然。確界(infimum)，記作inf(A)。若函數(shù)在區(qū)間I上有界，則是有界集，從而和都存在。但是，和不一定存在。例1.2.10函數(shù)在上有界。和都不存在。第16頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.3反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1.3.1反函數(shù)設(shè)，若對(duì)于任意存在唯一使得，則稱這種反對(duì)應(yīng)關(guān)系為f的反函數(shù)(inversefunction)，記作。反函數(shù)的定義域是f的值域，的值域是f的定義域。反函數(shù)存在的充分必要條件是，f在定義域X和值域Y之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。反函數(shù)與原函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。第17頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.3.1求的反函數(shù)。解：由得

又因?yàn)闀r(shí)，所以，的反函數(shù)是例1.3.2求的反函數(shù)。解：由

所以，(舍負(fù)項(xiàng))即因此的反函數(shù)是第18頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.3.2復(fù)合函數(shù)這個(gè)從X到Y(jié)的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)g與f的復(fù)合，記作例1.3.3。因此，可構(gòu)造復(fù)合函數(shù)的定義域是，的值域是設(shè)和是兩個(gè)函數(shù)，則對(duì)于任意存在唯一進(jìn)而存在唯一。即的定義域是第19頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.3.4設(shè)，則函數(shù)復(fù)合的運(yùn)算律判斷

VeryImportant!!交換律：

×

√結(jié)合律：

分配律：

×

√√×

第20頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)應(yīng)關(guān)系和反對(duì)應(yīng)關(guān)系示意圖：

第一講作業(yè)：P6.習(xí)題1.第7題