#第三講分類數(shù)據(jù)的檢驗一、引例十九世紀偉大的英國生物學(xué)家孟德爾(Mendel)按顏色與形狀把豌豆分為四類：黃而圓的，青而圓的，黃而有角的，青而有角的.按照遺傳學(xué)理論，孟德爾指出這四類豌豆的個數(shù)之比為9：3:3：1,也即豌豆為黃而圓的，青而圓的，黃而有角的，青而有角的概率分別為9/16,3/16,3/16,1/16?他通過觀察n=556個豌豆發(fā)現(xiàn)，這四類豌豆的個數(shù)分別為315,108，101,32。如何根據(jù)這些觀察數(shù)據(jù)對孟德爾的遺傳學(xué)理論進行檢驗？分析：總體為所有的豌豆，豌豆按顏色和形狀分為四類：A—黃而1圓的，A—青而圓的，A—黃而有角的，A—青而有角；34(2)每種豌豆的比率(概率)分別為：p=P(A)，p二P(A),1122p=P(A)，p二P(A)，但未知；344根據(jù)理論或經(jīng)驗提出假設(shè)：p=916，p二316,p=3'16，123p=116；'4)做試驗獲得觀察數(shù)據(jù)形狀圓的有角的顏色黃色315101青色108325)根據(jù)觀察數(shù)據(jù)檢驗如下假設(shè)：H:p=916,p二316，p=316,p=11601^234'若接受H，說明觀察數(shù)據(jù)符合孟德爾的遺傳學(xué)理論，也即說明孟0德爾的遺傳學(xué)理論正確；若拒絕H，說明觀察數(shù)據(jù)不符合孟德爾的遺傳學(xué)理論，也即說0明孟德爾的遺傳學(xué)理論不正確.二、分類數(shù)據(jù)檢驗問題的統(tǒng)計模型（一）問題的一般提法1、總體分布設(shè)總體根據(jù)某項指標分為n類，記為A,A，…,A，各類所占的比例TOC\o"1-5"\h\z12r記為p,p，…,p，其中p>0，Yp二1，但p未知?也即總體分布為:12riiii=1總體類別AA2…A比例pp2r2、假設(shè)檢驗TOC\o"1-5"\h\z根據(jù)理論，或從經(jīng)驗出發(fā)提出一個原假設(shè)：H:p=p，i=1,2,...,r（*）0ii0其中p，i=1,2,..?,r已知，且乞p=1。i0i0i=13、研究內(nèi)容對該總體獨立重復(fù)觀察n個個體，記n個個體中，屬于A的觀察i個數(shù)為n,i=1,2，…,r，其中有Yn=n，基于觀察值n，i=1,2，…,r對原iiii=1假設(shè)（*）進行檢驗.

二)檢驗方法1、咒2檢驗檢驗統(tǒng)計量y（y（n-np）2厶一ii0—npi0i=12)統(tǒng)計量的漸進分布若H若H成立，當nT+2時，0(3)拒絕域(給定檢驗水平a,X2=工一x2（r-1）i=1npi0一般取a=0.1,0.05,0.01）W={X2>X2(r-1)}1-a若X2eW，則在檢驗水平a下拒絕H；0若X2gW，則在檢驗水平a下接受H;0檢驗p值(給定檢驗水平a，一般取a=0.1,0.05,0.01)p=P(X2(r-1)>X2)若p<a，則在檢驗水平a下拒絕H；0若p>a，則在檢驗水平a下接受H；0注：x2檢驗采用近似分布進行檢驗，要求樣本容量大，一般n>50，np>5/i=1,2,…，r。i02、似然比檢驗隨機向量(n,n，…,n)~M(n,p,p，…,p)，即(n,n，…,n)的聯(lián)合分布12r12r12r列為:p（n,n，…，n;p,p，…，p）=12r12r樣本(n,n，…,n)的似然函數(shù)為:12rL(p,p，?…，p；n,n，?…，n)=PnP叫…pnr12r12rn!n!???n!12r12r檢驗問題(*)的似然比A=L(p10,p20,…,5；n1，n2，…,"丿SupL(p,p，?…，p;n,n，?…，n)...12r12rp1，p2，，prPn1Pn2Pnrn!n!??“!1020ro=1SuPPn1Pn2?…Pnr…n!n!???n!12rP1，P2，，Pr12rP0PUSuppnipn2pnr...12rP1，P2，，Pr注:參數(shù)p，p，…,p滿足工p=1，似然比可以寫為:12rii=1L(p，p，…,p;n，n，…,n)A=打90枸+2ISupL(p，p，?…，p;n，n，?…，n)...12r12rP1，P2，，prpn1p“2…珀aoSupp“1pn^..pnr-1(1-p-p—…p)"r12r-112r-1p1，p2，，pr-1求解Suppn1pn2?…pnr-1(1-p—pp)n”:...12r-11*「"P1，P2，，Pr-1i記Q(p，p，???，p)=pn1pn212r-112r-1???蝕(1-"Jp2-…J)nr=￡1ii=1lnQ(p,p,p)=5nlnp+nln(1-p-pp)12r-1r-1皿=o

dp1皿=o

dp皿=0dpr-1

TOC\o"1-5"\h\znn—1=rP1—p—pp112r—1nn=rP1—p—pp212r—1nnr—1=rp1—p—ppr—112r—1Ynnni.…=—r—=r==np1ppp1r—1rpii=1也即參數(shù)p也即參數(shù)p,p，…,p1一的最大似然估計為:則似然比人=p”lpU則似然比人=p”lpU2?…pn1n2'nfn)l萬丿=Hi=1(、np

——i0In丿i(1)檢驗統(tǒng)計量—2ln(A)=2》nln(人i=1'ln〃丿'p'—'p'—4ln/n丿I2(r—1)若H成立，當nT+s時,—2ln(A)=—22(r—1)0=1拒絕域(給定檢驗水平a，一般取a=0.1,0.05,0.01)W={—2ln(A)>x2(r—1)}1—a若-2ln(A)eW，則在檢驗水平a下拒絕H;0若-2ln(A)，則在檢驗水平a下接受H；0(4)檢驗p值(給定檢驗水平a，一般取a=0.1,0.05,0.01)

p=PC2(r—1)>—2ln(A))若p<?，則在檢驗水平a下拒絕H；0若p>a，則在檢驗水平a下接受H；0三、引例分析(1)記號A：黃而圓的，A：青而圓的，A：黃而有角的，A:青而1234有角；p=P(A)，p=P(A)，p=P(A)，p=P(A)；11223344n：黃而圓的豌豆個數(shù)，n：青而圓的豌豆個數(shù)，n：黃123而有角的豌豆個數(shù)，n：青而有角的豌豆個數(shù)；4觀察數(shù)據(jù)n=315，n=108,n=101，n=32，n=n+n+n+n=556；12341234原假設(shè)：H:p=916，p=316，p=316，p=1/1601’234■(4)咒2檢驗類別pi0ninpi0(n-np)2—ii0—npi0Al0.5625315312.750。01618705A20。1875108104。250。134892086A30.1875101104。250。101318945A40。06253234.750.217625899合計15565560.470023981

自由度r-13X20.470023981P值0。925425895檢驗p值為0。925425895，表明不能拒絕H，即認為孟德爾的遺傳0學(xué)理論是正確的。5）似然比檢驗類別pi0nin/nlP—i0-n/nrp)2nln—'In〃丿IA10。56253150。5665467630.9928571434.516148372A20。18751080。1942446040.9652777787.633303152A30.18751010。1816546761.032178218-6.397611