第一章邏輯代數基礎1第1頁，課件共85頁，創作于2023年2月§1.1數字電路的基礎知識1.1.1數字信號和模擬信號電子電路中的信號模擬信號數字信號隨時間連續的信號時間和幅度都是離散的例：正弦波信號、鋸齒波信號等。例：產品數量的統計、數字表盤的讀數、數字電路信號等。2第2頁，課件共85頁，創作于2023年2月模擬信號tV(t)tV(t)數字信號高電平低電平上升沿下降沿3第3頁，課件共85頁，創作于2023年2月模擬電路主要研究：輸入、輸出信號間的大小、相位、失真等方面的關系。主要采用電路分析方法，動態性能用微變等效電路分析。在模擬電路中，晶體管一般工作在線性放大區；在數字電路中，三極管工作在開關狀態，即工作在飽和區和截止區。數字電路主要研究：電路輸出、輸入間的邏輯關系。主要的工具是邏輯代數，電路的功能用真值表、邏輯表達式及波形圖表示。模擬電路與數字電路比較1.電路的特點2.研究的內容4第4頁，課件共85頁，創作于2023年2月模擬電路研究的問題基本電路元件:基本模擬電路:晶體三極管場效應管集成運算放大器信號放大及運算(信號放大、功率放大）信號處理（采樣保持、電壓比較、有源濾波）信號發生（正弦波發生器、三角波發生器、…）5第5頁，課件共85頁，創作于2023年2月數字電路研究的問題基本電路元件基本數字電路邏輯門電路觸發器

組合邏輯電路時序電路（寄存器、計數器、脈沖發生器、脈沖整形電路）A/D轉換器、D/A轉換器6第6頁，課件共85頁，創作于2023年2月1.1.2數制一、十進制：以十為基數的記數體制。表示數的十個數碼：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0遵循逢十進一的規律。157=一個十進制數數N可以表示成：若在數字電路中采用十進制，必須要有十個電路狀態與十個記數碼相對應。這樣將在技術上帶來許多困難，而且很不經濟。7第7頁，課件共85頁，創作于2023年2月二、二進制：以二為基數的記數體制。表示數的兩個數碼：0、1遵循逢二進一的規律。（1001）B==(9)D二進制的優點：用電路的兩個狀態---開關來表示二進制數，數碼的存儲和傳輸簡單、可靠。二進制的缺點：位數較多，使用不便；不合人們的習慣，輸入時將十進制轉換成二進制，運算結果輸出時再轉換成十進制數。8第8頁，課件共85頁，創作于2023年2月三、十六進制和八進制十六進制記數碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)(4E6)H=4162+14161+6160=(1254)D(F)H(1111)B說明：十六進制的一位對應二進制的四位。1.十六進制與二進制之間的轉換。Hexadecimal：十六進制的Decimal：十進制的Binary：二進制的9第9頁，課件共85頁，創作于2023年2月(0101

1001)B=[027+126+025+124+123+022+021+120]D=[(023+122+021+120)161+(123+022+021+120)160]D=(59)H每四位2進制數對應一位16進制數(10011100101101001000)B=從末位開始四位一組(1001

1100

1011

0100

1000)B()H84BC9=(9CB48)H10第10頁，課件共85頁，創作于2023年2月2.八進制與二進制之間的轉換。(10011100101101001000)O=從末位開始三位一組(10011

100101101001

000)B

()O01554=(2345510)O32八進制記數碼：0、1、2、3、4、5、6、7(7)O(111)B說明：八進制的一位對應二進制的三位。11第11頁，課件共85頁，創作于2023年2月四、十進制與二進制之間的轉換兩邊除2，余第0位K0商兩邊除2，余第1位K1十進制與二進制之間的轉換方法：可以用二除十進制數，余數是二進制數的第0位K0，然后依次用二除所得的商，余數依次是第1位K1、第2位K2、……。……12第12頁，課件共85頁，創作于2023年2月225余1

K0122余0

K162余0

K232余1

K312余1

K40例：十進制數25轉換成二進制數的轉換過程：(25)D=(11001)B13第13頁，課件共85頁，創作于2023年2月小數部分：十進制與二進制之間的轉換方法：可以用二除十進制數，余數是二進制數的第0位K0，然后依次用二除所得的商，余數依次是第1位K1、第2位K2、……。14第14頁，課件共85頁，創作于2023年2月1.1.3二進制碼數字系統的信息數值文字符號二進制代碼編碼為了表示字符為了分別表示N個字符，所需的二進制數的最小位數：編碼可以有多種，數字電路中所用的主要是二–十進制碼（BCD-Binary-Coded-Decimal碼）。15第15頁，課件共85頁，創作于2023年2月BCD碼用四位二進制數表示0~9十個數碼。四位二進制數最多可以表示16個字符，因此，從16種表示中選十個來表示0~9十個字符，可以有多種情況。不同的表示法便形成了一種編碼。這里主要介紹：8421碼5421碼余3碼2421碼首先以十進制數為例，介紹權重的概念。(3256)D=3103+2102+5101+6100個位(D0)的權重為100，十位(D1)的權重為101，百位(D2)的權重為102，千位(D3)的權重為103……16第16頁，課件共85頁，創作于2023年2月十進制數(N)D二進制編碼(K3K2K1K0)B(N)D=W3K3+W2K2+W1K1+W0K0W3~W0為二進制各位的權重8421碼，就是指W3=8、W3=4、W3=2、W3=1。用四位二進制數表示0~9十個數碼，該四位二進制數的每一位也有權重。2421碼，就是指W3=2、W3=4、W3=2、W3=1。5421碼，就是指W3=5、W3=4、W3=2、W3=1。17第17頁，課件共85頁，創作于2023年2月000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二進制數自然碼8421碼2421碼5421碼余三碼18第18頁，課件共85頁，創作于2023年2月二進制中的運算：加法：逢二進一1001＋010111101001＋0101＝1110減法：借一當二1001－0101＝01001001－0101010019第19頁，課件共85頁，創作于2023年2月乘法：100101011001100110110110010101=101101除法：10010101=1.110…10010101101011000.101010110101010100020第20頁，課件共85頁，創作于2023年2月二進制數的原碼和補碼在數字電路中，二進制的正負用0和1表示。原碼：定點運算時，最高位為符號位，0表示正數，1表示負數。在二進制數運算時，兩數相減是用它們的補碼相加完成的。21第21頁，課件共85頁，創作于2023年2月補碼：正數的補碼與原碼相同；負數的補碼為將原碼逐位取反后加1。最高位為符號位；（1001）2－（0101）2＝＋1001＝01001－0101＝1（（1010）＋1）＝1101101001＋11011＝00100減法：補碼相加；乘法：移位與加法；除法：移位與減法；22第22頁，課件共85頁，創作于2023年2月基本邏輯關系：與(and)、或(or)非(not)。§1.2基本邏輯關系一、“與”邏輯與邏輯：決定事件發生的各條件中，所有條件都具備，事件才會發生（成立）。規定:

開關合為邏輯“1”開關斷為邏輯“0”燈亮為邏輯“1”燈滅為邏輯“0”EFABC23第23頁，課件共85頁，創作于2023年2月&ABCF邏輯符號：AFBC00001000010011000010101001101111邏輯式：F=A?B?C邏輯乘法邏輯與真值表EFABC真值表特點:任0則0,全1則1與邏輯運算規則：0?0=00?1=01?0=01?1=124第24頁，課件共85頁，創作于2023年2月二、“或”邏輯AEFBC或邏輯：決定事件發生的各條件中，有一個或一個以上的條件具備，事件就會發生（成立）。規定:

開關合為邏輯“1”開關斷為邏輯“0”燈亮為邏輯“1”燈滅為邏輯“0”25第25頁，課件共85頁，創作于2023年2月AFBC00001001010111010011101101111111真值表1ABCF邏輯符號：邏輯式：F=A+B+C邏輯加法邏輯或AEFBC真值表特點：

任1則1,全0則0。或邏輯運算規則:0+0=00+1=11+0=11+1=126第26頁，課件共85頁，創作于2023年2月三、“非”邏輯“非”邏輯：決定事件發生的條件只有一個，條件不具備時事件發生（成立），條件具備時事件不發生。規定:

開關合為邏輯“1”開關斷為邏輯“0”燈亮為邏輯“1”燈滅為邏輯“0”AEFR27第27頁，課件共85頁，創作于2023年2月邏輯符號：邏輯非邏輯反AF0110真值表AEFR真值表特點:1則0,0則1。邏輯式：運算規則：AF128第28頁，課件共85頁，創作于2023年2月四、幾種常用的邏輯關系邏輯“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯關系，任何其它的邏輯關系都可以以它們為基礎表示。與非：條件A、B、C都具備，則F不發生。&ABCF其他幾種常用的邏輯關系如下表：29第29頁，課件共85頁，創作于2023年2月或非：條件A、B、C任一具備，則F不發生。1ABCF異或：條件A、B有一個具備，另一個不具備則F發生。=1ABF同或：條件A、B相同，則F發生。=ABF30第30頁，課件共85頁，創作于2023年2月基本邏輯關系小結邏輯符號表示式與&ABYABY≥1或非1YAY=ABY=A+B與非&ABY或非ABY≥1異或=1ABYY=A

B31第31頁，課件共85頁，創作于2023年2月§1.3邏輯代數及運算規則數字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關系，所以數字電路又稱邏輯電路，相應的研究工具是邏輯代數（布爾代數）。在邏輯代數中，邏輯函數的變量只能取兩個值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義。0和1表示兩個對立的邏輯狀態。例如：電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開關的開合等。32第32頁，課件共85頁，創作于2023年2月1.3.1邏輯代數的基本運算規則或運算規則:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1與運算規則:0?0=00?1=01?0=01?1=1非運算規則:33第33頁，課件共85頁，創作于2023年2月1.3.2邏輯代數的運算規律一、交換律二、結合律三、分配律A+B=B+AA?B=B?AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA?(B?C)=(A?B)?CA(B+C)=A?B+A?CA+B?C=(A+B)(A+C)普通代數不適用!34第34頁，課件共85頁，創作于2023年2月求證:（分配律第2條）A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;結合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;結合律=A?1+BC;1+B+C=1=A+BC;A?1=1=左邊35第35頁，課件共85頁，創作于2023年2月四、吸收規則1.原變量的吸收：A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A利用運算規則可以對邏輯式進行化簡。例如：被吸收吸收是指吸收多余（冗余）項，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。長中含短，留下短。36第36頁，課件共85頁，創作于2023年2月2.反變量的吸收：證明：例如：被吸收長中含反，去掉反。37第37頁，課件共85頁，創作于2023年2月3.混合變量的吸收：證明：例如：1吸收正負相對，余全完。38第38頁，課件共85頁，創作于2023年2月五、反演定理可以用列真值表的方法證明：德?摩根(De

?Morgan)定理：39第39頁，課件共85頁，創作于2023年2月推廣——反演定理：將函數式F中所有的?++?變量與常數均取反（求反運算）互補運算1.運算順序：先括號再乘法后加法。2.不是一個變量上的反號不動。注意:用處：實現互補運算（求反運算）。新表達式：F*顯然：(變換時，原函數運算的先后順序不變)40第40頁，課件共85頁，創作于2023年2月例1：與或式注意括號注意括號

41第41頁，課件共85頁，創作于2023年2月例2：與或式反號不動反號不動

42第42頁，課件共85頁，創作于2023年2月(三)對偶定理注意：變換過程必須遵循先“與”后“或”的順序?＋10原函數對偶函數例：當某個邏輯恒等式成立時，則其對偶式也成立43第43頁，課件共85頁，創作于2023年2月若兩個邏輯式相等，其對偶式也相等。對偶定理：對偶式為：對偶式為：44第44頁，課件共85頁，創作于2023年2月§1.4邏輯函數的表示法四種表示方法邏輯代數式

(邏輯表示式,邏輯函數式)11&&≥1ABY邏輯電路圖:卡諾圖n個輸入變量種組合。真值表：將邏輯函數輸入變量取值的不同組合與所對應的輸出變量值用列表的方式一一對應列出的表格。45第45頁，課件共85頁，創作于2023年2月將輸入、輸出的所有可能狀態一一對應地列出。n個變量可以有2n個輸入狀態。1.4.1真值表列真值表的方法：一般按二進制的順序，輸出與輸入狀態一一對應，列出所有可能的狀態。例如：46第46頁，課件共85頁，創作于2023年2月1.4.2邏輯函數式邏輯代數式：把邏輯函數的輸入、輸出關系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式。也稱為邏輯函數式，通常采用“與或”的形式。例：下面介紹兩個重要概念——最小項和邏輯相鄰。47第47頁，課件共85頁，創作于2023年2月最小項：構成邏輯函數的基本單元。對應于輸入變量的每一種組合。以三變量的邏輯函數為例：變量賦值為1時用該變量表示；變量賦值為0時用該變量的反來表示。可見輸入變量的八種狀態分別唯一地對應著八個最小項。48第48頁，課件共85頁，創作于2023年2月(1)若表達式中的乘積包含了所有變量的原變量或反變量，則這一項稱為最小項。最小項的特點：(2)當輸入變量的賦值使某一個最小項等于1時，其他的最小項均等于0。49第49頁，課件共85頁，創作于2023年2月之所以稱之為最小項，是因為該項已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。例如：對于三變量的邏輯函數，如果某一項的變量數少于3個，則該項可繼續分解；若變量數等于3個，則該項不能繼續分解。50第50頁，課件共85頁，創作于2023年2月根據最小項的特點，從真值表可直接用最小項寫出邏輯函數式。例如：由左圖所示三變量邏輯函數的真值表，可寫出其邏輯函數式：驗證：將八種輸入狀態代入該表示式，均滿足真值表中所列出的對應的輸出狀態。51第51頁，課件共85頁，創作于2023年2月最大項：在n個變量的邏輯函數中，若M為n個變量之和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現一次，則稱M為該組變量的最大項，用M表示。三變量A、B、C的最大項有8項：n變量有最大項2n個。最大項的編號：原變量：0反變量：1編號0：000編號4：10052第52頁，課件共85頁，創作于2023年2月最大項與最小項關系：任一函數均可表示成最小項之和與最大項之積的形式。例：53第53頁，課件共85頁，創作于2023年2月例：54第54頁，課件共85頁，創作于2023年2月邏輯相鄰：若兩個最小項只有一個變量以原、反區別，其他變量均相同，則稱這兩個最小項邏輯相鄰。55第55頁，課件共85頁，創作于2023年2月邏輯相鄰邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子56第56頁，課件共85頁，創作于2023年2月1.4.3卡諾圖卡諾圖的構成：用幾何相鄰形象地表示變量各個最小項在邏輯上的相鄰性。幾何相鄰：相接：相對：相重：緊挨著；任一行或任一列的兩頭；對折起來后位置重合。57第57頁，課件共85頁，創作于2023年2月最小項：輸入變量的每一種組合。ABY001011101110AB01010111輸出變量Y的值輸入變量例1：二輸入變量卡諾圖卡諾圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組合，并且把對應的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。58第58頁，課件共85頁，創作于2023年2月邏輯相鄰：相鄰單元輸入變量的取值只能有一位不同。0100011110

ABC00000111輸入變量輸出變量Y的值ABCY00000010010001101000101111011111例2：三輸入變量卡諾圖注意：00與10邏輯相鄰。59第59頁，課件共85頁，創作于2023年2月00011110ABCD00011110110110X10X011101四變量卡諾圖編號為0010單元對應于最小項：ABCD=0100時函數取值函數取0、1均可，稱為無關項。只有一項不同例3：四輸入變量卡諾圖60第60頁，課件共85頁，創作于2023年2月有時為了方便，用二進制對應的十進制表示單元格的編號。單元格的值用函數式表示。F(A,B,C)=(m1,m2,m4,m7)1,2,4,7單元取1，其它取0ABC編號00000011010201131004101511061117ABC0001111001m0m1m4m5m3m7m2m661第61頁，課件共85頁，創作于2023年2月四變量卡諾圖元格的編號:m0

m1m3m2ABCD0001111000011110m4

m5m7m6m12

m13m15m14m8

m9m11m1062第62頁，課件共85頁，創作于2023年2月1.4.4邏輯圖把相應的邏輯關系用邏輯符號和連線表示出來，就構成了邏輯圖。&AB&CD1FF=AB+CD63第63頁，課件共85頁，創作于2023年2月1.4.5邏輯函數四種表示方式的相互轉換一、邏輯電路圖

邏輯代數式BABY=AB+ABABA1&AB&1≥164第64頁，課件共85頁，創作于2023年2月

二、真值表

卡諾圖ABY001011101110二變量卡諾圖真值表AB1010111065第65頁，課件共85頁，創作于2023年2月三、真值表、卡諾圖

邏輯代數式方法：將真值表或卡諾圖中為1的項相加，寫成“與或式”。

真值表

ABY001011101110AB01010111AB此邏輯代數式并非是最簡單的形式，實際上此真值表是與非門的真值表，其邏輯代數式為Y=AB因此，有一個化簡問題。ABAB66第66頁，課件共85頁，創作于2023年2月§1.5邏輯函數的化簡1.5.1利用邏輯代數的基本公式例1：反變量吸收提出AB=1提出A最簡與或式乘積項的項數最少。每個乘積項中變量個數最少。67第67頁，課件共85頁，創作于2023年2月例2：反演配項被吸收被吸收68第68頁，課件共85頁，創作于2023年2月結論：異或門可以用4個與非門實現。例3:證明;AB=A+B;展開69第69頁，課件共85頁，創作于2023年2月異或門可以用4個與非門實現：&&&&ABY70第70頁，課件共85頁，創作于2023年2月例4：化簡為最簡邏輯代數式71第71頁，課件共85頁，創作于2023年2月例5：將Y化簡為最簡邏輯代數式。;利用反演定理;利用公式A+AB=A+B；A=A72第72頁，課件共85頁，創作于2023年2月1.5.2利用卡諾圖化簡ABC0001111001該方框中邏輯函數的取值與變量A無關，當B=1、C=1時取“1”。73第73頁，課件共85頁，創作于2023年2月ABC0001111001ABBCF=AB+BC化簡過程：卡諾圖適用于輸入變量為3、4個的邏輯代數式的化簡；化簡過程比公式法簡單直觀。74第74頁，課件共85頁，創作于2023年2月利用卡諾圖化簡的規則1.相鄰單元的個數是2n個，并組成矩形時，可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD000111100001111075第75頁，課件共85頁，創作于2023年2月4.每一個組合中的公因子構成一個“與”項，然后將所有“與”項相加，得最簡“與或”表示式。2.先找面積盡量大的組合進行化簡，利用吸收規則，2n個相鄰單元合并