引例求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．第9講矩陣的初等變換一

線性方程組的初等變換9/3/20231河北科大理學(xué)院引例求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．第9講解9/3/20232河北科大理學(xué)院解8/2/20232河北科大理學(xué)院用“回代”的方法求出解：9/3/20233河北科大理學(xué)院用“回代”的方法求出解：8/2/20233河北科大理學(xué)院于是解得（2）9/3/20234河北科大理學(xué)院于是解得（2）8/2/20234河北科大理學(xué)院小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）9/3/20235河北科大理學(xué)院小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．9/3/20236河北科大理學(xué)院3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．9/3/20237河北科大理學(xué)院因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二矩陣的初等變換9/3/20238河北科大理學(xué)院定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二矩陣的初等變換8

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.elementarytransformation9/3/20239河北科大理學(xué)院初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．等價關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價．例如，兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價9/3/202310河北科大理學(xué)院等價關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價．例如，兩個線用矩陣的初等行變換解方程組（1）：9/3/202311河北科大理學(xué)院用矩陣的初等行變換解方程組（1）：8/2/202311河北9/3/202312河北科大理學(xué)院8/2/202312河北科大理學(xué)院9/3/202313河北科大理學(xué)院8/2/202313河北科大理學(xué)院9/3/202314河北科大理學(xué)院8/2/202314河北科大理學(xué)院特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．9/3/202315河北科大理學(xué)院特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．9/3/202316河北科大理學(xué)院注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也例如，9/3/202317河北科大理學(xué)院例如，8/2/202317河北科大理學(xué)院特點：所有與矩陣

等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個等價類中最簡單的矩陣.9/3/202318河北科大理學(xué)院特點：所有與矩陣等價的矩陣組成的一個集合，稱(2)的充分必要條件是存在n階可逆陣Q，AB~c(3)

的充分必要條件是存在m階可逆陣P三初等變換的基本性質(zhì)及n階可逆陣Q,使得(1)的充分必要條件是存在m階可逆陣P，~rAB定理1

設(shè)A與B為矩陣，使得使得推論方陣A可逆的充分必要條件是AE~r9/3/202319河北科大理學(xué)院(2)的充分必要條件是存在n階可如果A經(jīng)一系列初等行變換變?yōu)锽，則有可逆矩陣P使得那么，如何求出可逆矩陣P?如果對（A,E）作初等變換，那么，當(dāng)A變成B是，E就變成了P，也就是可逆陣P。9/3/202320河北科大理學(xué)院如果A經(jīng)一系列初等行變換變?yōu)锽，則有可逆矩陣P使得那么，如何

解例１四

利用初等變換求逆矩陣及相關(guān)問題9/3/202321河北科大理學(xué)院解例１四利用初等變換求逆矩陣及相關(guān)問題8/2/202329/3/202322河北科大理學(xué)院8/2/202322河北科大理學(xué)院即初等行變換9/3/202323河北科大理學(xué)院即初等行變換8/2/202323河北科大理學(xué)院例２解9/3/202324河北科大理學(xué)院例２解8/2/202324河北科大理學(xué)院9/3/202325河北科大理學(xué)院8/2/202325河北科大理學(xué)院9/3/202326河北科大理學(xué)院8/2/202326河北科大理學(xué)院列變換列變換9/3/202327河北科大理學(xué)院列變換列變換8/2/202327河北科大理學(xué)院解例39/3/202328河北科大理學(xué)院解例38/2/202328河北科大理學(xué)院9/3/202329河北科大理學(xué)院8/2/202329河北科大理學(xué)院9/3/202330河北科大理學(xué)院8/2/202330河北科大理學(xué)院四

利用初等變換求逆矩陣及相關(guān)問題例1

設(shè)求~r?

9/3/202331河北科大理學(xué)院四利用初等變換求逆矩陣及相關(guān)問題例1設(shè)~r例2

設(shè)的行最簡形為F，求F,并求一個可逆陣P，使得PA=F?PA=F(行最簡形),

9/3/202332河北科大理學(xué)院~r例2設(shè)注

對于矩陣方程只需轉(zhuǎn)置:例3

解矩陣方程AX=B,

其中~r的解.例4

設(shè)求線性方程組AX=B，X?

9/3/202333河北科大理學(xué)院注對于矩陣方程只需轉(zhuǎn)置:例3解矩陣方程AX=B,其中~一矩陣秩的定義第10講矩陣的秩9/3/202334河北科大理學(xué)院一矩陣秩的定義第10講矩陣的秩8/2/202334河北9/3/202335河北科大理學(xué)院8/2/202335河北科大理學(xué)院例5.1解9/3/202336河北科大理學(xué)院例5.1解8/2/202336河北科大理學(xué)院例5.2解9/3/202337河北科大理學(xué)院例5.2解8/2/202337河北科大理學(xué)院例5.3解計算A的3階子式，9/3/202338河北科大理學(xué)院例5.3解計算A的3階子式，8/2/202338河北科大理學(xué)另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡單！9/3/202339河北科大理學(xué)院另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡單！8/2/202339定理3

若則推論若P、Q可逆，則R(PAQ)=R(A)例6

設(shè)A為矩陣,R(A)=2,求R(AB).二初等變換法求矩陣的秩9/3/202340河北科大理學(xué)院定理3若則推論若P、Q可逆，則R(PAQ)初等變換法:

用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣,則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例7

求矩陣的秩.例8

設(shè)已知R(A)=2，求及9/3/202341河北科大理學(xué)院初等變換法:用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣,例7求初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例7解9/3/202342河北科大理學(xué)院初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變9/3/202343河北科大理學(xué)院8/2/202343河北科大理學(xué)院9/3/202344河北科大理學(xué)院8/2/202344河北科大理學(xué)院9/3/202345河北科大理學(xué)院8/2/202345河北科大理學(xué)院由階梯形矩陣有三個非零行可知9/3/202346河北科大理學(xué)院由階梯形矩陣有三個非零行可知8/2/202346河北科大理學(xué)9/3/202347河北科大理學(xué)院8/2/202347河北科大理學(xué)院則這個子式便是的一個最高階非零子式.9/3/202348河北科大理學(xué)院則這個子式便是的一個最高階非零子式.8/2/2029/3/202349河北科大理學(xué)院8/2/202349河北科大理學(xué)院三常用的矩陣秩不等式

當(dāng)時，

例9

設(shè)A為n階矩陣，證明例10

設(shè)且則列滿秩以后陸續(xù)證明9/3/202350河北科大理學(xué)院三常用的矩陣秩不等式當(dāng)對于線性方程組Ax=b,(1)當(dāng)時,方程組無解;(2)當(dāng)時,方程組有解;時,有無限多個解.且時,有唯一解,第11講線性方程組的解相容不相容特解通解不妨設(shè)R(A)=r.的行最簡形為9/3/202351河北科大理學(xué)院對于線性方程組Ax=b,(1)當(dāng)時,方程組無解重要定理定理1

如果線性方程組的系數(shù)行列式則一定有解,且解是唯一的.定理2

如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.定理3如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組沒有非零解.定理4如果齊次線性方程組

有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.9/3/202352河北科大理學(xué)院重要定理定理1如果線性方程組的系數(shù)行列式(1)無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b);一線性方程組解的判別定理定理4

n元線性方程組Ax=b(2)有惟一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n.(或：有解的充分必要條件是R(A)=R(A,b))推論1Ax=0有非零解的充分必要條件是R(A)<n

推論2AX=B有解的充分必要條件是R(A)=R(A,B)例11證明9/3/202353河北科大理學(xué)院(1)無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b);一線性例12求解齊次線性方程組解二求解線性方程組

9/3/202354河北科大理學(xué)院例12求解齊次線性方程組解二求解線性方程組

8/2/即得與原方程組同解的方程組9/3/202355河北科大理學(xué)院即得與原方程組同解的方程組8/2/202355河北科大理學(xué)院由此即得9/3/202356河北科大理學(xué)院由此即得8/2/202356河北科大理學(xué)院例13求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無解．9/3/202357河北科大理學(xué)院例13求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，例14求解非齊次方程組的通解解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換9/3/202358河北科大理學(xué)院例14求解非齊次方程組的通解解對增廣矩陣B進(jìn)行故方程組有解，且有9/3/202359河北科大理學(xué)院故方程組有解，且有8/2/202359河北科大理學(xué)院所以方程組的通解為9/3/202360河北科大理學(xué)院所以方程組的通解為8/2/202360河北科大理學(xué)院例15

解證對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，