/專題24定點定長構造輔助圓1．如圖，已知，，，則的度數為A． B． C． D．【解答】解：如圖，，點、、在以點為圓心，以的長為半徑的圓上；，，，，而，，故選：．2．如圖，在四邊形中，，則的大小是A． B． C． D．【解答】解：由，，則可添加輔助圓，有，故選：．3．如圖，在矩形中，已知，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，作點關于直線的對稱點，則線段的最小值為A．2 B． C．3 D．【解答】解：連接，點和關于對稱，，在以圓心，3為半徑的圓上，當，，三點共線時，最短，，，，故選：．4．如圖，正方形中，為中點，，，交于，則的度數為A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接、．，，，，，是等邊三角形，，點是的外接圓的圓心，，四邊形是正方形，，，，，，，．解法二：連接．易知，故選：．5．如圖，已知等邊的邊長為8，以為直徑的圓交于點．以為圓心，長為半徑作圖，是上一動點，為的中點，當最大時，的長為A． B． C． D．12【解答】解：點在上運動時，點在以為圓心的圓上運動，要使最大，則過，連接，是等邊三角形，是直徑，，是的中點，為的中點，為的中位線，，，，，故，故選：．二．填空題（共6小題）6．如圖，點，的坐標分別為，，為坐標平面內一點，，點為線段的中點，連接，的最大值為．【解答】解：為坐標平面內一點，，點的運動軌跡是在半徑為2的上，如圖，取，連接，點為線段的中點，是的中位線，，最大值時，取最大值，此時、、三點共線，此時在中，，，的最大值是．故答案為：．7．如圖，四邊形中，，且，若，則，．【解答】解：，點，，在以為圓心的圓上，，，，，，．故答案為：，．8．如圖所示，，，則．【解答】解：，、、三點在以點為圓心，以為半徑的圓上．，．故答案為：．9．如圖，四邊形中，、分別是，的中垂線，，，則，．【解答】解：連接，、分別是、的中垂線，，、、在以為圓心，為半徑的圓上，，，，，，，又，．故答案為：，．10．如圖，，如果是的倍，那么是的倍．【解答】解：，點、、在以為圓心的圓上，，，，，故答案為：11．如圖，矩形中，，，是直線上的一個動點，，沿翻折形成，連接、，則的最小值是，點到線段的最短距離是．【解答】解：連接，作于，，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，在中，由勾股定理得，，的最小值為，，四邊形是矩形，，點到線段的最短距離是2，故答案為：，2．三．解答題（共9小題）12．如圖，在中，，過點作，，連接交于點．是的中點，連接交于．（1）若，求的度數；（2）若，且，求四邊形的面積．【解答】解：（1）如圖1中，，，，，是等邊三角形，，，、、三點在上，．（2）如圖2中，連接．，，，，垂直平分，，設，則，，，，，，，在中，，，，．13．如圖，，，，求的度數．【解答】解：，，，在以為圓心，為半徑的圓上，，，，，．14．圓的定義：在同一平面內，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形．（1）已知：如圖1，，請利用圓規畫出過、．三點的圓．若，則．如圖，中，，，．（2）已知，如圖2．點為邊的中點，將沿方向平移2個單位長度，點、、的對應點分別為點、、，求四邊形的面積和的大小．（3）如圖3，將邊沿方向平移個單位至，是否存在這樣的，使得直線上有一點，滿足且此時四邊形的面積最大？若存在，求出四邊形面積的最大值及平移距離，若不存在，說明理由．【解答】（1）以為圓心，為半徑作輔助圓，如圖，，，，故答案為．（2）連接，，如圖，，中，，，．，，．為斜邊中點，，線段平移到之后，，，四邊形為菱形，，，，且，四邊形為直角梯形，，（3）如圖所示，當邊沿方向平移2個單位至時，滿足且此時四邊形的面積最大，此時直角梯形的最大面積為，．15．在中，，，、分別平分和，求證：．【解答】解：連接，取中點，連接，，，，、分別平分和，，，在和中，，分別是斜邊的中線，，，，、、、四點在以為圓心，為半徑的圓上，，是等腰直角三角形，．16．如圖，在中，，垂直平分，且，連接（1）求證：；（2）設交于點，若是等腰三角形，求的度數．【解答】解：（1）證明：作的外接圓，延長交圓于點，連接、，如圖所示，則有．垂直平分，，，，是等邊三角形，．，，點為所作圓的圓心，．（2）①若，則．，．，，．，，解得：②若，同理可得：．③，此時與重合，則與重合，不符合題意，故舍去．綜上所述：當是等腰三角形時，的度數為或．17．【閱讀】輔助線是幾何解題中溝通條件與結論的橋梁．在眾多類型的輔助線中，輔助圓作為一條曲線型輔助線，顯得獨特而隱蔽．性質：如圖①，若，則點在經過，，三點的圓上．【問題解決】運用上述材料中的信息解決以下問題：（1）如圖②，已知．求證：．（2）如圖③，點，位于直線兩側．用尺規在直線上作出點，使得．（要求：要有畫圖痕跡，不用寫畫法）（3）如圖④，在四邊形中，，，點在的延長線上，連接，．求證：是外接圓的切線．【解答】解：（1）如圖②，由，可知點，，在以為圓心，為半徑的圓上．所以，．（2）如圖③，點，就是所要求作的點．（3）如圖④，取的中點為圓心，為直徑作圓，則是的外接圓；由，可得點在的外接圓上．．，．，．．即．是外接圓的切線．18．在中，，，，分別是邊，的中點，若等腰繞點逆時針旋轉，得到等腰△，設旋轉角為，記直線與的交點為．（1）如圖1，當時，線段的長等于，線段的長等于；（直接填寫結果）（2）如圖2，當時，求證：，且；（3）求點到所在直線的距離的最大值．（直接寫出結果）【解答】（1）解：，，，分別是邊，的中點，，等腰繞點逆時針旋轉，得到等腰△，設旋轉角為，當時，，，，；故答案為：，；（2）證明：當時，如圖2，△是由繞點逆時針旋轉得到，，，在△和△中，△△，，且，記直線與交于點，，，；（3）解：如圖3，作，交所在直線于點，，在以為圓心，為半徑的圓上，當所在直線與相切時，直線與的交點到直線的距離最大，此時四邊形是正方形，，則，故，則，故點到所在直線的距離的最大值為：．19．如圖，在中，，，，點在邊上，并且，點為邊上的動點，將沿直線翻折，點落在點處，求點到邊距離的最小值．【解答】解：如圖，延長交于，，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當時，點到的距離最小，，，，，，，，，，，，，，點到邊距離的最小值為1.2．20．如圖，中，，，過點任作一條直線，將線段沿直線翻折得線段，直線交直線于點．（1）小智同學通過思考推得當點在上方時，的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：，、、三點在以為圓心以為半徑的圓上．．（2）若，求的長．（3）線段最大值為；若取的中點，則線段的最小值為．【解答】解：（1），、、三點在以為圓心以為半徑的圓上，，故答案為：，45；（2）由折疊可知，垂直平分