汪曉勤石家莊2023-10-12數(shù)學文化與數(shù)學教學11/97數(shù)學文化與數(shù)學教學

一座寶藏一條進路一縷書香一種視角22/97希臘幾何學鼻祖泰勒斯發(fā)覺了角邊角定理。普羅克拉斯（Proclus,5世紀）告訴我們：“歐得姆斯在其《幾何史》中將該定理歸于泰勒斯。由于他說，泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸距離，其辦法中必須用到該定理。”Thales（前6世紀）案例1跨越時空33/97案例1跨越時空泰勒斯在海邊塔或高丘上利用一種簡單工具進行測量。直竿EF垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿能夠繞A轉(zhuǎn)動，但能夠固定在任一位置上。將該細竿調(diào)準到指向船位置，然后轉(zhuǎn)動EF（保持與底面垂直），將細竿對準岸上某一點C。則根據(jù)角邊角定理，DC=DB。44/97案例1跨越時空上述測量辦法廣泛使用于文藝復興時期。右圖是16世紀意大利數(shù)學家貝里（S.Belli,?～1575）出版于1565年測量著作中插圖，圖中所示辦法與泰勒斯所用辦法相同。55/97案例1跨越時空有一種故事說，拿破侖軍隊在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用利用泰勒斯辦法迅速測得河流寬度，因而受到拿破侖嘉獎。因此，從古希臘開始，角邊角定理在測量中始終扮演者主要角色。66/97案例1跨越時空在抗美援朝戰(zhàn)爭中，一名志愿軍戰(zhàn)士利用泰勒斯辦法測量敵營距離。77/97案例1跨越時空學生在課上演示泰勒斯辦法88/97案例1跨越時空學生在課上給出測量全等三角形方案99/97案例1跨越時空S1:所有話題都讓學生感愛好，提升了上課效率，數(shù)年之后故事會永遠留在頭腦中。S2:不會影響學習成績，更不會影響學習時間。這樣課在我們理論基礎(chǔ)上多一種知識理解，并且這個理解不是可有可無而是有多有少。在正課當中，無論從哪個角度解說都會讓我們對知識印象更深，增加對知識理解，當然一定要以正課為主。1010/97案例1跨越時空T1:這樣課教師和學生都很感愛好，很生動，學生積極性完全調(diào)動起來，是數(shù)學與實際結(jié)合最佳范例。T2:最佳能資源共享，多展示幾節(jié)這樣課，讓學生更加好地體會數(shù)學與生活緊密有關(guān)，讓學生發(fā)覺生活中數(shù)學問題，并用學過知識處理它。假如所有課都能以這種形式來上，那么學生一定都會喜歡數(shù)學課!1111/97案例2昔非今比七弟兄分財產(chǎn)，最小弟兄得2，后一種比前一種多得1/6，問所分財產(chǎn)共有多少？數(shù)學泥版MS1844（約公元前2050年）1212/97案例2昔非今比649539大麥72171麥穗8019螞蟻891鳥99人數(shù)學泥版M7857（古巴比倫時期）1313/97案例2昔非今比佛陀年輕時代故事7原子=1極微塵7極微塵=1微塵7微塵=1塵，……1里長度中共有717個原子1414/97案例2昔非今比《佛本行集經(jīng)》卷12：悉達多太子講授“微塵數(shù)”算法：“凡七微塵，成一窗塵；合七窗塵，成一兔塵；合七兔塵，成一羊塵；合七羊塵，成一牛塵；合七牛塵，成于一蟣；合于七蟣，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麥；合七大麥，成一指節(jié)；累七指節(jié)，成于半尺。合兩半尺，成于一尺，二尺一肘，四肘一弓，五弓一杖。其二十杖，名為一息；其八十息，名拘盧奢；八拘盧奢，名一由旬。于此眾中，有誰能知，幾許微塵成一由旬？1515/97案例2昔非今比七極微為一微量，積微至七為一金塵，積七金塵為水塵量，水塵積至七為一兔毛塵，積七兔毛塵為羊毛塵量，積羊毛塵七為一牛毛塵，積七牛毛塵為隙游塵量，隙塵七為蟣，七蟣為一虱，七虱為穬麥，七麥為指節(jié)……《俱舍論》卷12（玄奘譯）1616/97案例2昔非今比斐波納契《計算之書》（1202）“7翁去羅馬，每個人牽著7匹騾子，每匹騾子負7只麻袋，每只袋子裝7塊面包，每塊面包配有7把小刀，每把刀配有7個刀鞘，問老翁、騾子、面包、刀、鞘總數(shù)是多少。”1717/97案例2昔非今比JosseVerniers（1584）士兵問題：一座房子里有14個房間，每個房間有里14張床，每張床上躺著14個士兵，每個士兵有14支槍，每支槍里有14顆子彈。問：共有床、士兵、槍、子彈各多少。1818/97案例2昔非今比Kamp（1877）婦女問題：有12個婦女，每人帶有12根棍子，每根棍子上綁有12根繩子，每根繩子上系有12個袋子，每個袋子里裝有12個盒子，每個盒子里具有12先令。問：共有多少先令？1919/97案例2昔非今比

Adams《學者算術(shù)》（1801）妻子問題：我赴圣地伊夫斯，路遇一男攜七妻；一妻各把七袋負，一袋各裝七貓咪。貓咪生仔數(shù)又七，幾多同去伊夫斯？2020/97案例2昔非今比萊因得紙草書（約公元前1650年）萊因得紙草上等比數(shù)列問題

2121/97案例2昔非今比埃及乘法1272222/97案例2昔非今比《幾何原本》第9卷命題352323/97案例3牛刀小試托勒密托勒密分別就空氣和水、水和玻璃、玻璃和空氣，對光入射角和折射角進行測量，得出入射角與折射角成正比錯誤結(jié)論。C.Ptolemy(85-165)2424/97案例3牛刀小試阿爾·海森

制作儀器，測量入射角和折射角，發(fā)覺托勒密結(jié)論是錯誤，但他自己未能發(fā)覺折射定律。Al-Haitham(965-1038)2525/97案例3牛刀小試維特羅（ca.1270）波蘭物理學家、自然哲學家和數(shù)學家維特羅在阿爾·海森基礎(chǔ)上深入研究折射現(xiàn)象，但他仍然同樣未能發(fā)覺折射定律。Witelo(ca.1230-ca.1300)2626/97案例3牛刀小試開普勒（1611）

開普勒在《折光》（1611）中給出：對于兩種固定媒質(zhì)，當入射角（i）較小時，入射角和折射角（r）之間關(guān)系是i=nr，（n為常數(shù)）。當光線從空氣進入玻璃時，n=3/2。J.Kepler(1571-1630)2727/97案例3牛刀小試哈里奧特（1601）

英國數(shù)學家哈里奧特發(fā)覺了折射定律，但沒有刊登。T.Harriot（1560-1621）2828/97案例3牛刀小試斯內(nèi)爾（1621）荷蘭數(shù)學家斯內(nèi)爾約于1623年獨立發(fā)覺折射定律，但沒有刊登。哈里奧特和斯內(nèi)爾都是通過試驗得出該定律，而沒有給出理論推導。W.Snell(1591-1626)2929/97案例3牛刀小試笛卡兒（1637）笛卡兒在《折光》（《辦法論》之附錄）中刊登了折射定律，但遺憾是，他證明卻是錯誤！笛卡兒是否剽竊了斯內(nèi)爾，學術(shù)界尚有爭議。R.Descartes(1596-1650)3030/97案例3牛刀小試費馬費馬對笛卡兒折射定律進行了襲擊。錯誤推導怎么會得出正確結(jié)論呢？直到24年后1661年，費馬才利用他最小時間原理才導出了折射定律。P.Fermat(1601-1665)3131/97案例3牛刀小試萊布尼茨（1684）萊布尼茨在他第一篇微積分論文中，小試牛刀，給出了微分一種應用：在兩種媒質(zhì)中分別有點P和Q，光從P出發(fā)達到Q，界面上入射點O位于何處，光用時最短？G.W.Leibniz(1646-1716)3232/97案例3牛刀小試萊布尼茨：“熟悉微積分人能夠如此魔術(shù)般地處理某些問題，曾使其他高明學者百思而不得其解！”3333/97案例4史海拾貝洛必達：《無窮小分析》中問題3434/97數(shù)學文化與數(shù)學教學一座寶藏

一條進路一縷書香一種視角3535/972一條進路在數(shù)學教學中，我們總是在不停地回答“為何”。為何等腰三角形兩底角相等？（驢橋定理）為何是無理數(shù)？（不可公度量發(fā)覺）為何？（均值不等式）為何正整數(shù)和（正）偶數(shù)是同樣多？（實無窮）為何函數(shù)是奇函數(shù)？3636/972一條進路為何要將圓周提成360度？（即，為何在角度制里，要將圓周1/360作為度量角單位？）為何？為何平面直角坐標系將平面所提成四個部分叫“象限”？為何將冪指數(shù)稱為“對數(shù)”？為何某些函數(shù)被稱為“奇函數(shù)”和“偶函數(shù)”？為何稱未知數(shù)為“元”？3737/972一條進路?1年＝360天；?60進制；?迦勒底人將黃道圓提成12宮，每一宮提成30等分；?Hypsicles(c.180B.C.)將黃道圓提成360等分；?托勒密（Ptolemy,125A.D.）在《天文大成》中使用60進小數(shù)，將圓周提成360度，每1度提成60小部分（分），每一小部分再分為60個小部分（秒），等等。為何要將圓周提成360度？以色列馬賽克：黃道十二宮圖（6世紀）3838/972一條進路3939/972一條進路為何將冪指數(shù)稱為“對數(shù)”？許凱（N.Chuquet,1445-1488）《算學三部》1248163264128256512…10485760123456789…204對應數(shù)16自乘，等于8對應256；7對應128乘以9對應512，等于16對應65536。4040/972一條進路施雷伯（H.Schreyber,1495～1525）《藝術(shù)新作》（1521）012345…1612481632…65536第二個數(shù)列中兩數(shù)乘積對應于第一種數(shù)列中兩數(shù)和。第二個數(shù)列中三數(shù)乘積對應于第一種數(shù)列中三數(shù)和。第二個數(shù)列中平方數(shù)開方對應于第一種數(shù)列中偶數(shù)除以2。第二個數(shù)列中某數(shù)開立方對應于第一種數(shù)列中某數(shù)除以3。4141/972一條進路斯蒂菲爾（M.Stifel,1487～1567）《整數(shù)算術(shù)》（1544）012345678…1248163264128256…等差數(shù)列中加法對應于等比數(shù)列中乘法；等差數(shù)列中減法對應于等比數(shù)列中除法；等差數(shù)列中簡單乘法對應于等比數(shù)列中乘方；等差數(shù)列中除法對應于等比數(shù)列中開方。4242/972一條進路克拉維斯(C.Clavius,1538-1612)《實用算術(shù)概論》(1583)124816326412825651210242048…01234567891011…32自乘，得10上面1024，而10等于32下面5兩倍；8乘以256等于11上面2048，而11等于8和256下面3和8之和。

4343/972一條進路納皮爾（J.Napier,1550～1617）Mirificilogarithmorumcanonisdescriptio(1614):Logarithmisuntnumeriquiproportionalibusadjunctiaequalesservantdiferentias.(Logarithmsarenumberswhichcorrespondtoproportionalnumbersandhaveequaldifferences.)4444/972一條進路薛鳳祚（?～1680）《百分比對數(shù)表》(1653)百分比算124816326412825651210242048同余算(a)123456789101112同余算(b)579111315171921232527《數(shù)理精蘊》：“對數(shù)百分比，乃西士若往·訥白爾所作。以借數(shù)與真數(shù)對列成表，故名對數(shù)表。……其法以加代乘，以減代除，以加倍代自乘，故折半即開平方。以三因代再乘，故三歸即開立方。推之至于諸乘方，莫不皆以假數(shù)相乘而得真數(shù)。蓋為乘除之數(shù)甚繁，而以假數(shù)代之甚易也。”4545/972一條進路為何等差數(shù)列被稱為算術(shù)數(shù)列（ArithmeticProgression），等比數(shù)列被稱為幾何數(shù)列（GeometricProgression）？4646/972一條進路數(shù)學歸納法（MathematicalInduction）之名是如何來？4747/97數(shù)學文化與數(shù)學教學一座寶藏一條進路

一縷書香一種視角4848/973一縷書香薩頓Isis(1913)《科學史引論》(1927-1947)《科學史與新人文主義》（1931）《數(shù)學史研究》(1936)《科學史研究》（1936）G.Sarton（1884-1956）4949/973一縷書香CharlesduCange(1610-1688)法國歷史學家、語言學家JamesGeorgeFrazer(1854-1941)蘇格蘭考古學家5050/973一縷書香薩頓在科學和人文之間只有一座橋梁，那就是科學史。建造這座橋梁是我們這個時代主要文化需要。5151/973一縷書香同樣，在數(shù)學和人文之間也只有一座橋梁，那就是數(shù)學史。5252/973一縷書香“人生之意義在于研究日、月、天。”放棄財產(chǎn)、追求真理、身陷囹圄、鐵窗下仍在研究化圓為方問題古希臘數(shù)學家阿那克薩哥拉Anaxagoras(499B.C.-428B.C.)5353/973一縷書香暅之字景爍，少傳家業(yè)，究極精微，亦有巧思。入深之妙，般、倕無以過也。當其詣微之時，雷霆不能入。嘗行遇仆射徐勉，以頭觸之，勉呼乃悟。父所改何承天歷時尚未行，梁天監(jiān)初，暅之更修之，于是始行焉。位至太舟卿。——南史·文學傳5454/9716世紀法國數(shù)學家拉繆斯，少時家貧，祖父是燒炭，爸爸是個卑微農(nóng)夫。12歲時，拉繆斯作為一位富家子弟仆人進入巴黎Navarre學院，白天服侍主人，黑夜挑燈苦學，9年后竟獲碩士學位！他碩士論文是《亞里士多德所說一切都是錯》！3一縷書香PeterRamus（1515-1572）5555/973一縷書香每天只花4小時睡覺、2小時吃飯休息、18小時學習學習、做研究16世紀英國數(shù)學家約翰·第JohnDee（1527–1609）5656/973一縷書香為了研究數(shù)學，經(jīng)常三天三夜不出房門韋達F.Viète(1540-1603)5757/973一縷書香吾先正有言：“一物不知，儒者之恥。”今此一家已失傳，為其學者，皆暗中摸索耳。既遇此書，又遇子不驕不吝，欲相指授，豈可畏勞玩日，當吾世而失之！嗚呼，吾避難，難自長大；吾迎難，難自消微。必成之。

MatteoRicci(1552-1610)SeuKuang-ke(1562-1633)

5858/973一縷書香在墨水結(jié)冰冬夜，仍然勤學不怠索菲·熱爾曼SophieGermain（1776-1831）5959/973一縷書香華里司人活著既然注定要含辛茹苦，那么，我希望用求知快樂給人生酒杯加點糖。W.Wallace(1768-1843)6060/973一縷書香J.H.Fabre(1823-1915)法布爾：牛頓二項式定理6161/973一縷書香“自任國會議員以來，他學習并幾乎精通了《幾何原本》前6卷。他開始學習這門嚴密學科，為是提升他能力，尤其是邏輯和語言能力。因此他酷愛《幾何原本》，每次巡行，他總是隨身攜帶它；直到能夠輕而易舉地證明前六卷中所有命題為止。他經(jīng)常學到深更半夜，枕邊燭光搖曳，而同事們鼾聲卻已此起彼伏、不絕于耳。”(1860年總統(tǒng)候選人介紹)A.Lincohn(1809-1865)6262/973一縷書香托馬斯·霍布斯

40歲時開始學習幾何。ThomasHobbes(1588-1679)6363/973一縷書香假如你要成為一名真正追求真理人，那么你在一生中必須對一切事情最少都懷疑一次。——笛卡兒《辦法論》6464/973一縷書香樹蔭下放著一卷詩章一瓶葡萄美酒，一點干糧有你在這荒原中傍我歡歌荒原呀，啊，便是天堂——《魯拜集》OmarKhayyam(1048-1122)6565/973一縷書香壬叔云：昔年同艾約瑟至杭，乘輿往游天竺，為將軍所見。時西人無至杭者，閭閻皆為驚詫。將軍特諭仁和縣往詢，縣令希上意，立逐艾君回滬，而將壬叔發(fā)回本州。壬叔因獻詩州守，曰：

游山不合約波臣，奉遣還鄉(xiāng)判牘新。刺史風流公案雅，遞回湖上一詩人。州守見之大喜，立贈以金遣之。——《王韜日記》

▲李善蘭(1811-1882)?J.Edkins(1823-1905)6666/973一縷書香●王蒙：生命“意義標準”

與無限久遠永恒與無限廣闊宇宙相比較，人類尤其是人類個體就渺小得能夠不計了。●史密斯：數(shù)學上“無窮之燈”數(shù)學是人類摸索宇宙工具，它揭示了我們在浩瀚宇宙中位置，它讓我們看到，我們本身不過是宇宙中一粒微塵。我們懷疑、信念、希望和恐懼都是微不足道，都是無窮小量，就如太陽系里失去一種電子一般。6767/97數(shù)學文化與數(shù)學教學一座寶藏一條進路一縷書香

一種視角6868/97數(shù)學文化與數(shù)學教學

●假如我們把自然看做我們向?qū)В菦Q不會把我們領(lǐng)入歧途。西塞羅M.T.Cicero(106BC-43BC)6969/97數(shù)學文化與數(shù)學教學●自然沉著易進到較難。

教材應如此排列，使學生懂得最接近他們心眼事物，然后去懂得不大接近，隨后去懂得相隔較遠，最后才去懂得隔得最遠。●自然不性急，它只慢慢前進。

假如一切事情都按學生能量去安排，這種能量自然就會同窗習與年紀一同增加。●自然不強迫任何事物去進行非它自己成熟了力量所驅(qū)使事。

無論什么事情，除非不但是青年人年紀與心理力量所許可，并且真是它們所要求，都不應當教他們。夸美紐斯J.A.Comenius(1592-1670)7070/97數(shù)學文化與數(shù)學教學●符合自然發(fā)展規(guī)律教學；●由近及遠、由簡到繁、由易到難、由已知到未知教學標準第斯多惠A.Diesterweg（1790-1866）7171/97數(shù)學文化與數(shù)學教學●小朋友所受教育必須在方式和安排上同歷史上人類教育一致。●一般教起來使人以為枯燥甚至討厭知識部門，根據(jù)自然辦法就成為極其有趣和非常有益。斯賓塞H.Spencer(1820-1903)7272/97數(shù)學文化與數(shù)學教學王勇平典型語錄“至于你信不信，我反正信了”問：現(xiàn)場指揮部數(shù)次證明現(xiàn)場已經(jīng)沒有生命體征，為何最后還會發(fā)覺那個幸存小女孩。答：這是一種生命奇跡。問：為何車體被就地掩埋，是不是為了掩蓋證據(jù)？答：當初現(xiàn)場搶險環(huán)境非常復雜……因此他們把車頭埋在下面，蓋上土，主要是便于搶險。他們給出解釋是這樣，至于你們信不信，我反正是信。7373/97案例5追求自然7474/97梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus,380B.C.-320B.C.)初次發(fā)覺三種圓錐曲線及其基本性質(zhì)。案例5追求自然橢圓歷史及其重構(gòu)7575/97

阿波羅尼斯(Apollonius,ca.262B.C.-ca.190B.C.)將橢圓定義為圓錐被平面斜截所得截線，并得出它基本性質(zhì)。案例5追求自然7676/97阿波羅尼斯利用多種命題推導出橢圓焦半徑性質(zhì)。案例5追求自然7777/97

帕普斯（Pappus,4世紀）發(fā)覺了橢圓焦點－準線性質(zhì)（很也許已經(jīng)為歐幾里得所知）。案例5追求自然7878/97笛卡兒（R.Descartes,1596-1650）在《幾何學》中建立了古希臘三線和四線軌跡（圓錐曲線）方程，激發(fā)了人們對圓錐曲線作圖法探求。案例5追求自然7979/97

荷蘭數(shù)學家舒騰(F.vanSchooten,1615-1660)設(shè)計了橢圓三種作圖工具