第02講等差數列及其前n項和目錄考點要求考題統計考情分析（1）理解等差數列的概念．（2）掌握等差數列的通項公式與前n項和公式．（3）能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題．（4）了解等差數列與一次函數、二次函數的關系．2023年甲卷（文）第5題，5分2023年I卷第7題，5分2022年上海卷第10題，5分2022年乙卷（文）第13題，5分（1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算．（2）解答題多與等比數列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．知識點一．等差數列的有關概念（1）等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示，定義表達式為（常數）．（2）等差中項若三個數，，成等差數列，則叫做與的等差中項，且有．知識點二．等差數列的有關公式（1）等差數列的通項公式如果等差數列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．（2）等差數列的前項和公式設等差數列的公差為，其前項和．知識點三．等差數列的常用性質已知為等差數列，為公差，為該數列的前項和．（1）通項公式的推廣：．（2）在等差數列中，當時，．特別地，若，則．（3），…仍是等差數列，公差為．（4），…也成等差數列，公差為．（5）若，是等差數列，則也是等差數列．（6）若是等差數列，則也成等差數列，其首項與首項相同，公差是公差的．（7）若項數為偶數，則；；．（8）若項數為奇數，則；；．（9）在等差數列中，若，則滿足的項數使得取得最大值；若，則滿足的項數使得取得最小值．知識點四．等差數列的前n項和公式與函數的關系．數列是等差數列?（為常數）．知識點五．等差數列的前n項和的最值公差為遞增等差數列，有最小值；公差為遞減等差數列，有最大值；公差為常數列．特別地若，則有最大值（所有正項或非負項之和）；若，則有最小值（所有負項或非正項之和）．知識點六．其他衍生等差數列．若已知等差數列，公差為，前項和為，則：①等間距抽取為等差數列，公差為．②等長度截取為等差數列，公差為．③算術平均值為等差數列，公差為．【解題方法總結】（1）等差數列中，若，則．（2）等差數列中，若，則．（3）等差數列中，若，則．（4）若與為等差數列，且前項和為與，則．題型一：等差數列的基本量運算例1．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知數列滿足：，且滿足，則（

）A．1012 B．1013 C．2022 D．2023例2．（2023·河北·統考模擬預測）已知等差數列的前項和是，則（

）A． B．C． D．例3．（2023·四川涼山·三模）在等差數列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．9變式1．（2023·江西新余·統考二模）記是公差不為0的等差數列的前項和，若，，則數列的公差為（

）A． B． C．2 D．4變式2．（2023·廣西·統考模擬預測）設為等差數列，若，則公差（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2變式3．（2023·山西·高三校聯考階段練習）記為等差數列的前項和，若，則（

）A．30 B．28 C．26 D．13【解題方法總結】等差數列基本運算的常見類型及解題策略：（1）求公差或項數．在求解時，一般要運用方程思想．（2）求通項．和是等差數列的兩個基本元素．（3）求特定項．利用等差數列的通項公式或等差數列的性質求解．（4）求前項和．利用等差數列的前項和公式直接求解或利用等差中項間接求解．【注意】在求解數列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意使用公式時的準確性與合理性，更要注意運算的準確性．在遇到一些較復雜的方程組時，要注意運用整體代換思想，使運算更加便捷．題型二：等差數列的判定與證明例4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）已知數列的前項和為，且.(1)求證：數列是等差數列；(2)求數列的前項和.例5．（2023·江蘇南京·高二南京師范大學附屬中學江寧分校?？计谀┯洖閿盗械那绊椇停?1)從下面兩個條件中選一個，證明：數列是等差數列；①數列是等差數列；②(2)若數列為等差數列，且，，求數列的前項和．例6．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，．(1)證明：是等差數列，并求出的通項．(2)證明：．變式4．（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谀┮阎獢盗袧M足，，.(1)若數列為數列的奇數項組成的數列，證明：數列為等差數列；(2)求數列的前50項和.變式5．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，數列的前n項積為，且滿足．(1)求證：為等差數列；(2)記，求數列的前2023項的和M．變式6．（2023·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）已知數列中，，當時，其前項和滿足：，且，數列滿足：對任意有.(1)求證：數列是等差數列；(2)求數列的通項公式；(3)設是數列的前項和，求證：.【解題方法總結】判斷數列是等差數列的常用方法（1）定義法：對任意是周一常數．（2）等差中項法：對任意，湍足．（3）通項公式法：對任意，都滿足為常數）．（4）前項和公式法：對任意，都湍足為常數）．題型三：等差數列的性質例7．（2023·安徽蚌埠·統考模擬預測）已知等差數列滿足，則（

）A． B． C． D．例8．（2023·陜西榆林·統考模擬預測）設為等差數列的前項和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8例9．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，其前n項和為，若，則（

）A． B．0 C．2 D．4變式7．（2023·全國·高三專題練習）如果等差數列中，，那么（

）A．14 B．12 C．28 D．36變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知數列是等差數列，若，則等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．10【解題方法總結】如果為等差數列，當時，．因此，出現等項時，可以利用此性質將已知條件轉化為與（或其他項）有關的條件；若求項，可由轉化為求am－n＋an＋m的值．題型四：等差數列前n項和的性質例10．（2023·全國·高三專題練習）兩個等差數列，的前n項和分別為和，已知，則______．例11．（2023·全國·高三專題練習）設等差數列，的前n項和分別為，，且，則______.例12．（2023·全國·高三專題練習）若兩個等差數列，的前n項和分別是，，已知，則______.變式10．（2023·高三課時練習）已知數列與均為等差數列，且前n項和分別為與，若，則______．變式11．（2023·寧夏·高三六盤山高級中學?？计谥校┰O等差數列的前項和為，若，，則_________變式12．（2023·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知等差數列的前n項和為，若，，則___________變式13．（2023·全國·高三專題練習）等差數列中，，前項和為，若，則______.變式14．（2023·全國·高三對口高考）已知等差數列的前項和為，若公差，；則的值為__________.變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列的項數為奇數，且奇數項的和為40，偶數項的和為32，則______.變式16．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學?？级＃┰诘炔顢盗兄?，前m項（m為奇數）和為70，其中偶數項之和為30，且，則的通項公式為______.【解題方法總結】在等差數列中，，…仍成等差數列；也成等差數列．題型五：等差數列前n項和的最值例13．（2023·全國·高三專題練習）已知為等差數列的前項和，且，，則當取最大值時，的值為___________.例14．（2023·全國·高三專題練習）設等差數列的前項和為，已知，，則以下選項中，最大的是（

）A． B． C． D．例15．（2023·四川·模擬預測）在數列中，若，前項和，則的最大值為______．變式17．（2023·上海嘉定·高三上海市嘉定區第一中學?？计谥校┮阎炔顢盗械母黜椌鶠檎麛担遥瑒t的最小值是________變式18．（2023·全國·高三專題練習）設是等差數列的前項和，若，，則數列中的最大項是第______項.變式19．（2023·江西·高三校聯考階段練習）已知數列滿足，則的最小值為_______.變式20．（2023·全國·高三專題練習）等差數列中，，，給出下列命題：①，②，③是各項中最大的項，④是中最大的值，⑤為遞增數列.其中正確命題的序號是______.變式21．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列的通項公式為，當且僅當時，數列的前項和最大.則滿足的的最大值為__________.變式22．（2023·高三課時練習）記等差數列的前n項和為，若，，則當取得最大值時，n＝______．變式23．（2023·福建泉州·校聯考模擬預測）已知是等差數列{}的前n項和，若僅當時取到最小值，且，則滿足的n的最小值為__________.變式24．（2023·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習）已知為等差數列的前項和.若，，則當取最小值時，的值為________.變式25．（2023·全國·高三專題練習）已知數列是等差數列，若，，且數列的前項和有最大值，那么當時，的最大值為__．【解題方法總結】求等差數列前項和最值的2種方法（1）函數法：利用等差數列前項和的函數表達式，通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解．（2）鄰項變號法：①若，則滿足的項數使得取得最大值；②若，則滿足的項數使得取得最小值．題型六：等差數列的實際應用例16．（2023·全國·高三專題練習）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影長度依次成等差數列，冬至、立春、春分這三個節氣的日影長度之和為尺，前九個節氣日影長度之和為尺，則谷雨這一天的日影長度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺例17．（2023·河北唐山·唐山市第十中學?？寄M預測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網站全程轉播了該次世界杯，為紀念本次世界杯，該網站舉辦了一針對本網站會員的獎品派發活動，派發規則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數為（

）A．102 B．103 C．104 D．105例18．（2023·全國·高三專題練習）2022年10月16日上午10時，舉世矚目的中國共產黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重開幕，某單位組織全體人員在報告廳集體收看，已知該報告廳共有16排座位，共有432個座位數，并且從第二排起，每排比前一排多2個座位數，則最后一排的座位數為（

）A．12 B．26 C．42 D．50變式26．（2023·全國·高三專題練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請問：在100年后的2123年為（

）A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年變式27．（2023·海南?？凇ばＢ摽家荒＃┘彝マr場是指以農戶家庭成員為主要勞動力的新型農業經營主體．某家庭農場從2019年開始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬元，2021年的收益為50萬元．照此規律，從2019年至2026年該家庭農場的總收益為（

）A．630萬元 B．350萬元 C．420萬元 D．520萬元題型七：關于等差數列奇偶項問題的討論例19．（2023·全國·高三專題練習）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．例20．（2023·廣東深圳·統考模擬預測）已知等差數列滿足，．(1)求；(2)數列滿足，為數列的前項和，求．例21．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足：，，.(1)記，求數列的通項公式；(2)記數列的前項和為，求.變式28．（2023·江蘇南京·統考一模）已知數列和滿足：.（1）若，求數列的通項公式；（2）若.求證：數列為等差數列；記數列的前項和為，求滿足的所有正整數和的值.變式29．（2023·全國·高三專題練習）數列中，，前n項和滿足．（1）證明：為等差數列；（2）求．【解題方法總結】對于奇偶項通項不統一的數列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數、偶數進行分類．題型八：對于含絕對值的等差數列求和問題例22．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)若數列的前項和為，設，求的最小值.例23．（2023·全國·高三專題練習）記為等差數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．例24．（2023·全國·高三專題練習）記為等差數列的前項和，，．(1)求數列的通項公式；(2)求的值．變式30．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列的前n項和為，其中，．(1)求數列的通項；(2)求數列的前n項和為．變式31．（2023·全國·高三專題練習）在公差為的等差數列中，已知，且，，成等比數列．(1)求，；(2)若，求【解題方法總結】由正項開始的遞減等差數列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號由正變負的項（2）在對進行討論，當時，，當時，題型九：利用等差數列的單調性求解例25．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列單調遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例26．（2023·全國·高三專題練習）設是等差數列，則“”是“數列是遞增數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例27．（2023·全國·高三專題練習）在等差數列中，為的前n項和，，，則無法判斷正負的是（

）A． B． C． D．變式32．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列公差不為0，正項等比數列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．變式33．（2023·全國·高三專題練習）等差數列的前項和為，若，，則數列的通項公式可能是（

）A． B． C． D．變式34．（2023·山西朔州·高二?？茧A段練習）設函數，數列滿足，且數列是遞增數列，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結】（1）在處理數列的單調性問題時應利用數列的單調性定義，即“若數列是遞增數列，恒成立”．（2）數列的單調性與，的單調性不完全一致．一般情況下我們不應把數列的單調性轉化為相應連續函數的單調性來處理．但若數列對應的連續函數是單調函數，則可以借助其單調性來求解數列的單調性問題．即“離散函數有單調性連續函數由單調性；連續函數有單調性離散函數有單調性”．題型十：等差數列中的范圍與恒成立問題例28．（2023·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學?？计谥校┮阎炔顢盗械那皀項和為，并且，若對恒成立，則正整數的值為______.例29．（2023·北京·高二北京市第一六六中學?？茧A段練習）設是公差為的無窮等差數列的前項和，則下列命題正確的是______.①若，則數列有最大項；②若數列