第十二章

統計與統計案例第一講隨機抽樣與用樣本估計總體要點提煉

隨機抽樣考點1三種抽樣方法的區別與聯系類別共同點特點聯系適用范圍簡單隨機抽樣(1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性

;(2)每次抽出個體后不再將它放回,即不放回抽樣.從總體中直接隨機抽取,是一種

抽樣.

最基本的抽樣方法.常用方法:抽簽法和

.總體個數不多,且希望被抽取的個體帶有隨機性,無固定間隔.系統抽樣先將總體均分成幾部分,再按預先設定的規則在各部分中進行抽取,是一種

抽樣.在起始部分抽樣時,采用簡單隨機抽樣.總體個數較多,且個體之間無明顯差異.分層抽樣將總體分成互不交叉的層,分層進行抽取,是一種

抽樣.各層抽樣時,采用簡單隨機抽樣或系統抽樣.總體由差異明顯的幾部分組成.等可能相等等距等比例隨機數法

統計圖表考點2

統計圖表考點2

頻率1

統計圖表考點22.頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得到頻率分布折線圖.(2)總體密度曲線:隨著樣本容量的增加,作頻率分布直方圖時所分的組數增加,組距減小,相應的頻率分布折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

統計圖表考點23.莖葉圖莖葉圖可以用來分析單組數據,也可以用來比較兩組數據.通過莖葉圖可以確定數據的中位數,數據大致集中在哪個莖,數據是否關于該莖對稱,數據分布是否均勻等.注意

重復出現的數據要重復記錄,不能遺漏.

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考點31.眾數、中位數、平均數

定義特點眾數在一組數據中出現次數

的數.體現了樣本數據的最大集中點,不受極端值的影響,而且不一定唯一.中位數將一組數據按大小順序依次排列(相同的數據要重復列出),處在最中間位置的那個數據(或最中間兩個數據的平均數).中位數不受極端值的影響,僅利用了排在中間位置的數據的信息,只有一個.平均數一組數據的算術平均數.與每一個樣本數據有關,只有一個.最多說明

眾數、中位數、平均數描述數據的集中趨勢.

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考點32.極差、標準差與方差

定義特點極差一組數據中最大值與最小值的差.反映一組數據的波動情況,一般情況下,極差大,則數據的波動性大;極差小,則數據的波動性小,但極差只考慮了兩個極端值,可靠性較差.標準差描述數據相對于平均數的離散程度的大小,標準差越大,數據的離散程度越大,標準差越小,數據的離散程度越小.方差同標準差一樣,方差也是用來衡量樣本數據的離散程度的.說明

極差、標準差和方差描述數據的波動程度.

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考點3

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考點34.方差的性質若給定一組數據x1,x2,…,xn,其方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2;ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差為

.特別地,當a=1時,有x1+b,x2+b,…,xn+b的方差為s2,這說明將一組數據中的每一個數據都加上一個相同的常數,方差是不變的,即不影響數據的波動性.a2s2理解自測1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)在簡單隨機抽樣中,某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關,第一次被抽到的可能性最大. (

)(2)分層抽樣中,每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關.(

)(3)平均數、眾數與中位數從不同角度描述了一組數據的集中趨勢.(

)(4)莖葉圖左側的葉一般按從大到小的順序寫,右側的葉一般按從小到大的順序寫,相同的數據可以只記一次. (

)××√×ACC2.[2021新高考卷Ⅱ][多選題]下列統計量中可用于度量樣本x1,x2,…,xn離散程度的有(

)A.x1,x2,…,xn的標準差B.x1,x2,…,xn的中位數C.x1,x2,…,xn的極差D.x1,x2,…,xn的平均數3.[2020全國卷Ⅲ]設一組樣本數據x1,x2,…,xn的方差為0.01,則數據10x1,10x2,…,10xn的方差為(

)A.0.01

B.0.1

C.1

D.10考向掃描

三種抽樣方法及其應用考向11.典例(1)[2019全國卷Ⅰ][文]某學校為了解1000名新生的身體素質,將這些學生編號為1,2,…,1000,從這些新生中用系統抽樣方法等距抽取100名學生進行體質測驗.若46號學生被抽到,則下面4名學生中被抽到的是(

)A.8號學生 B.200號學生C.616號學生 D.815號學生C

三種抽樣方法及其應用考向1(2)某校高二(1)班有40名學生,學號為01到40,現采用隨機數表法從該班抽取5名學生參加“全國愛眼日”宣傳活動.已知隨機數表中第6行至第7行的各數如下:1622779439

4954435482

17379323788735209643

84263491648442175331

5724550688

77047447672176335025

8392120676若從隨機數表第6行第9列的數開始向右讀,則抽取的第5名學生的學號是(

)

A.17 B.23 C.35 D.37C

三種抽樣方法及其應用考向1(3)[2017江蘇高考]某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品,產量分別為200,400,300,100件.為檢驗產品的質量,現用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗,則應從丙種型號的產品中抽取

件.

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三種抽樣方法及其應用考向1

三種抽樣方法及其應用考向1方法技巧1.簡單隨機抽樣方法的應用關鍵(1)能否用抽簽法,關鍵看兩點:一是抽簽是否方便;二是號簽是否易攪勻.一般地,當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法.(2)使用隨機數表法的關鍵:①確定以表中的哪個數(哪行哪列)為起點;②讀數時,注意結合編號特點進行讀取,若編號為兩位,則兩位兩位讀取,若編號為三位,則三位三位讀取,有超過總體號碼或出現重復號碼的數字要舍去,繼續這樣下去,直到獲取整個樣本編號.

三種抽樣方法及其應用考向12.系統抽樣中所抽取編號的特點系統抽樣依次抽取的樣本對應的號碼是一個等差數列,首項就是第1組所抽取樣本的號碼,公差為間隔數,根據等差數列的通項公式就可以確定每一組內所要抽取的樣本號碼.注意

系統抽樣時,如果總體中的個數不能被樣本容量整除,可以先用簡單隨機抽樣從總體中剔除幾個個體,然后再按系統抽樣進行.

三種抽樣方法及其應用考向13.分層抽樣問題的解題思路(1)分層原則:層內樣本的差異要小,層與層之間的樣本差異要大,且互不重疊.(2)分層比:各層所抽取的個體數(ni)與該層所包含的個體數(Ni)之比等于樣本容量(n)與總體的個體數(N)之比,即ni∶Ni=n∶N.

三種抽樣方法及其應用考向12.變式[2018全國卷Ⅲ][文]某公司有大量客戶,且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異.為了解客戶的評價,該公司準備進行抽樣調查,可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣,則最合適的抽樣方法是

.

解析

因為不同年齡段的客戶對公司的服務評價有較大差異,所以需按年齡進行分層抽樣,才能了解到不同年齡段的客戶對公司服務的客觀評價.分層抽樣

統計圖表及其應用考向23.典例

[2021全國卷甲][文]為了解某地農村經濟情況,對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查,將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖:根據此頻率分布直方圖,下面結論中不正確的是 (

)A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%C

統計圖表及其應用考向2C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間解析

對于A,根據頻率分布直方圖可知,家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率約為(0.02+0.04)×1×100%=6%,故A正確;對于B,根據頻率分布直方圖可知,家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率約為(0.04+0.02+0.02+0.02)×1×100%=10%,故B正確;

統計圖表及其應用考向2對于C,根據頻率分布直方圖可知,該地農戶家庭年收入的平均值約為3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(萬元),故C錯誤;對于D,根據頻率分布直方圖可知,家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農戶比率約為(0.10+0.14+0.20+0.20)×1×100%=64%>50%,故D正確.解題技巧由于C難以計算,可以在判斷選項A,B,D后,利用排除法得到答案為C.

統計圖表及其應用考向2

統計圖表及其應用考向24.典例[2018全國卷Ⅰ][文]某地區經過一年的新農村建設,農村的經濟收入增加了一倍,實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況,統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例,得到如圖所示的餅圖:則下面結論中不正確的是 (

)A.新農村建設后,種植收入減少B.新農村建設后,其他收入增加了一倍以上C.新農村建設后,養殖收入增加了一倍D.新農村建設后,養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半A

統計圖表及其應用考向2解析

設新農村建設前經濟收入的總量為x,則新農村建設后經濟收入的總量為2x.解法一

建設前種植收入為0.6x,建設后種植收入為0.74x,故A不正確;建設前其他收入為0.04x,建設后其他收入為0.1x,故B正確;建設前養殖收入為0.3x,建設后養殖收入為0.6x,故C正確;建設后養殖收入與第三產業收入的總和占建設后經濟收入總量的58%,故D正確.解法二

因為0.6x<0.37×2x,所以新農村建設后,種植收入增加,而不是減少,所以A是錯誤的.故選A.

統計圖表及其應用考向25.變式[2018全國卷Ⅰ][文]某家庭記錄了未使用節水龍頭50天的日用水量數據(單位:m3)和使用了節水龍頭50天的日用水量數據,得到頻數分布表如下:

未使用節水龍頭50天的日用水量頻數分布表

使用了節水龍頭50天的日用水量頻數分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7]頻數13249265日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6]頻數151310165

統計圖表及其應用考向2(1)在圖中作出使用了節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖;(2)估計該家庭使用節水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估計該家庭使用節水龍頭后,一年能節省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表)

統計圖表及其應用考向2解析

(1)頻率分布直方圖如圖所示.(2)根據(1)中的頻率分布直方圖,知該家庭使用節水龍頭50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此該家庭使用節水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.

統計圖表及其應用考向2

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考向36.典例[2021新高考卷Ⅰ][多選題]有一組樣本數據x1,x2,…,xn,由這組數據得到新樣本數據y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數,則(

)A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣本數據的樣本極差相同

CD

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考向3

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考向3

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考向3

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考向3

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考向3

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考向3

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考向3

用樣本的數字特征估計總體的數字特征考向3(3)分層抽樣:根據植物覆蓋面積的大小對地塊分層,再對200個地塊進行分層抽樣.理由如下:由(2)知各樣區的這種野生動物數量與植物覆蓋面積正相關.由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動物數量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以更準確地估計該地區這種野生動物數量.攻堅克難

生產、生活實踐情境下的數據與圖表信息分析數學應用9.典例[2022甘肅九校聯考]我國在2020年開展了第七次全國人口普查,并于2021年5月11日公布了結果.自新中國成立以來,我國共進行了七次全國人口普查,圖為我國歷次全國人口普查人口性別構成及總人口性別比(以女性為100,男性對女性的比例)統計圖,則下列說法錯誤的是（）D

生產、生活實踐情境下的數據與圖表信息分析數學應用A.近三次全國人口普查總人口性別比呈遞減趨勢B.我國歷次全國人口普查總人口數逐次遞增C.第五次全國人口普查時,我國總人口數已經突破12億D.第七次全國人口普查時,我國總人口性別比最高解析

由圖中的折線圖可知,第五、六、七次全國人口普查總人口性別比分別為106.74,105.20,105.07,依次遞減,故