浙江省杭州市天門華泰中學2021-2022學年高三數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設全集則圖中陰影部分表示的集合為（）A

BC

D參考答案：B略2.如圖，設D是邊長為l的正方形區域，E是D內函數與所構成(陰影部分)的區域，在D中任取一點，則該點在E中的概率是

A．

B．

C．

D．參考答案：A3.若則等于（

）A. B. C.

D.參考答案：D4.已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】將函數用三角恒等變換化簡成正弦型函數，根據整體代換與正弦函數的性質，結合已知建立的不等量關系，即可求解.【詳解】，在區間上是增函數，，.當時，取得最大值，而在區間上恰好取得一次最大值，，解得，綜上，.故選:D.【點睛】本題考查三角函數恒等變換、正弦函數的性質，整體代換是解題的關鍵，屬于中檔題.5.

是等差數列的前n項和，且，則k的值是A．2

B．11

C．4

D．12參考答案：答案：C6.已知橢圓的左焦點為F1，y軸上的點P在橢圓外，且線段PF1與橢圓E交于點M，若，則橢圓E的離心率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C7.函數的零點個數為（

）A．3 B．0 C．1 D．2參考答案：D當時，由，得；當時，由，得，則的零點個數為2．8.已知實數滿足，如果目標函數的最小值是，那么此目標函數的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C

9.某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是A.90

B.129

C.132

D.138參考答案：D

10.已知D，E是△ABC邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若=x+y，則xy的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]參考答案：D【考點】7G：基本不等式在最值問題中的應用；9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】利用已知條件推出x+y=1，然后利用x，y的范圍，利用基本不等式求解xy的最值．【解答】解：D，E是△ABC邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若=x+y，可得x+y=1，x，y∈[，]，則xy≤=，當且僅當x=y=時取等號，并且xy=x（1﹣x）=x﹣x2，函數的開口向下，對稱軸為：x=，當x=或x=時，取最小值，xy的最小值為：．則xy的取值范圍是：[，]．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝}，則M∩N＝_______．參考答案：[1,＋∞12.△ABC的內角A，B，C，的對邊分別為a，b，c,若，則△ABC的面積為_______參考答案：【分析】由正弦定理可以化簡，利用面積公式求出的面積.【詳解】由正弦定理得，所以，從而.【點睛】本題考查了正弦定理、面積公式，正確使用公式是解題的關鍵.13.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,則三棱柱ABC—A1B1C1外接球的表面積是

；參考答案：14.曲線y=x2與直線y=x所圍成圖形的面積為

．參考答案：【考點】定積分在求面積中的應用．【分析】先根據題意畫出區域，然后依據圖形得到積分下限為0，積分上限為1，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可．【解答】解：先根據題意畫出圖形，得到積分上限為1，積分下限為0直線y=x與曲線y=x2所圍圖形的面積S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲邊梯形的面積是故答案為：．15.某地區3月1日至30日的天氣情況及晚間空氣濕度統計如下表，比如，根據表中數據可知3月1日無雨，且當日晚間空氣相對濕度等級為C．若氣象工作者根據某天晚間的相對濕度等級預報第二天有雨的概率，則3月31日有雨的概率為_______．參考答案：16.復數（其中是虛數單位）的虛部為 .參考答案：17.已知tanα，tanβ分別是lg（6x2﹣5x+2）=0的兩個實根，則tan（α+β）=

．參考答案：1【考點】兩角和與差的正切函數．【分析】由條件利用一元二次方程根與系數的關系可得tanα+tanβ和tanα?tanβ的值，從而求得tan（α+β）的值．【解答】解：由題意lg（6x2﹣5x+2）=0，可得6x2﹣5x+1=0，tanα，tanβ分別是lg（6x2﹣5x+2）=0的兩個實根，∴tanα+tanβ=，tanα?tanβ=，∴tan（α+β）===1．故答案為：1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設fk（n）為關于n的k（k∈N）次多項式．數列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn．對于任意的正整數n，an+Sn=fk（n）都成立．（I）若k=0，求證：數列{an}是等比數列；（Ⅱ）試確定所有的自然數k，使得數列{an}能成等差數列．參考答案：【考點】數列遞推式；等差關系的確定；等比關系的確定．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（Ⅰ）若k=0，不妨設f0（n）=c（c為常數）．即an+Sn=c，結合數列中an與Sn關系求出數列{an}的通項公式后再證明．（Ⅱ）由特殊到一般，實質上是由已知an+Sn=fk（n）考查數列通項公式求解，以及等差數列的判定．【解答】（Ⅰ）證明：若k=0，則fk（n）即f0（n）為常數，不妨設f0（n）=c（c為常數）．因為an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且當n≥2時，an+Sn=2，①an﹣1+Sn﹣1=2，②①﹣②得2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．若an=0，則an﹣1=0，…，a1=0，與已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．故數列{an}是首項為1，公比為的等比數列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符題意，舍去．（2）若k=1，設f1（n）=bn+c（b，c為常數），當n≥2時，an+Sn=bn+c，③an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④③﹣④得2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．要使數列{an}是公差為d（d為常數）的等差數列，必須有an=b﹣d（常數），而a1=1，故{an}只能是常數數列，通項公式為an=1（n∈N*），故當k=1時，數列{an}能成等差數列，其通項公式為an=1（n∈N*），此時f1（n）=n+1．（3）若k=2，設f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常數），當n≥2時，an+Sn=pn2+qn+t，⑤an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥⑤﹣⑥得2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），要使數列{an}是公差為d（d為常數）的等差數列，必須有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，考慮到a1=1，所以an=1+（n﹣1）?2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．故當k=2時，數列{an}能成等差數列，其通項公式為an=2pn﹣2p+1（n∈N*），此時f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a為非零常數）．（4）當k≥3時，若數列{an}能成等差數列，根據等差數列通項公式可知Sn是關于n的二次型函數，則an+Sn的表達式中n的最高次數為2，故數列{an}不能成等差數列．綜上得，當且僅當k=1或2時，數列{an}能成等差數列．【點評】本題考查數列通項公式的求解，等差數列的判定，考查閱讀理解、計算論證等能力．19.（15分）已知函數（）．（1）若為的極值點，求實數的值；（2）若在上不是單調函數，求實數的取值范圍；（3）當時，方程有實根，求實數的最大值．參考答案：．

1分

因為為的極值點，所以．

2分

即，解得．

3分

又當時，，從而的極值點成立．

4分（2）由函數的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，由于，

5分所以令則在區間上都有解

6分由知>0一定有解，又對稱軸為<1，

因此只要即可，

8分由可得∵

∴綜上所述，的取值范圍為．

10分（3）若時，方程可化為，．

問題轉化為在上有解，

即求函數的值域．

12分因為，令，

則

，

13分

所以當，從而上為增函數，

當，從而上為減函數，

14分

因此．

而，故，

因此當時，取得最大值0．

15分20.（本小題滿分14分）已知函數.（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若存在兩條直線，都是曲線的切線，求實數的取值范圍；（Ⅲ）若，求實數的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；.（Ⅲ）試題分析：（Ⅰ），對a進行分類討論：當時，，則函數的單調遞減區間是.當時，令，得.的單調遞減區間是，單調遞增區間是；（Ⅱ）因為存在兩條直線，都是曲線的切線，所以至少有兩個不等的正實根，令得，記其兩個實根分別為.則解得.再說明當時，曲線在點處的切線分別為，是兩條不同的直線即可；（Ⅲ）只需分類討論.試題解析：（Ⅰ）.

………………1分

當時，，則函數的單調遞減區間是.

………………2分 當時，令，得. 當變化時，，的變化情況如下：↘極小值↗ 所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是.………………4分（Ⅱ）因為存在兩條直線，都是曲線的切線，所以至少有兩個不等的正實根.

………………5分令得，記其兩個實根分別為.則解得.

………………7分當時，曲線在點處的切線分別為，.令.由得（不妨設），且當時，，即在上是單調函數.所以.所以，是曲線的兩條不同的切線.所以實數的取值范圍為.

………………9分（Ⅲ）當時，函數是內的減函數. 因為， 而，不符合題意.

………………11分當時，由（Ⅰ）知：的最小值是.（ⅰ）若，即時，，所以，符合題意.（ⅱ）若，即時，.所以，符合題意.（ⅲ）若，即時，有.因為，函數在內是增函數，所以當時，.又因為函數的定義域為，所以.所以符合題意.綜上所述，實數的取值范圍為.

………………14分考點：導數與函數的綜合21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且經過點，過橢圓的左頂點A作直線l⊥x軸，點M為直線l上的動點（點M與點A不重合），點B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于點P．（1）求橢圓C的方程．（2）求證：AP⊥OM．（3）試問：?是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是，請說明理由．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】（1）根據離心率和點在橢圓上，列方程解得即可，（2）設直線BM的斜率為k，直線BM的方程為：y=k（x﹣4），設P（x1，y1），與橢圓方程聯立可得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣16=0，解得x1，x2．可得P坐標，由y=k（x﹣4），解得M（﹣4，﹣4k），只要證明AP?OM=0，即可得出．（3）利用數量積運算即