高中物理競賽《光學》部分

1.1幾何光學基礎

1.3光的折射

1.4.光在球面上的反射與折射

1.5.透鏡成像

2.1光的波動性

2.2.光的量子性

高中物理競賽《光學》

第一講幾何光學

§1.1幾何光學基礎

1、光的直線傳播：光在同一均勻介質中沿直線傳播。

2、光的獨立傳播：幾束光在交錯時互不妨礙，仍按原來各自的方向傳播。

3、光的反射定律：

①反射光線在入射光線和法線所決定平面內；

②反射光線和入射光線分居法線兩側；

③反射角等于入射角。

4、光的折射定律：

①折射光線在入射光線和法線所決定平面內；

②折射光線和入射光線分居法線兩側；

③入射角％與折射角,2滿足/sinix=n2sini2.

④當光由光密介質向光疏介質中傳播，且入射角大于臨界角C時，將發生全

面反射現象（折射率為勺的光密介質對折射率為〃2的光疏介質的臨界角

.C〃2

sine=—

)0

§1.2光的反射

1.2.1、組合平面鏡成像:

1.組合平面鏡由兩個以上的平面鏡組成

的光學系統叫做組合平面鏡，射向組合平面鏡

的光線往往要在平面鏡之間發生多次反射，因

而會出現生成復像的現象。先看一種較簡單的

圖l-2-l

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現象，兩面互相垂直的平面鏡（交于〃點）鏡間放一點光源S（圖1-2-1）,S

發出的光線經過兩個平面鏡反射后形成了5、§2、S3三個虛像。用幾何的方

法不難證明：這三個虛像都位于以。為圓心、〃S為半徑的圓上，而且S和號、

S和S2、S|和S3、$2和S3之間都以平面鏡（或它們的延長線）保持著

對稱關系。用這個方法我們可以容易地確

定較復雜的情況中復像的個數和位置。一一'

兩面平面鏡A0和B0成60。角放置（圖

1-2-2）,用上述規律，很容易確定像的位置:

①以。為圓心、為半徑作圓；②過S做/0

和陽的垂線與圓交于耳和$2；③過，和冬作S3

圖1-2-2

8〃和加的垂線與圓交于和S,；④過S3和

$4作加和8〃的垂線與圓交于$5,S|~Ss便是S在兩平面鏡中的5個像。

雙鏡面反射。如圖1-2-3,兩鏡面間夾角。=15

,04=10cm,A點發出的垂直于心的光線射向。后

圖1-2-3

在兩鏡間反復反射，直到光線平行于某一鏡面射

出，則從1點開始到最后一次反射點，光線所走的路程是多少?

如圖1-2-4所示，光線經4第一次反射的反射

線為BC,根據平面反射的對稱性，BC'=BC,且/

C1.

BOC'=a。上述4，民均在同一直線上，因此

光線在4、人之間的反復反射就跟光線沿A6C'直ACL2

線傳播等效。設N'是光線第〃次反射的入射點，且

圖1-2-4

該次反射線不再射到另一個鏡面上，則〃值應滿足

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90°/

的關系是〃"90°4（〃+1）。，ao取n=5,NN'O4=75°,總路程

AN'=OAtg5cx=37.3cm

2、全反射

全反射光從密度媒質1射向光疏媒質2,當入

射角大于臨界角a=sin-'/時，光線發生全反射。

全反射現象有重要的實用意義,如現代通訊的

重要組成部分——光導纖維，就是利用光的全反射圖1-2-5

現象。圖-2-5是光導纖維的示意圖。AB為其端面，纖維內芯材料的折射率

々=L3,外層材料的折射率〃2=12,試問入射角在什么范圍內才能確保光在光

導纖維內傳播?

圖上2-5中的r表示光第一次折射的折射角，B表示光第二次的入射角，只

要6大于臨界角，光在內外兩種材料的界面上發生全反射，光即可一直保持在纖

維內芯里傳播。

{3=sin-1幾2i

=sin'；=sin'百=67.4"==]_夕=90°-67.4"=226'

sinz/sinr=1.3/1

只要sini<0,50,i<30"即可。---------------立_

例1、如圖1-2-6所示，48表示一平直的平MabN

面鏡，片鳥是水平放置的米尺（有刻度的一面朝A、、、_______________

著平面鏡），/網是屏，三者相互平行，屏助V上的圖1-2-6

a力表示一條豎直的縫（即a6之間是透光的）。某人眼睛緊貼米尺上的小孔S（其

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位置如圖所示)，可通過平面鏡看到米尺的一部分刻度。試在本題圖上用三角板

作圖求出可看到的部位，并在打「2上把這部分涂以標志。

分析：本題考查平面鏡成像規律及成像作圖。人眼通過小孔看見的是米尺

刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必須經過平面鏡反射后，反射光線進入人

的眼睛，人才會看到米尺刻度的像。可以通過兩種方法來解這個問題。

解法一：相對于平面鏡AB作出人眼S的像5'。連接Sa并延長交平面鏡于

點C,連接S'與點C并延長交米尺片舄于點E,點E就是人眼看到的米尺刻度的

最左端；連接并延長交米尺4P2于點F,且與平面鏡交于D,連接S與

點D,則點F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E與F之間的米尺刻度就是人

眼可看到部分，如圖12-7所示。

解法二：根據平面鏡成像的對

稱性，作米尺4P2及屏助V的像，

，/

分別是片p2及MN,a、6的像分

別為晨/，如圖1-2-8所示。連接

/，

Sa交48于點C,延長并交片02于

點、E',過點￡作6P2(力㈤的垂線,

交于點反此點就是人眼看到的米尺刻度的最左端；連接助'交14于點〃延長

并交與鳥于點尸，過點F'作尸班(AB)的垂線尸上交于點E點夕就是人眼看

到的米尺刻度的最右端。跖部分就是人眼通過平面鏡可看見的米尺部分。

點評：平面鏡成像的特點是物與像具有對稱性。在涉及到平面鏡的問題中,

利用這一特點常能使問題得以簡潔明晰的解決。

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例2、兩個平面

鏡之間的夾角為45

°、60°、120°o而物

體總是放在平面鏡

的角等分線上。試分

別求出像的個數。

分析：由第一面

鏡生成的像，構成第

二面鏡的物，這個物

(d)

由第二面鏡所成的圖1-2-9

像，又成為第一面鏡

的物，如此反復下去以至無窮。在特定條件下經過有限次循環，兩鏡所成像重合,

像的數目不再增多，就有確定的像的個數。

解:設兩平面鏡/和8的夾角為2，，物產處在他們的角等分線上，如圖『2-9

(a)所示。以兩鏡交線經過的。點為圓心，8為半徑作一輔助圓，所有像點都

在此圓周上。由平面鏡/成的像用幾八…表示，由平面鏡8成的像用鳥，鳥…表

示。由圖不難得出：

幾03…在圓弧上的角位置為

(2%+1)仇尸2，巴…在圓弧上的角位置為

2——(2k-1)。°

其中4的取值為k=l,2,…

若經過4次反射，力成的像與8成的像重合,

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則(24+1)6=2"一(2左一1)。

即k~20

71

26=45°

當4時,k=4,有7個像，如圖1-2-9

(a)所示；

20=60"=—

當3時，k=3,有5個像，如圖

1-2-9(b)所示；

w-izu=—

當3時，k=1.5,不是整數，從

圖1-2-10(d)可直接看出，物產經鏡A成的像

在鏡8面上，經鏡8成的像則在鏡/面上，所以

有兩個像。

圖1-2-11

例3、要在一張照片上同時拍攝物體正面和

幾個不同側面的像，可以在物體的后面放兩個直立的大平面鏡和使物體

和它對兩個平面鏡所成的像都攝入照像機，如圖1-2T1所示。圖中帶箭頭的圓

圈。代表一個人的頭部(其尺寸遠小于冗的長度)，白色半圓代表人的臉部，此

人正面對著照相機的鏡頭；有斜線的半圓代表腦后的頭發；箭頭表示頭頂上的帽

子，圖1-2T1為俯視圖，若兩平面鏡的夾角NA0B=72。，設人頭的中心恰好位于

角平分線"1上，且照相機到人的距離遠大于到平面鏡的距離。

1、試在圖1-2-11中標出P的所有像的方位示意圖。

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上得到的所有的像（分別用空白和斜線表示臉和頭發，用箭頭表示頭頂上的帽

子）。

本題只要求畫出示意圖，但須力求準確。

解：本題的答案如圖1-2-13所示。

例4、五角樓是光學儀器中常用的一種元件，如圖1-2T4所示。棱鏡用玻

璃制成，BC、切兩平面高度拋光，AB、，'兩平面高度拋光后鍍銀。試證明：經

灰面入射的光線，不管其方向如何，只要它能經歷兩

次反射（在13與龍面上），與之相應的由切面出射

的光線，必與入射光線垂直。：卜巴金

解：如圖1-2-15所示，以，表示入射角，i表

圖1-2-14

示反射角，r表示折射角，次序則以下標注明。光線

自透明表面的a點入射，在棱鏡內反射兩次，由⑦面的（9點出射。可以看得出,

在鹿面的6點；

入射角為，2=八+22.5。

反射角為2z2=fj+22.5

在四邊形姐）。中,

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p

a=90"-i2=90--22.50=67.5"-八

0=360°-2x112.5°-a=135°—（67.5"-rj

=67.5"+八

i3=90。一萬=22.5"-八

在.l\cdb中

Ncdb=180°—（1+z：）-&+'，）

一2（0+22.5°）-2（22.5°一外）=90

圖1-2-15

這就證明了：進入棱鏡內的第一條光線

ab總是與第三條光線ce互相垂直。

由于棱鏡的。角是直角，A=360°-270°-Ndec=90°-Ndec=k設棱鏡的折射

率為〃，根據折射定律有

sin/j=nsinrxsinr4=nsini.

.?F=，4,?.?G=%總是成立的，而與棱鏡折射率的大小及入射角i的大小無關。只

要光路符合上面的要求，由灰面的法線與切面的法線垂直，又有匕=。，」?出射

光線總是與入射光線垂直，或者說，光線經過這種棱鏡，有恒點的偏轉角——90

例6、橫截面為矩形的玻璃棒被彎成如圖1-2T6所示的形狀，//^\\

一束平行光垂直地射入平表面A上。試確定通過表面力進入的光d

<->

全部從表面6射出的叱的最小值。已知玻璃的折射為1.5。皿\B

分析：如圖1-2-17所示，從力外側入射的光線在外側圓界圖廠2.16

面上的入射角較從A內側入射的光線入射角要大，最內側的入射光在外側圓界面

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上的入射角a最小。如果最內側光在界面上恰好發生全反射，并且反射光線又剛

好與內側圓相切，則其余的光都能保證不僅在外側圓界面上，而且在后續過程中

都能夠發生全反射，并且不與內側圓相交。因此，抓住最內側光線進行分析，使

其滿足相應條件即可。

解：當最內側光的入射角a大于或等于反射臨界角時，入

射光線可全部從8表面射出而沒有光線從其他地方透出。

sin?>—

即要求n

圖1-2-17

,R

sina=-------

而R+d

_A_>1

所以R+dn

A>_L

即dn-\

-1-1-2

故【d人in〃一11.5-1

點評對全反射問題，掌握全反射產生的條件是基礎，而具體分析臨界條件

即''邊界光線”的表現是解決此類問題的關鍵。

例7.普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細絲，由具有圓形截面的纖芯A

和包層6組成，6的折射率小于4的折射率，光纖的端面與圓柱體的軸垂直，由

一端面射入的光在很長的光纖中傳播時，在纖芯4和包層6的分界面上發生多次

全反射。現在利用普通光纖測量流體廠的折射率。實驗方法如下：讓光纖的一端

（出射端）浸在流體尸中。令與光纖軸平行的單色平行光束經凸透鏡折射后會聚

在光纖入射端面的中心以經端面折射

圖1-2-18

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進入光纖，在光纖中傳播。由于〃點出發的光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸

的夾角為“。，如圖1-2T8所示。最后光從另一端面出射進入流體用在距出射

端面々處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏〃在〃上出現一圓形光斑，測出其直

徑為4,然后移動光屏。至距光纖出射端面外處，再測出圓形光斑的直徑乙，

如圖1-2-19所示。

(1)若已知力和8的折射率分別為心與〃八求被測流體廠的折射率g的

表達式。

(2)若〃A、心和。。均為未知量，如何通過進一步的實驗以測出〃F的值？

分析光線在光纖中傳播時，只有在纖芯/與包層8的分界面上發生全反射

夾角為a的光線，射至/、8分界面的入射角

為i,反射角也為i,該光線在光纖中多次反射時的入射角均為i,射至出射端

面時的入射角為a。若該光線折射后的折射角為風則由幾何關系和折射定可得

i+a=90°①

nAsintz=nFsin^②

當z.大于全反射臨界角％時將發生全反射，沒有光能損失，相應的光線將以

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不變的光強射向出射端面。而，＜ic的光線則因在發生反射時有部分光線通過折

射進入8,反射光強隨著反射次數的增大而越來越弱，以致在未到達出射端面之

前就已經衰減為零了。因而能射向出射端面的光線的］.的數值一定大于或等于"

仆的值由下式決定：

nAsin以=〃Br(N

③一3巴三子廣…三三4.

與‘C對應的a值為

圖1-2-20

ac=90。-ic

④

%sin。。＞6；一溫時,由。發出的光束中，只有“4冊的光線才滿足的條

件下，才能射向端面，此時出射端面處a的最大值為

a

?max=c=90°-ic⑤

若“o＜4,即〃入sina。〈病二怖時，則由0發出的光線都能滿足’＞電的

條件，因而都能射向端面，此時出射端面處a的最大值為

々max=aQ⑥

端面處入射角a最大時，折射角J也達最大值，設為夕由②式可知

〃FSinSmax=〃廝%⑦

由⑥、⑦式可得，當他＜與時，

_nsina

〃F—A0

Sin%⑧

由③至⑦式可得，當？外時,

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n.cosi加一"；

n,.=--c-----=----------

sin%*sin6111ax

⑨

4g的數值可由圖1-2-21上的兒何

關系求得為

d2—d\

Sin/ax=k=,2

加@-4)/2]2+他-砧2

⑩

于是〃F的表達式應為

=nAsinaJ出；4)+(為-h,)2/@”).@<%)

(11)

J(號3+(…y

〃/=J〃：一〃:-----(([—d)--------------(M2)

2(12)

(2)可將輸出端介質改為空氣，光源保持不變，按同樣手續再做一次測量,

可測得%、4、%,這里打撇的量與前面未打撇的量意義相同。已知空

氣的折射率等于1，故有

當《<occ時,

4)/21+出_的2

1=nAsin/

(4-4')/2(13)

當%2%時

"4-4)/21+出一的2

1=7^4-??

(匕-4')/2(14)

將(11)(12)兩式分別與(13)(14)相除，均得

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\2

+(—4)

2)

〃F

d「d4（乙-4）/21+（其一的2

(15)

此結果適用于％為任何值的情況。

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§1.3光的折射

1.3.1、多層介質折射

如圖：多層介質折射率分別為〃"%，%…則由折射

定律得：

"Isinil=n2sinz2=…=&sinik

1.3.2、平面折射的視深

圖1-3-1

在水中深度為力處有一發光點0，作制垂直于水面,

求射出水面折射線的延長線與。。交點2'的深度/?'與入射角i的關系。

4

n=—,

設水相對于空氣的折射率為3,由折射定律得nsini=smi

令0M=x,則

x=dtgi=d'?tgi'

,,,tgidj]_("sini)2

a=d---；=-------------

于是tgincosi

上式表明，由0發出的不同光線，折射后的延長

線不再交于同一點，但對于那些接近法線方向的光

線，i=0,則sin?”。，cosi=l于是

,,d

a=—

n

圖1-3-2

這時d'與入射角/無關，即折射線的延長線近

似地交于同一點Q’,其深度是原光點深度的7一々。

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如圖1-3-3所示，助V反射率較低的一個表面，溝是背面鍍層反射率很高的

另一個表面,通常照鏡子靠

鍍銀層反射成像，在一定條

件下能夠看到四個反射像,

其中一個亮度很底。若人離

鏡距離/,玻璃折射率n,

玻璃厚度d，求兩個像間的距離。

圖中S為物點，S'是經助V反射的像,若51況,S3依次表示脈面折射,pQ

面反射和，版面再折射成像，由視深公式得

0,5,=nO,S,02s2=。2§|=。田+d,。凡

_。。+02s2_d+nl+d2d

。自=-----------=---------=1+一

nnn

o.s.-o,sr=—

故兩像間距離為?

1.3.3、棱鏡的折射與色散

入射光線經棱鏡折射后改變了方向，出

射光線與入射光線之間的夾角稱為偏向

角，由圖1-3-4的幾何關系知

d=(iA-z2)+(?f-Z2)

圖1-34

=Z|+匕—oc

其中sin/]=/isinz2sini；="sini；

①當%,a很小時，/也，叫=h即

6=(77-7)a

圖135

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厚度不計頂角a很小的三棱鏡稱之為光楔，對近軸光線而言，6與入射角大小無

關，各成像光線經光楔后都偏折同樣的角度6,所以作光楔折射成像光路圖時可

畫成一使光線產生偏折角的薄平板，圖13-5。設物點S離光楔L則像點S'在S

的正上方。

h=lo=(n-l)al諄6=什1)a]o

②當棱鏡中折射光線相對于頂角a對稱成等腰三角形時，L=i',‘2=4。

..ct

sinz,=sini.=nsin—

112

3=2arcsin(〃sin^)—a

圖1-3-7

此式可用來測棱鏡的折射率。

由于同一種介質對不同色光有不同的折射率，各種色光的偏折角不同，所以

白光經過棱鏡折射后產生色散現象。虹和霓是太陽被大氣中的小水滴折射和反射

形成的色散現象。陽光在水滴上經兩次折射和一次反射如圖13-6。形成內紫外

紅的虹；陽光經小滴兩次折射和兩次反射如圖1-3-7,形成內紅外紫的霓。由于

霓經過一次反射，因此光線較弱，不容易看到。

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1.3.4、費馬原理

費馬原理指出，光在指定的兩點之間傳播，實際的光程總是為最大或保持恒

定，這里的光程是指光在某種均勻介質中通過的路程和該種媒質的折射率的乘

積。

費馬原理是幾何光學中的一個十分重要的基本原理，從費馬原理可以推導出

幾何光學中的很多重要規律。例如光的直線傳播、反射定律，折射定律，都可以

從光程極小推出。如果反射面是一個旋轉橢球面，而點光源置于其一個焦點上，

所有反射光線都經過另一個焦點，所有反射光線都經過另一個焦點，便是光程恒

定的一個例子。止匕外，透鏡對光線的折射作用，也是很典型的。

一平凸透鏡的折射率為〃，放置在空氣中，透鏡面孔的半徑為凡在透鏡外

主光軸上取一點尸'，°F'=『（圖1-3-8）。當平行光沿主光軸入射時，為使所

有光線均會聚于尸'點。試問：（1）透鏡凸面應取什么形狀？（2）透鏡頂點/與

（1）取。一盯坐標系如圖，由光線8尸和NMF，的

等光程性，得

nx+^f/-xY+y2=ylf，2+R2

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整理后，得到任一點y)的坐標x,y應滿足的方程為

z/----，--------------\2

2(nJf2+R2-f'}

(/—I)X-7J~y2

n--1n2-1

7

_n4f，2+R2-f〃/'-/'、爐

XA-~a--------------------

令/_I,“2_],則上式成為

2221

(n-l)(x-x0)-y-a

這是雙曲線的方程，由旋轉對稱性，透鏡的凸面應是旋轉雙曲面。

(2)透鏡頂點力的位置應滿足

2

(“2-1)(^4-x0)=a~

尸+廢

aJ

X=x

Ao__I7-

或者Vn2-1n-\

可見,對于一定的〃和/，司由斤決定。

(3)因點尸在透鏡外，即4"廣，這是對R的限制條件，有

、尸+/一/，

n-\

即要求

討論在極限情形，即R&后F時,有如下結果:

XA-：-J

n-\

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即點A與點尸重合。又因

a=0

故透鏡凸面的雙曲線方程變為

(n2-l)(x-D2-/=0

圖1-3-9

即y=±J"2

雙曲線退化成過點尸的兩條直線，即這時透鏡的凸面變成以V為頂點的圓錐面,

如圖1-3-9所示。考慮任意一條入射光線4V,由折射定律有〃sin?=sin。,，由兒

何關系

sin6=cose=1

47^

.幻nf'[

sin0t=—.==1q兀

故

即所有入射的平行光線折射后均沿圓錐面到達點尸，此時的角&就是全反射的臨

與WV平面成45"的平行光束射到玻璃磚的半圓柱面上,

圖1-3-10

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經玻璃折射后，有部分光能從㈱平面上射出。求能從"V平面射出的光束的寬度

為多少？

分析：如圖1-3-11所示。進入玻璃中的光線①垂直半球面，沿半徑方向直

達球心，且入射角等于臨界角，恰好在。點發生全反射，光線①左側的光線經球

面折射后，射在WV上的入射角都大于臨界角，在助V上發生全反射，不能從物V

射出，光線①右側一直到與球面正好相切的光線③范圍上的光線經光球面折射

后，在物V面上的入射角均小于臨界角，都能從助V面上射出，它們在,加上的出

射寬度即是所要求的。

解：圖1-3-11中,8〃為沿半徑方向入射的光線，\

在。點正好發生全反射，入射光線③在。點與球面相

切，此時入射角，=90。，折射角為r,則有

sinz=nsinr

圖1-3-11

sinr=---

n2

〃=45°

這表示在。點折射的光線將垂直助V射出，與MV相交

于￡點。助V面上您'即是出射光的寬度。

OE=Rsinr=--R

2圖1-3-12

討論如果平行光束是以45°角從空氣射到半圓柱

的平面表面上，如圖1-3T2所示，此時從半圓柱面上出射的光束范圍是多大?

/-sinY——

參見圖1-3-13所示，由折身定律sin45。=j2sinr,得2,r=30°,即所

有折射光線與垂直線的夾角均為30°。考慮在￡點發生折射的折射光線物，如

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果此光線剛好在/點發生全反射，則有

nsinZ.EAO=sin90",而〃=痣，即有NEAO=45",因

用與陽平行，所以NEAO=408=45。，所以

圖1-3-13

9=180。-45。-60。=75。，即射向A點左邊MA區域的折射

光（9<45。）因在半圓柱面上的入射角均大于45°的臨界角而發生全反射不能

從半圓柱面上射出，而/點右邊的光線（。>45。）則由小于臨界角而能射出，隨

著小角的增大，當NR?O=45。時，將在。點再一次達到臨界角而發生全反射，

此時NFOC=15°故知能夠從半圓柱球面上出射的光束范圍限制在AC區域上，

對應的角度為75°<9<165。。

點評正確作出光路圖并抓住對邊界光線的分析是解答問題的兩個重要方

向，要予以足夠重視。

例2、給定一厚度為d的平行平板，其折射率按下式變化

〃(%)=

一束光在。點由空氣垂直入射平板，并在A點以角a出|0.

射（圖1-3-14）0求A點的折射率n”并確定A點的位置及圖13-14

平板厚度。（設〃o=L2/=13c"z,a=3（r）。

解：首先考慮光的路線（圖1-3-15）0對于經過一系列不同折射率的平行平

板的透射光，可以應用斯涅耳定律

sin/?2nsin/?3n2

更簡單的形式是

幾］sin=n2sin瓦=n3sin/?3=???

高中物理競賽《光學》

這個公式對任意薄層都是成立的。在我們的情形里，折射率只沿X軸變化,

在平板內任一點有圖1-3-16

qsin四=〃。

〃，與x的關系已知，因此沿平板中的光束為

r-x

sinA=—=1--

nxr

圖(1-3-16)表明光束的路徑是-一個半徑為力”的圓，從而有

現在我們已知道光的路徑，就有可能找到問題的解答。按折射定律，當光在

/點射出時，有

sinasina

Yl----------------------------=--------------

*sin(90°—/A)cos0A

因為n故有

Asin^=nOj

于是

sina

高中物理競賽《光學》

在本題情形=1.3

得出/點的x坐標為x=lcm0

光線的軌跡方程為

y2+(1+x)2=

代入x=lcm,得到平板厚度為y=d=5cm

A)--1

例3、圖1-3-17表示一?個盛有折射率為〃的液體的槽，:蘭-蘭-三二/三；-二-三

槽的中部扣著一個對稱屋脊形的薄壁透明罩D,8,頂角至三^

為28,罩內為空氣，整個罩子浸沒在液體中，槽底46的

中點處有一個亮點G請求出：位于液面上方圖標平面內的

圖1-3-17

眼睛從側面觀察可看到亮點的條件。

解：本題可用圖示平面內的光線進行分析，并只討論從右側觀察的情形。

如圖1-3T8所示，由亮點發出的任一光線"將經過兩次折射而從液面射出。由

折射定律，按圖上標記的各相關角度有5--Mm

sina="sin，

sin卜=—sin6

n

圖1-3-18

S<7t12

勿〈萬/2(/?+e)

如果液內光線入射到液面上時發生全反射，就沒有從液面射出的折射光線。

高中物理競賽《光學》

全反射臨界角Y。應滿足條件

sinr=1/〃

可見光線。經折射后能從液面射出從而可被觀察到的條件為

/</（4）

或siny=l/〃（5）

現在計算sin7,利用（3）式可得

sin7=cos（夕+,）=cos0cos夕一sinsin（p

由（1）式可得

由此

〃sin/=coseJn2-sin2a-nsinasin(p

又由(1)式

zzsin/=cos8Jn2-sin2a-nsinasincp(g)

由圖及(1)、(2)式，或由(6)式均可看出，a越大則y越小。因此，如

果與a值最大的光線相應的r設為乙>九，則任何光線都不能射出液面。反之,

只要九<九，這部分光線就能射出液面，從液面上方可以觀察到亮點。由此極

端情況即可求出本題要求的條件。

自。點發出的a值最大的光線是極靠近切的光線，它被龍面折射后進入液

體，由(6)式可知與之相應的％"；

a=n!2.-(p

22

“sinym=cos(jpyJn-cos(p-cos/sin(p<1

能觀察到亮點的條件為

高中物理競賽《光學》

nsinym<1

即cos夕J/-cos2cp-cos^sin^<1

上式可寫成

cos(pyjn2-cos2(p<1+cosQsine

取平方

cos2(p(n2-cos2(p)<1+2cos^?sin(p4-cos2夕(1-cos2cp)

化簡后得

(n2-cos2(p)<l+2cos^sin^=cos2夕+sin29+2cos8sin夕

故(/J-l)cos2(p<(cos夕+sin夕T

平方并化簡可得

tanQAJ"?-1-1

這就是在液面上方從側面適當的方向能看到亮點時〃與。之間應滿足條件。

例4、如圖1-3T9所示，兩個頂角分別為四=60'和%=30°的棱鏡膠合在

一起（AC=90。）。折射率由下式給出:

仇b

%=%+才.2

%=。2+9

其中

圖1-3-19

%=1.1;/7)=105w??2

=42

cx2=1.3;%5xl0n/n

1、確定使得從任何方向入射的光線在經過4。面時不發生折射的波長4。確

定此情形的折射率〃?和〃2。

2、畫出入射角相同的、波長為4纖、”。和兒:的三種不同光線的路徑。

3、確定組合棱鏡的最小偏向角。

高中物理競賽《光學》

4、計算平行于加入射且在離開組合棱鏡時仍平行于加的光線的波長。

解：1、如果％=〃2,則從不同方向到達/C面的

波長為4的光線就不折射，即

b.b2

圖1-3-20

因而

在此情形下為=〃2=L5。

2、對波長比%長的紅光，〃?和〃2均小于1.5o反之，對波長比4短的藍光,

兩個折射率均比L5要大。現在研究折射率在/C面上如何變化。我們已知道,

對波長為4的光，％1=1。

如果考慮波長為力紅而不是乙的光，則由于仇>%,所以〃2/%>1。同理，

對藍光有〃2/%<1。現在我們就能畫出光線穿過組合棱鏡的路徑了（圖1-3-20）o

3、對波長為友的光，組合棱鏡可看作頂角為30。、折射率為〃=j.5的單一

棱鏡。

我們知道，最小偏向在對稱折射時發生，即在圖1_3~21中15°

的a角相等時發生。

根據折射定律，/|

sina=]§圖1-3-21

sin15因而a=22°50'

偏向角為

b=2a—30°=15°40/

4、利用圖「3-22中的數據，可以寫出

高中物理競賽《光學》

sin30°_sin（60"-a）=n2

1

sina_；sin30°n]

消去a后得

=〃；+〃2+1

經變換后得圖1-3-22

4

（3〃：-n2-l）A+（6a向一2a2b2）矛+3。：一醫=。這是矛的二次方程。求

解得出

4=1.18/7m

例5、玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內裝一種在紫外線照射下會發出

綠色熒光的液體，即液體中的每一點都可以成為綠色光源。已知玻璃對綠光的折

射率為多,液體對綠光的折射率為〃2。當容器壁的內、外半徑之比r：R為多少

解：（1）當叫＜%時，因為是要求A的最小值，所以當叫＜〃2時，應

考慮的是圖1-3-23中這樣一種臨界情況，其中玄光線與容器內壁相切，

切光線和容器外壁相切，即兩次都是臨界折射，此時應該有

sini2_1

sin9007

設此時容器內壁半徑為「。，在直角三角形8（力中，sini2=r0/R。當時，C

處不可能發生臨界折射，即不可能看到壁厚為零；當廠＞廠。時，熒光液體中很多

高中物理競賽《光學》

點發出的光都能在。處發生臨界折射，所以只要滿足

(3)當〃1>%時

因為竹〉〃2,所以熒光液體發出的光在容器內壁上不可能發生折射角為90°

的臨界折射，因此當廠二廠。時，所看到的壁厚不可能為零了。當「>"時，應考慮

的是圖1-3-24中切這樣一種臨界情況，其中48光線的入射角為90°,BC%

線的折射角為。，此時應該有

sin90°_n}

sin/n2

在直角三角形初中有

sinr,=OE/OB

因為圖1-3-23和圖1-3-24中的‘2角是相同的，所以°E=r°,即

sin90°_.

將"小代入，可得當

r/R>\/n2

時，可看到容器壁厚度為零。

上面的討論，圖卜3-23和圖1-3-24中6點和C點的位置都是任意的，故所

高中物理競賽《光學》

得條件對眼的所有位置均能成立（本段說明不可少）。

例6、有一放在空氣中的玻璃棒，折射率〃5,中心軸線長￡=45口力，一端

是半徑為R\-10cm的凸球面。

（1）要使玻璃棒的作用相當于一架理想的天文望遠鏡（使主光軸上無限遠

處物成像于主光軸上無限遠處的望遠系統），取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端

應磨成什么樣的球面？

玻璃棒的望遠系統的視角放大率）。

分析：首先我們知道對于一個望遠系統來說，從主光軸上無限遠處物點發

出的入射光線為平行于主光軸的光線，它經過系統后的出射光線也應與主光軸平

行，即像點也在主光軸上無限遠處，然后我們再運用正弦定理、折射定律及的小

角度近似計算，即可得出最后結果。

解：（1）對于一個望遠系統來說，從主光軸上無限遠處的物點發出的入射

光為平行于主光軸的光線，它經過系統后的出射光線也應與主光軸平行，即像點

也在主光軸上無限遠處，如圖13-25所示，圖中G為左端球面的球心。

由正弦定理、折射定律和小角度近似得

AF}一《_sinr}_11

Risin（/；-八）-r,?/八）n-1①

ZK_i_L

即與=〃一1②

高中物理競賽《光學》

光線尸鳥射至另一端面時，其折射光線為平行于主光軸的光線，由此可知該

端面的球心G一定在端面頂點8的左方，G3等于球面的半徑如圖1-3-25

所示。

仿照上面對左端球面上折射的關系可得

R??-1③

又有BF]=L-AFi④

由②③④式并代入數值可得

R2=5。”⑤

即右端應為半徑等于5面的向外凸面球面。

（2）設從無限遠處物點射入的平行光線用a、b表示，令a過G,6過兒

如圖卜3-26所示，則這兩條光線經左端球面折射后的相交點團即為左端球面對

此無限遠物點成的像點。現在求"點的位置。在MGM中

AM_A"_R]

sin（乃-6）sin（p、sin（e-<p：）⑥

6（P\（1」）

n

圖1-3-26

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⑧

與②式比較可知，即"位于過垂直于主光軸的平面上。上面

已知，玻璃棒為天文望遠系統，則凡是過"點的傍軸光線從棒的右端面射出時都

將是相互平行的光線。容易看出，從"射向G的光線將沿原方向射出，這也就

是過"點的任意光線（包括光些a、b）從玻璃棒射出的平行光線的方向。此方向

與主光軸的夾角即為外。

%_GR_—&

81。2耳BF「R?⑨

由②③式可得

麗-a_&

~BF\-R2_&

82_旦_2

則R2⑩

例7、在直立的平面鏡前放置一個半徑為A的球形玻璃魚缸，缸壁很薄，其

中心離鏡面為34,缸中充滿水。遠處一觀察者通過球心與鏡面垂直的方向注視魚

缸，一條小魚在離鏡面最近處以速度/沿缸壁游動。求觀察者看到魚的兩個像的

相對速度。水的折射率爐4/3。見圖1-3-27和圖1-3-28。

解：魚在1秒鐘內游過的距離為Ko我們把這個距離當作物，而必須求出

?

兩個不同的像。在計算中，我們只考慮近軸光線和2J''''、二二^'二一

小角度，并將角度的正弦角度本身去近似。-----

在4點游動的