第第頁2022-2023學年四川省成都市十縣市高一（下）期末數學試卷（含解析）2022-2023學年四川省成都市十縣市高一（下）期末數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知，則()

A.B.C.D.

2.已知，為共線向量，且，，則()

A.B.C.D.

3.已知為虛數單位，復數的共軛復數為，且滿足，則()

A.B.C.D.

4.，是不同的直線，，，是互不相同的平面，下列說法正確的是()

A.若直線，在平面內，且均平行平面，則平面與平面平行

B.若平面平行直線，直線平行平面，則平面與平面平行

C.若平面垂直平面，平面垂直平面，則平面與平面平行

D.若直線垂直平面，直線垂直平面，則直線與直線平行

5.在中，，，，則的值為()

A.B.C.D.

6.已知，，分別為三個內角，，的對邊，且滿足，則為()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.以上皆有可能

7.“辛普森公式”給出了求幾何體體積的一種估算方法：幾何體的體積等于其上底面的面積、中截面過高的中點且平行于底面的截面的面積的倍、下底面之和乘以高的六分之一，即我們把所有頂點都在兩個平行平面內的多面體稱為擬柱體，在這兩個平行平面內的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側面，中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思就是指上下底面皆為矩形的擬柱體，已知某個“芻童”如圖所示，，，，，且體積為，則它的高為()

A.B.C.D.

8.設正三棱錐的底面的邊長為，側面與底面所成的二面角的余弦值為，則此三棱錐的體積為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.的內角，，的對邊分別為，，，下列四個結論正確的是()

A.

B.若，則為

C.若，則為等腰直角三角形

D.若，則是鈍角三角形

10.九章算術是我國古代的數學經典名著，它在幾何學方面的研究比西方早一千年，在九章算術中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”如圖，“鱉臑”幾何體中，平面，，于點，于點設，，，則有()

A.四面體最長的棱為B.平面平面

C.，，兩兩互相垂直D.

11.已知點是所在平面內任意一點，下列說法中正確的是()

A.若，則為的重心

B.若，則為的內心

C.若為的重心，是邊上的中線，則

D.若，則

12.下列各式中，值為的是()

A.

B.

C.

D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.化簡的結果是______．

14.______．

15.若復數滿足，為虛數單位，表示的共軛復數，則的取值范圍為______．

16.如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，且，，則該四棱錐的外接球的表面積為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知平面向量，，，且，，．

若，求實數，的值；

若，求實數的值．

18.本小題分

如圖，在直三棱柱中，底面為正三角形，側面為正方形，，且，分別是，的中點．

求證：平面；

求直線與平面所成角．

19.本小題分

用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如表：

_______________

_____

請將上表數據補充完整，并求出函數的解析式；

當時，求的值域．

20.本小題分

如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，邊長為，，點為側棱的中點，過，，三點的平面交側棱于點求四棱錐的體積；

求證：．

21.本小題分

世界大學生夏季運動會，素有“小奧運會”之稱，由國際大學生體育聯合會主辦，只限在校大學生和畢業不超過兩年的大學生年齡限制為歲參加的世界大型綜合性運動會始辦于年，其前身為國際大學生運動會第屆世界大學生夏季運動會即將在成都拉開帷幕，為了配合大運會的基礎設施建設，組委會擬在成都東安湖公園一角修建具有成都文化特色的觀景步道如圖在中，，是邊上一點，米，．

若米，求；

當，記，求當角取何值時，的面積最大，并求出這個最大值，

22.本小題分

已知函數，函數的圖象向左平移個單位，再向上平移個單位得到的圖象，．

若，求；

若對任意，存在使得成立，求實數的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因為，

所以．

故選：．

由已知利用二倍角的余弦公式即可求解．

本題考查了二倍角的余弦公式在三角函數求值中的應用，屬于基礎題．

2.【答案】

【解析】解：共線，

，解得，

，

．

故選：．

根據共線即可求出的值，從而得出向量的坐標，進而得出的值．

本題考查了共線向量的坐標關系，根據向量的坐標求向量的長度的方法，考查了計算能力，屬于基礎題．

3.【答案】

【解析】解：，

則，

，

故．

故選：．

根據已知條件，結合復數的四則運算，以及共軛復數的定義，即可求解．

本題主要考查復數的四則運算，以及共軛復數的定義，屬于基礎題．

4.【答案】

【解析】解：對于，若直線，在平面內，且均平行平面，則平面與平行或相交，故A錯誤；

對于，若平面平行直線，直線平行平面，則平面與平面平行或相交，故B錯誤；

對于，若平面垂直平面，平面垂直平面，則平面與平面平行或相交，故C錯誤；

對于，若直線垂直平面，直線垂直平面，則由線面垂直的性質得直線與直線平行，故D正確．

故選：．

根據線面的位置關系可判斷，利用線面垂直的性質可判斷．

本題考查線面的位置關系、線面垂直的性質等基礎知識，考查推理論證能力，是中檔題．

5.【答案】

【解析】解：解法一：由題意有：，，

則，

故；

解法二：由法一可得，

則向量在上的投影為，

由數量積的幾何意義可知：．

故選：．

由題設知為直角三角形，故所求數量積可用定義法或者數量積的幾何意義兩種方式求解．

本題考查平面向量的數量積運算，屬基礎題．

6.【答案】

【解析】解：，

由正弦定理可得，，

，

，

，

，即，

，

，

，

是直角三角形．

故選：．

由正弦定理，三角函數恒等變換化簡已知等式可得，由，結合可求的值，即可判斷三角形的形狀．

本題考查了正弦定理，三角函數恒等變換在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．

7.【答案】

【解析】解：上底面為，下底面為，中截面是過高的中點，且平行于底面的截面，

根據中位線定理得，，

所以中截面為，

計算該幾何體的面積為：，

解得，所以幾何體的高為．

故選：．

求出上下底面積和中截面面積，代入公式即可求出高．

本題考查了空間幾何體的體積公式應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題．

8.【答案】

【解析】解：如圖，

正三棱錐的底面的邊長為，設底面正三角形的中心為，

連接并延長，交于，連接，可得為側面與底面所成二面角的平面角，

，則，．

，

三棱錐的高，

此三棱錐的體積為．

故選：．

由題意畫出圖形，可得側面與底面所成角，求出棱錐的高，代入棱錐體積公式求解．

本題考查棱錐體積的求法，考查運算求解能力，是中檔題．

9.【答案】

【解析】解：因為，故，A正確；

若，由余弦定理可得，由為三角形內角得，B正確；

若，則或，即或，則為等腰三角形或直角三角形，C錯誤；

若，則，由余弦定理得，

所以為鈍角，是鈍角三角形，D正確．

故選：．

由已知結合正弦定理，余弦定理及正弦函數的性質檢驗各選項即可判斷．

本題主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的應用，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：由平面，，可得，，，，

所以，，，，

則，，，，所以四面體最長的棱為，故A、都正確；

如果平面平面，，可得平面，即有，又，可得平面，

即有，與矛盾，故B錯誤；

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

所以，故D正確．

故選：．

由線面垂直的判定定理和性質定理、面面垂直的性質定理、直角三角形的勾股定理和銳角三角函數的定義，可判斷正確結論．

本題考查線線、線面和面面的位置關系，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：取的中點，連接，則，

若，則，則，，三點共線，且，

則為的重心，故A正確；

若，則為的外心，不一定是內心，故B錯誤；

若為的重心，是邊上的中線，則，則，故C錯誤；

取的中點，連接，則，

若，則，則，，三點共線，且，

則，故D正確．

故選：．

取的中點，則，得，即可判斷；

若，則為的外心，不一定是內心，即可判斷；

由題意，則，即可判斷；

取的中點，則，得，，即可判斷．

本題主要考查三角形的五心，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對于，，故A正確；

對于，，

，故B錯誤；

對于，，

，故C正確；

對于，，

，故D正確．

故選：．

由三角恒等變換、誘導公式、同角三角函數的基本關系等知識化簡各選項即可．

本題考查三角恒等變換、誘導公式、同角三角函數的基本關系，屬于基礎題．

13.【答案】

【解析】解：．

故答案為：．

根據已知條件，結合向量的線性運算，即可求解．

本題主要考查向量的坐標運算，屬于基礎題．

14.【答案】

【解析】解：因為．

故答案為：．

根據兩和差的正弦公式計算即可．

本題考查了兩個差的正弦公式，屬于易做題．

15.【答案】

【解析】解：，

則，

故，

故的取值范圍為．

故答案為：．

根據已知條件，結合復數模公式，即可求解．

本題主要考查復數模公式，屬于基礎題．

16.【答案】

【解析】解：將四棱錐補成長方體如圖：

則此四棱錐的外接球即為長方體的外接球，

長方體的對角線長為，

所以四棱錐的外接球的直徑為，即半徑，

則該四棱錐的外接球的表面積為．

故答案為：．

將四棱錐補成長方體，求出長方體的對角線長，即可得外接球的半徑，進而得表面積．

本題考查了四棱錐外接球的表面積計算，屬于中檔題．

17.【答案】解：，，，，

則，解得；

，，

則，

，，

，解得．

【解析】根據已知條件，結合向量相等的條件，即可求解；

根據已知條件，結合向量垂直的條件，即可求解．

本題主要考查向量相等的條件，以及向量垂直的條件，屬于基礎題．

18.【答案】證明：分別取，的中點，，連接，，，則，，

因為平面，平面，所以平面，

同理可得，平面，

又，、平面，

所以平面平面，

因為平面，所以平面．

解：由知，，

因為直三棱柱，所以平面，所以平面，

又平面平面，所以與平面所成的角就是直線與平面所成角，即為所求，

在中，，，

所以，

因為，所以，

故直線與平面所成角為．

【解析】分別取，的中點，，連接，，，可證平面平面，再由面面平行的性質定理，得證；

由平面，平面平面，知即為所求，再由三角函數的知識，得解．

本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握線面平行的判定定理，面面平行的判定定理與性質定理，線面角的定義是解題的關鍵，考查空間立體感，推理論證能力和運算能力，屬于基礎題．

19.【答案】解：把表格填完整：

根據表格可得，可得，

，

再根據五點法作圖可得，

，

函數的解析式為：

，可得，

．

【解析】由函數的最值求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得函數的解析式，進而可將表數據補充完整．

利用正弦函數的性質即可求解．

本題主要考查由函數的部分圖象求解析式，由函數的最值求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，正弦函數的單調性以及定義域、值域，屬于中檔題．

20.【答案】解：平面，平面，

，

，，

，

故四棱錐的體積；

證明：平面，平面，

，

，，，平面，

平面，又平面，

，

，

為側棱的中點，

，

，，平面，

平面，

平面，

．

【解析】根據已知條件，求出，再結合四棱錐的體積公式，即可求解；

根據已知條件，先證明平面，，再結合線面垂直的判定定理，即可求證．

本題主要考查棱錐體積的求解，考查轉化能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：在中，，

即為，解得，

可得銳角，

所以，

在中，米；

在中，，，

因為，所以，解得，

由于為銳角，可得，

即的最小值為，進而取得最大值，

所以的最大值為，

的面積最大值為平方米．

【解析】運用正弦定理和直角三角形的銳角三角函數，計算可得所求值；

由正弦定理和正弦函數的性質求得角的最小值，進而達到的最大值，可得面積的最大值．

本題考查正弦定理和面積公式，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．

22.【答案】解：因為

，

由，可得，，

所以，，

解得，；

由題意可得，

當時，，，

若對任意，存在使得成立，

則函數，，的值域是的子集，

，，

令，記，

當時，，

，

在上單調遞減，則，即，

由題意得，解得，又，矛盾，所以無解；

當時，，

，

，

在上單調遞減，在上單調遞增，在上單