4.1.2(1)極坐標系高中數學選修4-4坐標系與參數方程學習要點：極坐標系是不同于直角坐標系的另一種坐標系，在這兩種坐標系中都可以確定點的位置，其各有特點。通常情況下，在運動的過程中，若點作平移變動，則選擇直角坐標系；而若點作旋轉變動，則采用極坐標系。4.1.2(1)極坐標系高中數學選修4-4坐標系與參數方程1xyoyzox●●●●oPP(x,y)P(x,y,z)（1）在數軸上，直線上所有點的集合與全體實數的集合建立一一對應；（2）在平面直角坐標系上，平面上所有點的集合與全體有序實數對（x,y）的集合建立一一對應；（3）在空間直角坐標系上，空間上所有點的集合與全體三元有序實數對（x,y,z）的集合建立一一對應；復習回顧

4.1.1直角坐標系xyoyzox●●●●oPP(x,y)P(x,y,z)（1）2

4.1.1直角坐標系數軸空間直角坐標系平面直角坐標系R（x,y)（x,y,z)復習回顧4.1.1直角坐標系數軸空間直角坐標系平面直角坐3建系時，根據幾何特點選擇適當的直角坐標系:（1）若圖形有對稱中心，則可選對稱中心為坐標原點；（2）若圖形有對稱軸，則可選擇對稱軸為坐標軸；（3）建系應使圖形上的特殊點盡可能多的在坐標軸上。建立坐標系是為了確定點的位置。由此，在所創建的坐標系中，應滿足：任意一點都存在一個坐標與之對應；反之，依據一個點的坐標就能確定這個點的位置；而確定點的位置即為求出此點在設定的坐標系中的坐標。復習回顧建系時，根據幾何特點選擇適當的直角坐標系:（1）若圖形有對稱4選擇適當的坐標系，表示邊長為1的正六邊形的頂點。鞏固練習OyxFAEBDC選擇適當的坐標系，表示邊長為1的正六邊形的頂點。鞏固練習Oy5（1）若有一艘軍艦巡邏在海面上，發現前方有一群水雷，如何確定他們的位置以便將它們引爆呢？軍艦水雷群創設情境（1）若有一艘軍艦巡邏在海面上，發現前方有一群水雷，如何確定6創設情境從這向北1000米請問去農行路怎么走？創設情境從這向北1000米請問去農行路怎么走？7請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從這向北走1000米！出發點方向距離在生活中人們經常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。情境分析請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從這向北走1000米！8一、極坐標系的建立：在平面內取一個定點O，叫做極點。引一條射線Ox，叫做極軸。再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向）。這樣就建立了一個極坐標系。xO新課講解一、極坐標系的建立：在平面內取一個定點O，叫做極點。引一條射9二、極坐標系內一點的極坐標的規定:對于平面上任意一點M，用表示線段OM的長度，用表示從Ox到OM的角度，叫做點M的極徑，叫做點M的極角，有序數對（，）就叫做M的極坐標。特別強調：表示線段OM的長度，即點M到極點O的距離；表示從Ox到OM的角度，即以Ox（極軸）為始邊，OM為終邊的角。xOM新課講解二、極坐標系內一點的極坐標的規定:對于平面上任意一點M，用10題組1：說出下圖中各點的極坐標練一練題組1：說出下圖中各點的極坐標練一練11①平面上一點的極坐標是否唯一？②若不唯一，那有多少種表示方法？③坐標不唯一是由誰引起的？④不同的極坐標是否可以寫出統一表達式？特別規定:

當M在極點時，它的極坐標=0，可以取任意值。想一想？①平面上一點的極坐標是否唯一？特別規定:當M在極點時，它的12三、點的極坐標的表達式的研究:XOM如圖：OM的長度為4，請說出點M的極坐標的其他表達式.思考：這些極坐標之間有何異同？思考：這些極角有何關系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。本題點M的極坐標統一表達式：極徑相同，不同的是極角。新課講解三、點的極坐標的表達式的研究:XOM如圖：OM的長度為413題組2：在極坐標系里描出下列各點練一練題組2：在極坐標系里描出下列各點練一練14ABCDEFGOX解析：ABCDEFGOX解析：15四、1、負極徑的定義說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以取負值。對于點M（，）負極徑時的規定：[1]作射線OP，使XOP=[2]在OP的反向延長線上取一點M，使OM=;如圖示：OXPM新課講解四、1、負極徑的定義說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必16OXP=/4M

2、負極徑的實例在極坐標系中畫出點:M（－3，/4）的位置[1]作射線OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延長線上取一點M，使OM=3;如圖示：M（－3，/4）新課講解●OXP=/4M2、負極徑的實例在極坐標系中畫出點:17題組3：說出下圖中當極徑取負值時各點的極坐標練一練題組3：說出下圖中當極徑取負值時各點的極坐標練一練183、關于負極徑的思考“負極徑”真是“負”的嗎？根據極徑定義，極徑是距離，當然是正的。現在所說的“負極徑”中的“負”到底是什么意思？

思考：試把負極徑時點的確定過程，與正極徑時點的確定過程相比較，看看有什么相同，有什么不同？？？？新課講解3、關于負極徑的思考“負極徑”真是“負”的嗎？思考：試194、正、負極徑時，點的確定過程比較OXPOXP[1]作射線OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延長線上取一點M，使OM=3[1]作射線OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一點M，使OM=3M畫出點:（3，/4）和（－3，/4）給定ρ,θ在極坐標系中描點的方法：先按極角找到極徑所在的射線，后按極徑的正負和數值在這條射線或其反向延長線上描點。M4、正、負極徑時，點的確定過程比較OXPOXP[1]作射205、負極徑的實質從比較來看，負極徑比正極徑多了一個操作，將射線OP“反向延長”。OXPMOXPM而反向延長也可以看成是旋轉，因此，所謂“負極徑”實質是針對方向的。這與數學中通常的習慣一致，用“負”表示“反向”。5、負極徑的實質從比較來看，負極徑比正極徑多21負極徑小結：極徑變為負，極角增加。練習：寫出點的負極徑的極坐標（6，）答：（－6，

+π）或（－6，－+π）特別強調：一般情況下（若不作特別說明時），認為≥

0。因為負極徑只在極少數情況使用。負極徑小結：極徑變為負，極角增加。練習：寫出點22五、極坐標系下點的極坐標OXPM探索點M（3，/4）的所有極坐標[1]極徑是正的時候：[2]極徑是負的時候：五、極坐標系下點的極坐標OXPM探索點M（3，/4）的所有23六、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況[1]給定（,）,就可以在極坐標平面內確定唯一的一點M。[2]給定平面上一點M，但卻有無數個極坐標與之對應。原因在于：極角有無數個。OXPM(ρ,θ)…新課講解六、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況[1]給定（,）,24一般地,若(ρ,θ)是一點M的極坐標,則(ρ,θ+2kπ)或(－ρ,θ+(2k

+

1)π)都可以作為它的極坐標.若限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,則除極點外,平面內的點和極坐標就可一一對應了.六、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況一般地,若(ρ,θ)是一點M的極坐標,則(ρ,θ+2kπ)或252.在極坐標系中,與(ρ,θ)關于極軸對稱的點是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD題組41.在極坐標系中，與點(－3,)重合的點是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)2.在極坐標系中,與(ρ,θ)關于極軸對稱的點是()263.在極坐標系中,與點(－8,)關于極點對稱的點的一個坐標是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A3.在極坐標系中,與點(－8,)關于極點對稱的27[3]一點的極坐標是否有統一的表達式？[1]建立一個極坐標系需要哪些要素？極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向。[2]極坐標系內一點的極坐標有多少種表達式？無數.極徑有正有負；極角也有正負且無數個。有.（ρ，2kπ+θ）課堂小結或（-ρ，2kπ+θ+π）[3]一點的極坐標是否有統一的表達式？[1]建立一個極坐標系28課堂小結1、極坐標（ρ，2kπ+θ）和（-ρ，2kπ+θ+π）其中表示同一個點（ρ