安徽省安慶市2022-2023學年高一下學期聯合期末檢測數學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據對數型函數的定義域以及一元二次不等式化簡集合，即可由交運算求解.【詳解】由題意，或，∴．故選：B2．已知a，b均為實數，復數：，其中i為虛數單位，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復數為實數及不等關系列不等式，解一元二次不等式即可.【詳解】由題，所以為實數，即，則有，解得，即a的取值范圍為.故選：A3．如圖，是水平放置的用斜二測畫法得到的直觀圖（其中），若軸，，則的面積為（

）

A． B．4 C．8 D．【答案】C【分析】根據直觀圖和原圖的面積關系，即可求解.【詳解】由題，所以，解得.故選：C4．唐代以來，牡丹之盛，以“洛陽牡丹甲天下”的美名流傳于世．唐朝詩人白居易“花開花落二十日，一城之人皆若狂”和劉禹錫“唯有牡丹真國色，花開時節動京城”的詩句正是描寫洛陽城的景象．已知根據花瓣類型可將牡丹分為單瓣類、重瓣類、千瓣類三類，現有牡丹花n朵，千瓣類比單瓣類多30朵，采用分層抽樣方法從中選出12朵牡丹進行觀察研究，其中單瓣類有4朵，重瓣類有2朵，千瓣類有6朵，則n＝（

）A．360 B．270 C．240 D．180【答案】D【分析】利用分層抽樣中各層之間的比例，結合已知條件列方程求解.【詳解】根據分層抽樣的特點，設單瓣類、重瓣類、千瓣類的朵數分別為，由題意可得，解得，所以．故選：D5．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC為鈍角三角形，且，則c的取值不可能的是（

）A．3 B．4 C．9 D．12【答案】C【分析】分為鈍角或為鈍角兩種情況，求出的取值范圍，得到答案.【詳解】，故，為鈍角三角形，則為鈍角或為鈍角，若為鈍角，則有，即解得；若為鈍角，則有，即，解得．即或．因為，而9不能滿足上述取值范圍.故選：C6．已知向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由投影向量的定義，結合向量數量積和模的坐標運算求解.【詳解】由．故選：A7．某校通過統計學生在校的5次?？紨祵W成績（分數均為整數）決定該學生是否適合進行數學競賽培訓．規定：“5次模考成績均不低于140分”，現有甲、乙、丙三位同學5次?？汲煽?，則根據以下數據能確定適合數學競賽培訓的學生有（

）甲：眾數為140，中位數為145；乙：中位數為145，極差為6；丙：均值為143，其中一次成績為145，方差為1.6．A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．甲乙丙【答案】B【分析】根據中位數以及極差的定義即可判斷甲乙，根據方差的計算即可判斷丙.【詳解】甲同學眾數為140，說明140出現至少兩次，若保證中位數為145，說明另外兩個數不小于145，滿足參加競賽培訓條件；乙同學若最低分為139分，其余分數均為145分時符合“中位數為145，極差為6”，不滿足參加競賽培訓條件；丙同學，設另外四次成績分別為，所以，由于均為整數，所以，滿足參加競賽培訓條件．故選：B8．設函數，若（其中），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函數的性質并作出圖象，將問題轉化為直線與函數的圖象的四個交點問題，結合圖象性質再構造函數，借助單調性求解作答.【詳解】當時，函數在上遞減，函數值集合為，在上遞增，函數值集合為，當時，函數在上遞減，函數值集合為，在上遞增，函數值集合為，作出函數的圖象，如圖，設，

當時，直線與函數的圖象有四個交點，且交點的橫坐標分別為，且，當時，由，解得或，于是，由，得，則，即，而，因此，令，顯然函數在上遞減，且，于是，所以的取值范圍是．故選：D【點睛】思路點睛：涉及同一函數的幾個不同自變量值對應函數值相等問題，可以轉化為直線與函數圖象交點橫坐標問題，結合函數圖象性質求解.二、多選題9．已知m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，命題“若______，則m⊥n”是真命題，則橫線上可以是下列選項中的（

）A．，且 B．，且C． D．，且【答案】BD【分析】根據空間中點線面的位置關系，結合選項即可逐一求解.【詳解】由且，可得，而垂直同一個平面的兩條直線相互平行，則，故A錯誤；由于，所以，又因為，則，故B正確；若，則與平行或異面，故C錯誤；設，在平面內作直線，

如圖，又因為，則，又，所以，因為，所以，從而有，故D正確．故選：BD10．歐拉公式（e為自然對數的底數，i為虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式建立了三角函數與指數函數的關系，在復變函數論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，在復數范圍內關于x的方程的兩根為，其中，則下列結論中正確的是（

）A．復數z＝a＋bi對應的點在第一象限 B．C． D．【答案】BCD【分析】根據歐拉公式可得，進而代入方程中，利用復數相等的充要條件即可求解，結合選項即可逐一求解.【詳解】由題，因為是的一個復數根，則，即，則有，解得所以，對應的點為，在第二象限，故A錯誤；，故B正確；，所以，故C正確；，故D正確．故選：BCD11．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b．c．若，角A的平分線交于點D，，，則以下結論正確的是（

）A． B． C．的面積為 D．【答案】AC【分析】利用面積法求邊驗證選項A；利用內角平分線定理驗證選項B，面積公式計算驗證選項C；余弦定理求邊驗證選項D【詳解】如圖所示，

，則，，由，即有，所以，因為，所以，故A正確；由內角平分線性質可知，，即，故B錯誤；，故C正確；在中，由余弦定理得，所以，故D錯誤．故選：AC12．如圖1，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”．阿基米德多面體是一個有十四個面的半正多面體，其中八個面為正三角形，六個面為正方形、它們的邊長都相等，又稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．如圖2，現有一個邊長為2的二十四等邊體、則關于該二十四等邊體說法正確的是（

）

A．該二十四等邊體的表面積為B．共有8條棱所在直線與直線AB異面，且所成角為C．任意兩個有公共頂點的三角形所在平面的夾角余弦值均為D．該二十四等邊題的外接球的體積為【答案】ACD【分析】根據二十四等邊體的形成過程可知是由8個邊長為2的正三角形和6個邊長為2的正方形構成，即可由面積公式求解A，根據等邊三角形可得與相交的棱中與其成的條數，即可由二十四等邊體的結構特征求解剩余的棱，即可判斷B，根據面面角即可由對稱求解C，根據正方體的外接球即可判斷D.【詳解】由題該二十四等邊體是由8個邊長為2的正三角形和6個邊長為2的正方形構成，所以表面積，故A正確；在與相交的6條棱中，與所成的角是的棱有共有4條，又這4條棱中，每一條棱都有3條平行的棱，故與異面且所成的角是的棱共有12條，故B錯誤；

由圖1知，設任一三角形所在平面與正方形的底面所成角為，取中點為，連接,由于三角形均為等腰三角形，所以故，由于,所以，由對稱性可知任意兩個三角形所在平面的夾角均為，，故C正確；

該二十四等邊體的外接球球心即為原正方體的中心，半徑為球心到任一頂點的距離，易得原正方體邊長為，所以外接球半徑，所以體積，故D正確．故選：ACD三、填空題13．某校高三年級10次?？贾屑淄瑢W的數學成績從小到大依次排列為94，96，98，98，100，101，101，102，102，103，則甲同學在這10次?？贾袛祵W成績的第40百分位數為．【答案】99【分析】根據百分位數的定義直接計算即可【詳解】國灰，所以第40百分位數為第四、五兩數的平均數即為．故答案為：9914．若，且，則．【答案】【分析】根據條件，再利用平方關系即可求出結果.【詳解】．∵，∴．又∵，∴，∴，∴．故答案為：.15．已知事件A，B，C兩兩相互獨立，若，則P（A）＝．【答案】【分析】根據相互獨立事件和對立事件的概率公式結合題意列方程組求解即可.【詳解】因為事件A，B，C兩兩相互獨立，若，所以，，，解得．故答案為：16．如圖是甲烷的球棍結構，它的分子結構為正四面體結構（正四面體是每個面都是正三角形的四面體），碳原子位于正四面體的中心，4個氫原子分別位于正四面體的4個頂點．已知相鄰的兩個氫原子之間的距離為7，若不計原子大小，該正四面體內放入一個圓柱，使得圓柱的下底面在正四面體的底面，則當該圓柱的表面積取得最大值時，圓柱的底面半徑為．

【答案】【分析】利用幾何關系求出圓柱底面半徑為，利用表面積公式表示出表面積幾何二次函數最值求出結果.【詳解】

如圖，不計原子大小后，設5個原子所確定的四面體為正四面體，則其棱長為7，若使圓柱最大，則圓柱的上底面為一個平行于底面的截面所成正三角形的內切圓，設截面正三角形邊長為，設圓柱的高交截面于，連接，圓柱的高為，則，，，由幾何關系可得：，則則圓柱的高，圓柱底面半徑為，所以圓柱表面積：，故當時，取得最大值，此時．故答案為：.四、解答題17．如圖，在中，，，，點P在線段AC上，且有．(1)用向量表示；(2)求的值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）由利用線性表示可求出結果；（2），再利用向量數量積運算即可求出結果.【詳解】（1）因為，所以，所以；（2）由（1）得，，因為，所以．18．為提高全民的身體素質，某市體育局舉行“萬人健步走”活動，體育局通過市民上傳微信走步截圖的方式統計上傳者每天的步數，現從5月20日參加活動的全體市民中隨機抽取了100人的走步數組成樣本進行研究，并制成如圖所示的頻率分布直方圖（步數單位：千步）．

(1)求a的值，并根據直方圖估計5月20日這100位市民走步數的平均數（同一組中的數據用該組區間中點值代表）；(2)按分層抽樣的方式在和兩組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行走步路線調查，求這2人步數都在的概率．【答案】(1)，千步(2)【分析】（1）由各組的頻率和為1可求出a的值，根據平均數的定義結合頻率分布直方圖求解平均數；（2）根據分層抽樣的定義求出在[23，27）和[27，31]兩組中各抽取的人數，然后利用列舉法可求出概率.【詳解】（1）由題有，解得，由頻率分布直方圖的數據，可得這100位市民走步數的平均數：千步；（2）在和兩組中的人數分別為人和人，所以在分組中抽取的人數為人，記為，在分組中抽取的人數為2人，記為，所以這5人中隨機抽取2人的情況有：，共10種取法，其中這2人步數都在的情況只有，共有1種，所以這2人步數都在的概率為．19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，AB＝2，，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，點Q是線段PC的中點．

(1)求三棱錐Q－PAD的體積；(2)求平面PBC與平面BCD夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據面面垂直得線面垂直，由等體積法即可求解,（2）根據面面垂直得線面垂直，進而根據面面角的幾何法求解其平面角，利用三角形的邊角關系即可求解.【詳解】（1）取中點，連接，

∵是正三角形，∴，∵平面平面，且兩平面的交線為，平面，∴平面，∴，，設，；（2）由（1）知平面，平面，故，過作于，連接，∵平面，,∴平面，則，∴即為平面與平面的夾角，在中，，∴．∴．即平面與平面夾角的余弦值為．20．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．(1)求角B的大??；(2)若的外接圓周長為，求BC邊上的中線長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用弦切互化及正弦定理化簡條件，利用三角形的性質結合正切值求角；（2）根據正弦定理求出邊，再利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）因為，根據正弦定理可得，因為，所以，即，因為，所以；（2）由（1），所以，如圖，取中點，連接，

記的外接圓的半徑為，則，解得，根據正弦定理可得，所以，即.根據余弦定理可得，所以，故邊上的中線長為.21．如圖，在斜三棱柱中，四邊形是邊長為2的菱形，，為正三角形，平面平面，點P是棱的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求與平面所成角．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用面面垂直的判定定理即可進行證明；(2)根據幾何關系證明平面，則即為與平面所成的角，再利用幾何關系求出線面角.【詳解】（1）

證明：連接交于點，連接，取中點，連接，∵，且，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵為正三角形，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（2）由（1）得平面平面，平面平面，平面，∴平面，則即為與平面所成的角，又，∴在中，，∵，∴．故與平面所成角為．22．已知函數．(1)當函數是偶函數時，解不等式：；(2)若函數有兩個零點，求實數a的取值范圍．【答案】(1