江西省贛州市五云中學2021年高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知、都是實數，且，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．不充分也不必要條件參考答案：B略2.已知函數f(x)=sin(2x－φ)－cos(2x－φ)（）的圖象關于y軸對稱，則f(x)在區間上的最大值為（

）A.1

B.

C.

D.2參考答案：A點睛：判定三角函數的奇偶性時，往往與誘導公式進行結合，如：若為奇函數，則；若為偶函數，則；若為偶函數，則；若為奇函數，則.3.

函數的遞增區間是（

）

A.〔，）

B.（，〕

C.〔，〕

D.〔，3〕參考答案：C4.已知，，且，則

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知直線，且(其中O為坐標原點)，則實數的值為（

）A.2

B.

C.2或-2

D.參考答案：C略6.一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，則該幾何體的表面積為()

A．4+。w-w*k&s%5￥uB．2+

C．3+

D．6參考答案：C7.當a＞l時，函數f（x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的圖象的交點在(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D考點：函數的圖象與圖象變化．專題：函數的性質及應用．分析：根據對數函數和一次函數的圖象和性質即可判斷解答： 解：∵a＞l時，f（x）=logax的圖象經過第一四象限，g（x）=（l﹣a）x的圖象經過第二四象限，∴f（x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的圖象的交點在第四象限故選：D．點評：本題考查了對數函數和一次函數的圖象和性質，屬于基礎題8.已知數列為等差數列，且，，則（

）A．45

B．43

C．40

D．42

參考答案：D，9.已知全集，集合，，則

（）

A．（0，2）

B．

C．[0，2]

D．

參考答案：D略10.若函數的定義域為［1，8］，則函數的定文域為A．(0,3)

B．[1,3)∪(3,8]

C．[1,3)

D．[0,3)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知α∈（，π），且sin+cos=，則cosα的值．參考答案：﹣【考點】同角三角函數基本關系的運用．【分析】采用“平方”將sin+cos=化簡可得sinα的值，即可求解cosα的值．【解答】解：∵sin+cos=，∴（sin+cos）2=1+sinα=，即sinα=．又∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案為﹣12.地面上放一個半球為的球，在球的正上方與球面的距離為處有一發光點，則在地面上球的陰影面積是

.參考答案：.略13.定義在上的函數滿足是偶函數且是奇函數，又，則

；參考答案：-201314.復數z=（i為虛數單位）的虛部為

．參考答案：1【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：z==i+1的虛部為1．故答案為：1．15.若函數的單調遞增區間是，則

．參考答案：試題分析：當時,為減函數;當時,為增函數,結合已知有.考點：絕對值函數的單調性.16.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A. B.或 C. D.或參考答案：B【分析】分雙曲線的焦點在x軸和y軸兩種情況，由結合漸近線方程可得解.【詳解】焦點在x軸時，焦點在y軸時，.故選B.【點睛】本題主要考查了雙曲線的幾何意義，屬于基礎題.17.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數f（x）=．（1）求f（x）的定義域及最小正周期；（2）求f（x）的單調遞減區間．參考答案：【考點】：三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的定義域和值域；復合三角函數的單調性．【專題】：三角函數的圖像與性質．【分析】：（1）由sinx≠0可得x≠kπ（k∈Z），將f（x）化為f（x）=sin（2x﹣）﹣1即可求其最小正周期；（2）由（1）得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，再由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）即可求f（x）的單調遞減區間．解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）==2cosx（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1∴f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函數y=sinx的單調遞減區間為[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）∴f（x）的單調遞減區間為：[kπ+，kπ+]（k∈Z）【點評】：本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查正弦函數的單調性，注重輔助角公式的考察應用，求得f（x=sin（2x﹣）﹣1是關鍵，屬于中檔題．19.已知數列的前項和為，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.參考答案：（1）當，，解得；當時，，，兩式相減得，化簡得，所以數列是首項為，公比為的等比數列.所以.（2）由（1）可得，所以，，，兩式相減得，所以數列的前項和.因為，所以.20.（12分）解關于的不等式參考答案：解：由原不等式得當時，解得當時，解得當時，解得所以，當時，不等式的解集為

當時，不等式的解集為

當時，不等式的解集為21.(14分)設數列的前n項和為，若，N*，（1）求數列的通項公式；ks5u（2）設，求數列的前n項和為；（3）令，數列的前n項和為，試求最小的集合,使。參考答案：解：∵，∴當時，，

……2分∴，

…………3分∴，∴數列從第二項起成等比數列，而，∴

………4分∴

數列的通項公式為

………5分（2），

………………7分；

……………9分

（3），

……10分∴又，∴遞增，∴，

………………13分綜上，，∴＝。

……………14分22.已知函數f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0對任意x∈[e，e2]恒成立，求實數a的取值范圍（e為自然常數）；（Ⅲ）求證ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；函數恒成立問題；不等式的證明．【分析】（Ⅰ）求導f′（x）=（x＞0），從而判斷函數的單調性；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，從而求導F′（x）=，再由導數的正負討論確定函數的單調性，從而求函數的最大值，從而化恒成立問題為最值問題即可；（Ⅲ）令a=﹣1，此時f（x）=﹣lnx+x﹣3，從而可得f（1）=﹣2，且f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調遞增，從而可得﹣lnx+x﹣1＞0，即lnx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，從而可得若n≥2，n∈N*，則有ln（+1）＜＜=﹣，從而化ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）為ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜1（n≥2，n∈N*）；從而證明．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x＞0），當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，單調減區間為[1，+∞）；當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），單調減區間為（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，則F′（x）=，若﹣a≤e，即a≥﹣e，F（x）在[e，e2]上是增函數，F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，a≤，無解．若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，F（x）在[e，﹣a]上是減函數；在[﹣a，e2]上是增函數，F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤，∴﹣e2≤a≤．若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，F（x）在[e，e2]上是減函數，F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，∴a＜﹣e2，綜上所述，a≤．（Ⅲ）證明：令a=﹣1，此時f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調遞增，∴當x∈（1，+∞）時，f（x）＞f