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空間向量之建立空間直角坐標系的方法及技巧．一、利用共頂點的互相垂直的三條棱構建直角坐標系例1已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求異面直線BC1與DC所成角的余弦值．解析：如圖1，以D為坐標原點，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則C1（０，1，2）、B（2，4，０），∴，．設與所成的角為，則．二、利用線面垂直關系構建直角坐標系例2如圖2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．解析：如圖2，以B為原點，分別以BB1、BA所在直線為y軸、z軸，過B點垂直于平面AB1的直線為x軸建立空間直角坐標系．由于BC＝1，BB1＝2，AB＝，∠BCC1＝，∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，０，０）、A（０，０，）、B1（０，2，０）、、．設且，由EA⊥EB1，得，即，∴，即或（舍去）．故．由已知有，，故二面角A－EB1－A1的平面角的大小為向量與的夾角．因，故，即三、利用面面垂直關系構建直角坐標系例3如圖3，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）證明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．解析：（1）取AD的中點O為原點，建立如圖3所示的空間直角坐標系．設AD＝2，則A（1，０，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，），∴＝（０，2，０），＝（1，０，－）．（2）由題設知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分別以直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系（如圖1），易得，．所求異面直線所成的角是．（3）由（2）知，點．設n=（x，y，z）是平面QAD的一個法向量，則得取x＝1，得．點P到平面QAD的距離．點評：利用圖形所

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