第28章銳角三角函數卓尼一中金玉宏第28章銳角三角函數卓尼一中金玉宏問題1

為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌．現測得斜坡與水平面所成角的度數是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準備多長的水管？這個問題可以歸結為，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的長.ABC

思考：你能將實際問題歸結為數學問題嗎？情境探究問題1為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪

根據“在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”，即ABC

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的長.可得AB=2BC=70m，即需要準備70m長的水管。根據“在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準備多長的水管？結論：在一個直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于。?思考ABC50m30mB'C'在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準備多長

即在直角三角形中，當一個銳角等于45°時，不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于。

如圖，任意畫一個Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計算∠A的對邊與斜邊的比

，你能得出什么結論？ABC即在直角三角形中，當一個銳角等于45°

綜上可知，在一個Rt△ABC中，∠C＝90°，

一般地，當∠A

取其他一定度數的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？結論問題

當∠A＝30°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，是一個固定值；

當∠A＝45°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，也是一個固定值.綜上可知，在一個Rt△ABC中，∠C＝90°，探究ABCA'B'C'

任意畫Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝，那么與有什么關系．你能解釋一下嗎？由于∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’探究ABCA'B'C'任意畫Rt△ABC和Rt△A‘

這就是說，在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值．探究這就是說，在直角三角形中，當銳角A的度數一

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即例如，當∠A＝30°時，我們有當∠A＝45°時，我們有ABCcab對邊斜邊在圖中∠A的對邊記作a∠B的對邊記作b∠C的對邊記作c

正弦如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我注意sinA是一個完整的符號，它表示∠A的正弦，記號里習慣省去角的符號“∠”；sinA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與斜邊的比；sinA不表示“sin”乘以“A”。注意sinA是一個完整的符號，它表示∠A的正弦，記號里習慣省例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34

例題示范ABC135(1)(2)試著完成圖（2）例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和練習AC35B2、在平面直角平面坐標系中，已知點A(3，0)和B(0，-4)，則sin∠OAB等于____.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，AC=2，BC=4，則sin∠DAC=___.4、在Rt△ABC中,∠C=90°,,則sin∠A=___.1、如圖，求sinA和sinB的值．練習AC35B2、在平面直角平面坐標系中，已知點A(3，0)5、如圖，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，求△ABC的面積。BAC555、如圖，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，28.1銳角三角函數（2）——正弦正切28.1銳角三角函數（2）——正弦正切復習與探究：

1.銳角正弦的定義在中，

∠A的正弦：2、當銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比就隨之確定。此時，其他邊之間的比是否也隨之確定？為什么？復習與探究：1.銳角正弦的定義在新知探索:1、你能將“其他邊之比”用比例的式子表示出來嗎？這樣的比有多少？2、當銳角A確定時，∠A的鄰邊與斜邊的比，∠A的對邊與鄰邊的比也隨之確定嗎？為什么？交流并說出理由。方法一：從特殊到一般，仿照正弦的研究過程；方法二：根據相似三角形的性質來說明。新知探索:1、你能將“其他邊之比”用比例的式子表示出來嗎？這

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ABC斜邊c對邊a鄰邊b★我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即★我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ABC斜邊c注意cosA，tanA是一個完整的符號，它表示∠A的余弦、正切，記號里習慣省去角的符號“∠”；cosA，tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比；cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”注意cosA，tanA是一個完整的符號，它表示∠A的余弦、正

對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數。

同樣地，

cosA，tanA也是A的函數。

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數.對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確ABC6例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．ABC6例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．ABC23延伸：由上面的計算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么規律嗎？結論：一個銳角的正弦等于它余角的余弦，或一個銳角的余弦等于它余角的正弦。例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，A練習課本P78練習1，2，3.補充練習

1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.ABCD練習課本P78練習1，2，3.ABCD補充練習2、如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和點B到直線MC的距離．3、如圖所示，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：補充練習2、如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=28.1銳角三角函數（3）28.1銳角三角函數（3）

AB

C∠A的對邊a∠A的鄰邊b斜邊cABC∠A的對邊a∠A的鄰邊b斜邊?思考

請同學們拿出自己的學習工具——一副三角尺，思考并回答下列問題：1、這兩塊三角尺各有幾個銳角？它們分別等于多少度？2、每塊三角尺的三邊之間有怎樣的特殊關系？如果設每塊三角尺較短的邊長為1，請你說出未知邊的長度。30°60°45°121145°?思考請同學們拿出自己的學習工具——一副三角尺新知探索:30°角的三角函數值sin30°=cos30°=tan30°=新知探索:30°角的三角函數值sin30°=cos30°=tcos45°=tan45°=sin45°=新知探索:45°角的三角函數值cos45°=tan45°=sin45°=新知探索:45°角sin60°=cos60°=tan60°=新知探索:60°角的三角函數值sin60°=cos60°=tan60°=新知探索:60°角30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數30°45°60°sinacosatana30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：例1求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）例1求下列各式的值：求下列各式的值：求下列各式的值：例2（1）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A的度數．ABC例2（1）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（2）如圖，已知圓錐的高AO等于圓錐的底面半徑OB的倍，求a．ABO

當A，B為銳角時，若A≠B，則sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB.（2）如圖，已知圓錐的高AO等于圓錐的底面半徑OB的1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A、∠B的度數．BAC1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，2、求適合下列各式的銳角α2、求適合下列各式的銳角αABCD4、如圖,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,BC=12,BD=,求∠A的度數及AD的長.ABCD4、如圖,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC小結

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我們學習了30°,45°,60°這幾類特殊角的三角函數值．小結:我們學習了30°,45°,60°這幾類作業課本P82第3題《同步練習》P51-52（四）（五）作業課本P82第3題28.1銳角三角函數（4）28.1銳角三角函數（4）

DABE1.6m20m42°C引例升國旗時，小明站在操場上離國旗20m處行注目禮。當國旗升至頂端時，小明看國旗視線的仰角為42°（如圖所示），若小明雙眼離地面1.60m，你能幫助小明求出旗桿AB的高度嗎？這里的tan42°是多少呢？DABE1.6m20m42°C引例升國

前面我們學習了特殊角30°45°60°的三角函數值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函數值又怎么求呢？

這一節課我們就學習借助計算器來完成這個任務.前面我們學習了特殊角30°45°60°的三角函數1、用科學計算器求一般銳角的三角函數值：（1）我們要用到科學計算器中的鍵：sincostan（2）按鍵順序◆如果銳角恰是整數度數時，以“求sin18°”為例，按鍵順序如下：按鍵順序顯示結果sin18°sin18sin180.309016994∴sin18°=0.309016994≈0.311、用科學計算器求一般銳角的三角函數值：（1）我們要用到科學1、用科學計算器求一般銳角的三角函數值：◆如果銳角的度數是度、分形式時，以“求tan30°36′”為例，按鍵順序如下：方法一：按鍵順序顯示結果tan30°36′tan3036tan30°36′0.591398351∴tan30°36′=0.591398351≈0.59方法二：先轉化，30°36′=30.6°,后仿照sin18°的求法。◆如果銳角的度數是度、分、秒形式時，依照上面的方法一求解。1、用科學計算器求一般銳角的三角函數值：◆如果銳角的度數是度（3）完成引例中的求解：tan2042+1.619.60808089∴AB=19.60808089≈19.61m即旗桿的高度是19.61m.（3）完成引例中的求解：tan2042+1.619.608練習:使用計算器求下列銳角的三角函數值.（精確到0.01）（1）sin20°，cos70°；

sin35°，cos55°；

sin15°32′，cos74°28′；（2）tan3°8′，tan80°25′43″；（3）sin15°+cos61°tan76°.練習:使用計算器求下列銳角的三角函數值.（精確到0.01）（按鍵的順序顯示結果SHIFT20917.301507834sin·7=

已知三角函數值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能鍵“sin－１

Cos－１，tan－１”鍵例如：已知sinα＝0.2974,求銳角α．按健順序為：如果再按“度分秒健”就換算成度分秒，°′″即∠α＝17o18’5.43”2、已知銳角的三角函數值，求銳角的度數：按鍵的順序顯示結果SHIFT20917.301507834s例根據下面的條件，求銳角β的大小（精確到1″）（1）