廣U)>0廣U)>0當TO)當回Q)其中)'o為Y選擇公理定義：設X是一個集合。記文為X中的所有非空子集構成的集族，即X=^(X)-{(/>}o如果一個映射X^X滿足條件：對于任意AeX,有w(A)w4,則此映射￡稱為集合X的一個選擇函數。任何一個函數都有選擇函數就是選擇公理。1?設X和Y是兩個集合。證明：cardY<cardX當且僅當存在一個從X到Y的滿射。證：設cardY<cardX,即存在一個Y到X的一一映射f,定義,X^Y,使中一固定元，則g是從X到Y上的映射。反之，若存在從X到Y上的映射g,記a={Ay:yeY,g~\y)=Ay}則a是x中非空族，并且a中成員兩兩無交，由Zermelo假定存在集合CuX,使得對于每一Aea,AcC是單點集，所以存在C到Y上的一一映射，即c=(y,又c<cy,故r<txo設7；和人是集合X的兩個拓撲。證明1\c7；也是集合X的拓撲。舉例說明7；5、可以不是X的拓撲。證：若7；,。都是X的拓撲，由于札X 所以^XeT^T2:任意,即A,BeTL,T2,所以,任意T^T^T2,即Tc7],7；,即，則2人豈，人，所以AeT|JAg7；A7；,因此T^T2是X的拓撲。AeT例:設X={a,b,c}, 7]={{a},{b,c},{a,b,c},0},7^={{b},{a,c},{a,b,c},0}易見八。都是X的拓撲，但7；U7；={{a},{a,c},{b,c},{a,b,c},0},而i1s008g,{b}w7；UZ，{a9b}={a}{J{b}電T、U0,因此7]U7；不是X的拓撲。設(X,T)是一個拓撲空間，其中s是任何一個不屬于X的元素。令X*=XU{oo},T=T\J{X9}。證明(X\T)是一個拓撲空間。證：顯然?XwT；任意A.BeT,若A,B中有一個為X”，顯然AABer；若A,BwT,貝ijA^BeT^T,故總有AA^gT；任意T\uT、若X*e7；,則|JA=X*eT；若 即7\wT,Ae'J\也有\jA=TeT,故總有\jAeT,所Ae7\ Ae7[以(X；T)為拓撲空間。證明實數集R有一個拓撲以集族{[a,+s)|aw/?}U{(—8,b]|bER}為它的一個基，并說明這個拓撲的特點。證：記P={(YO,a]swR}U{[b,xo):bwR}°因為Rz)U?Sn(—8,G]U[a,十/))=/?。所以[Jse/S由定理知，存在R的唯一拓撲卩以P為子基。任意xwR,因為(-<X),X],[Q8)gPuT所以{x}=(y),x]A[x,p)gT,即R的每一單點集皆為開集，因此T是R的離散拓撲。如果Y是拓撲空間X的一個開子集，則Y作為X的子空間時特別稱為X的開子空間。證明：(1)如果Y是拓撲空間X的一個開子空間，則AUY是Y中的一個開集當且僅當A是X的一個開集。證：設Y為X的開子空間，AUX,則A=AC]Y為Y的開集；反之，若A為Y的開集，則存在X的開集B使A=BV\Y,而Y為X的開集，所以A為X的開集。有限補空間。設X是一個集合。首先我們重申：當我們考慮的問題中的基礎集自明時，我們并不是每次提起。因此在后文中對于X的每一個子集4,它的補集我們寫為A。令T={UuX|}U{0}先驗證T是X的一個拓撲：(1)XwT,因為X'=0；另外，根據定義便有0gTo(2)設A^BeT,如果4,B之中有一個是空集，則A^B=0eTo假定都不是空集。這時(AnB)=AUB是X的一個有限子集，所以AOBgToO)設AuT。令石=7]—{0}。顯然有(JA=|JA如果A67； A67；T2=0,貝|JUA=UA=0eT，設A67； A67；0H0。任意選取Aog7；o這時（Ua）=（Ua）‘=P|AuA。是x的A€7； A€7； A67；一個有限子集，所以UA￡/Aero根據上述是X的一個拓撲，稱之為X的有限補拓撲。拓撲空間（X,T）稱為一個有限空間。可數補空間。設X是一個集合。令T=｛U^X\是一個有限可數子集｝U｛0｝通過與例2.2.4中完全類似的做法容易驗證（請讀者自證）T是X的一個拓撲,稱之為X的可數補拓撲。拓撲空間（X,T）成為一個可數補空間。6八證明：1、從拓撲空間到平庸空間的任何映射都是連續映射。2、從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續映射。證：1、設f:X^Y為從拓撲空間X到平庸空間Y的映射，因為廣《9）=l9/-AxBaAxB.反之，設x=(x1,x2)eAxB,X]WA,x2eB.對任意開領域WeAxBaAxB.反之，設x=(x1,x2)eAxB,X]WA,x2eB.對任意開領域WeUXf存在UeUxl,VgUx2,W=U*V,由于(UCA)工0,(UcB)工0(UcA)x(UcB)=Wc(AxB)h0,所以xgAxB,故AxB^AxB.所以得證。B-(CjA)=dd)證明： : :1=11=1ii nxw療一(U&)<^>xeB且i=1 Z=1xeB且xeA(i=1,2,…，“)對任何i,xeB且x纟&?O對任何i。xwAO A)i=i所以(Q|A)=d(B—A)。1=11=1ii nxw療一(p|&)<^>xeB且i=l Z=1OxwB且存在j, 存在j,使xeB且xeAo存在i,使xeB-Ati=l所以B-(n4)=u(B-A)1=11=1為自然數，令A”={s+1,??.},”=1,2,…。并令T={0,A^A2,---}(1)證明T為N的拓撲。(2)寫出KN的所有開鄰域。2、設/X^Y為從離散空間X到任一拓撲空間Y的映射，對Y中每開集U,因為X為離散空間，所以f~\U）是X的開集，即f是連續映射。7、 設X和Y是兩個拓撲空間，f：X^Y.證明一下兩個等價。（1）、f連續。（2）、對于Y的任一子集B,B的內部的原像包含于B的原像的內部，即：廠（K〃））u"T（B））。證明:對于任意BuY,?BuY,由定理知，有f連續當且僅當f~l（c（?B））二cCT（~F））當且僅當廣（（B））=廠（~（c（~B）））=廣（c（?B））U?c（/_1（-B））=~c（?廠詢）=8、 證明離散的拓撲空間中的序列｛兀｝收斂的充分必要條件是存在NWN,使得當i,j>N時X-=Xjo證明：充分性顯然。必要性，設離散的拓撲空間X中的序列｛兀｝收斂于X,因｛X｝為X的開領域，所以存在NWN使得當iAN時，X,.e｛x｝,即當i>N時，x,=x,因此當i,j>N時，Xj=xt=x.9、設紙和兀是兩個拓撲空間，X/X,是它們的積空間。證明對于任何AUBuX?有AxB=AxBo證明：設X= wAxb,對于任意開領域UeUxl,V6Ux2,U*VeUx,從而("xI/)c(A")二(UcB)x(UnA)主0即UcA主0,(UcB)H0,則％eeB<.故x=(xL,x2)eB,證：(1)顯然0,N=AQ,又0AA?=0gT, ”=1,2,…，任意皿。，匕/產爲財和曰因此丁為N的拓撲。(2)的唯一的開鄰域為A=N。設兀,壬和心都是拓撲空間。證明：積空間X,XX2同胚于積空間X)XX]；積空間(X1xX2)xX3同胚于積空間Xjx(X2XX3)；如果X】H空集并且空間X]XX：同胚于積空間xX2,則X?同胚于證明：(1)定義f-.X^xX.^X.xX,使/W=/((X1,X2))=(X2,X1) ，x=(Xi，x2)eXtxX2,顯然/為在空間上的 映射'又p^f=p2,Pi°f=Pi.皆為連續映射，故/連續，類似可證fT也連續，即/是同胚，故X\XX,同胚于積空間X：xX](2)由定理3.2.9,知XiXX^xXs同胚于(XixXJxXj卞證明X,xX2xX3同月丕于X]X(X：xX3)；記X,xX2xX3向X1,X2,X3的投影分別為戸収代，X2xX3向X2,X3的投影分別為P心宀，將X1X(X2xX3)向X」X2xX3投影分別記為片￡,則這些投影皆為連續映射，定義映射f:X[xX2xX.^X[x(X2xXi),使得任意XxxX2xX5,/(兀,兀,厶) = (兀,(兀,“))丘Xtx(X2xXJ，顯然f是在空間上的一一映射。又P"譏,P2oP2of=P2都為連續映射，故P嚴f連續，所以f為連續映射，類似可證/T也為連續映射，故f為同胚，即X,XX2XX3同胚于X1X(X2xX3)o(4)由題意知存在同胚f:XlxX2^XlxX3，取i9rl,則{(/>}xX2^XtxX2由習題8(1)*,：{0}以2T{O}xX,是一個同胚，令g:X2^{(fi}xX2，對任何xwX?g(x)=(0,x)是一個同胚。作力：X?TX3,/?(X)=p2of|帥世og(x)是一個同胚，其中巴是{0}xXs的第二個投射。證明：離散空間(平庸空間)的任何一個商空間都是離散空間(平庸空間)證明：(1)設(X,9)是離散空間。(X/R,即是商空間，則岡是相對于自然的投射p.XfXIR而言的商拓撲，對任何UeX/