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文檔簡介
變函數第一節解析函數的概念
一復變函數的導數與微分
二解析函數的概念
三本節小結變函數一復變函數的導數與微分導數的定義:設函數w=f(z)定義于區域D,zo為D中的點,點x+△z不出D的范圍如果極限limf(x0+Ax)-∫(x存在,△z→0末就稱∫(z)在z可導這個極限值稱為f(z)在zo的導數,dw記作f(z)=limf(x0+Δx)-f(x0)變函數在定義中注意:x+Az→x0(即A→0的方式是任意的即z+△在區域D內以任意方式趨于x時比值(n+a)-(n)都趨于同一個數△如果函數∫(z)在區域D內處處可導我們就稱∫(x)在區域內D可導變函數例1求f(z)=z的導數解∫'(z)=linf(z+△)-∫(z)Az→0(z+△x)=Imlim(2x+△x)2變函數lim4-lim/(+A)-/()limA→0Az→0Ax→0△x+i△y△y=0當點沿平行于虛軸的方向(Ax=0)而使Az→>0時,imn"=limf(x+Δ)-代少Ax+i△ylimA→0A→0△r=0當點沿不同的方向使Δ→0時,極限值不同,故f(z)=Imz在復平面上處處不可導變函數2可導與連續:函數∫()在x處可導則在z處一定連續,但函數f(z)在x處連續不一定在x處可導證根據在z0可導的定義,VE>0,彐8>0,使得當0<Axk<δ時,有∫(zo+Δx)-f(x0)∫'(z0)<G,△令p(△2)f(zo+△x)-f(z0)-f()變函數則limp(△z)=0,因為f(z+Az)-f(z0)=f'(z0)△+p(△)△,所以limf(z0+Az)=f(z)即f(z)在z連續[證畢]變函數例3問f(x)=x+2yi是否連續?是否可導?解由上章知識易知,f(z)是連續的=limf(z+△)-∫(x)Ax→>0△A>0(x+△x)+2(y+△y)-x-2yiIinA→0△x+2△yilimAx>0△C+△yL變函數設x+Δ沿著平行于x軸的直線趨向于z,△v+2△△lim0△+△ayLAx→>0△C設z+Az沿著平行于y軸的直線趨向于z,l4+2=圃22
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