信號(hào)與系統(tǒng)SignalsandSystems普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材《信號(hào)與系統(tǒng)》陳后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年系統(tǒng)的時(shí)域分析

線性非時(shí)變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性

離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)序列卷積和

離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)迭代法求系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)典時(shí)域法求系統(tǒng)響應(yīng)卷積法求系統(tǒng)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)求解零狀態(tài)響應(yīng)求解離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為2.經(jīng)典時(shí)域分析方法3.卷積法系統(tǒng)響應(yīng)求解方法:1.迭代法離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)已知n個(gè)初始狀態(tài){y[-1],y[-2],y[-2],????,y[-n]}和輸入，由差分方程迭代出系統(tǒng)的輸出。1.迭代法[例]

一階線性常系數(shù)差分方程y[k]-0.5y[k-1]=u[k],y[-1]=1，用迭代法求解差分方程。解：將差分方程寫(xiě)成代入初始狀態(tài)，可求得依此類(lèi)推缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng),由齊次解yh[k]和特解yp[k]組成:齊次解yh[k]的形式由齊次方程的特征根確定特解yp[k]的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定2.經(jīng)典時(shí)域分析方法[例]已知某二階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程

y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=x[k]

初始條件y[0]=0，y[1]=-1，輸入信號(hào)

x[k]=2k

u[k]，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]。特征根為齊次解yh[k]解：(1)求齊次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=0的齊次解yh[k]特征方程為解：(2)求非齊次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=x[k]的特解yp[k]由輸入x[k]的形式，設(shè)方程的特解為將特解帶入原差分方程即可求得常數(shù)A=-2。[例]已知某二階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程

y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=x[k]

初始條件y[0]=0，y[1]=-1，輸入信號(hào)

x[k]=2k

u[k]，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]。解：(3)求方程的全解，即系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]解得C1=-1，C2=1[例]已知某二階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程

y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=x[k]

初始條件y[0]=0，y[1]=-1，輸入信號(hào)

x[k]=2k

u[k]，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]。討論1)

若初始條件不變，輸入信號(hào)

x[k]=sin0

k

u[k]，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]=？2)

若輸入信號(hào)不變，初始條件y[0]=1,y[1]=1,則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]=？經(jīng)典法不足之處若差分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無(wú)法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)3.卷積法:系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)求解齊次差分方程得到零輸入響應(yīng)利用信號(hào)分解和線性非時(shí)變特性可求出零狀態(tài)響應(yīng)一、零輸入響應(yīng)定義：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。數(shù)學(xué)模型:求解方法：根據(jù)差分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式再由初始狀態(tài)確定待定系數(shù)。一、零輸入響應(yīng)(1)特征根是不等實(shí)根r1,r2,,rn(2)特征根是等實(shí)根r1=r2==rn(3)特征根是成對(duì)共軛復(fù)根齊次解的形式[例]

已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為:y[k]+3y[k-1]+2y[k-2]=x[k]

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=0，y[-2]=1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]

。解：

系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為解得C1=1，C2=-2[例]

已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為:y[k]+4y[k-1]+4y[k-2]=x[k]

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=0，y[-2]=1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]

。解：

系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為（兩相等實(shí)根）解得C1=4,C2=4[例]

已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為:y[k]-0.5y[k-1]+y[k-2]-0.5y[k-3]=x[k]

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=2，y[-2]=-1，y[-3]=8，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi[k]

。解：

系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為解得C1=1，C2=0，C5=5二、零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k]方法：

1)直接求解初始狀態(tài)為零的差分方程。

2)卷積法：利用信號(hào)分解和線性非時(shí)變系統(tǒng)的特性求解。定義：當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵(lì)x[k]產(chǎn)生的響應(yīng)稱(chēng)為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yzs[k]表示。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs

[k]的思路1)

將任意信號(hào)分解為單位脈沖序列的線性組合2)

求出單位脈沖序列作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)

——單位脈沖響應(yīng)3)

利用線性非時(shí)變系統(tǒng)的特性，即可求出任意序列x[k]激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs[k]

。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs

[k]推導(dǎo)由非時(shí)變特性由均勻特性由疊加特性[例]

若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為:

已知,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

[k]。解：三、單位脈沖響應(yīng)定義

單位脈沖序列

[k]作用于離散時(shí)間LTI系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為單位脈沖響應(yīng),用符號(hào)h[k]表示。對(duì)N階LTI離散時(shí)間系統(tǒng)，h[k]滿(mǎn)足方程三、單位脈沖響應(yīng)求解方法:

2)等效初始條件法

將d[k-j]對(duì)系統(tǒng)的瞬時(shí)作用轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件。等效初始條件由差分方程和h[-1]=h[-2]==h[-n]=0遞推求出。1)迭代法例1

描述某離散因果LTI系統(tǒng)的差分方程為

求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。解：h[k]滿(mǎn)足方程1)求等效初始條件對(duì)于因果系統(tǒng)有h[-1]=h[-2]=0，代入上面方程可推出注意：選擇初始條件的基本原則是必須將