考點(diǎn)51雙曲線

1.中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的雙曲線。的兩條漸近線與圓。-2)2+/=1都相切，則雙曲線C的離心

率是()

2.m2乖水

A.2或3B.2或避C.避或2D.3或2

A

【解析】設(shè)雙曲線c的漸近線方程為y=kx,是圓的切線得：舞=1k=±F，

得雙曲線的一條漸近線的方程為)，=今二焦點(diǎn)在*、y軸上兩種情況討論：

①當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)有：：6=；=等=斗「

②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)有：三*0二=夸=2

二求得雙曲線的離心率2或4.

故選：A.

x2y2]

---1----l(m>0,n>0)_

2.設(shè)橢圓相2M的焦點(diǎn)與拋物線公=8y的焦點(diǎn)相同，離心率為2,則m-n=()

A.273-4B.4-3&C.4^3-8D,8-4艱

A

拋物線,=8y的焦點(diǎn)為(0,2),

橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，

/.c=2,

1

由離心率e=2,可得4=4,/.b2=a2-c2=^\'^,

故時(shí)。=2/-4.

故選A.

x2y2,、

C:-----=l(a>0力>0)

3.已知雙曲線。2d的離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為

1

y=+—x

A.y=±2xB.2

c.y=±xD.y=±73x

D

【解析】雙曲線CT-9=l(a>0,b>0)

a-

的離心率e=￡=2t=4,2=11+二n二=3.2=事.

aa，\a-a*a

故漸近線方程為：y==±6

故答案為：D.

xy.

------=l(a>0,b>0)

4.已知雙曲線a?b2的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為AB,點(diǎn)P為雙曲線上除人B外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)

P與點(diǎn)AB連線的斜率分別為七、k2,若3=3,則雙曲線的漸進(jìn)線方程為，

A.y=±xB.y=土*Kc.y=+^xD.y=±2x

c

222

3=上-二上=1

根據(jù)題意得到A(-a,0),B(a,0),設(shè)P點(diǎn)為(x,y),根據(jù)題意得到x2-a2a23a2，從而漸近線方程為,

x2y2

———=0_

a23a2,化簡(jiǎn)為

故C.

x2y2,

---------=1(Q>0,b>0)

5.已知4B、p是雙曲線。2b2上不同的三點(diǎn)，且4B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線

P&PB的斜率乘積kp*kpB=3,則該雙曲線的離心率為

A.A/2B.GC.2D.3

C

【解析】

由題意，設(shè)A(xi,yi),P(X2,yi),則B(-xi,-yi)

先+g_y22-y2

?—當(dāng)X

4+勺

a2b2a2b2

1

二兩式相減可得(三哈

*.，kpA-kpB=3,

J

c2-a2

==3o

故選：C.

22

土—匕=1_-

6.設(shè)Fi、F?分別是雙曲線C：至一工一的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且PFI-PF2=0,則

|PF1+PF2|=()

A.4B.6c.2回D.4"

B

由雙曲線方程得/=4,b2=5,C2=9,

即c=3,則焦點(diǎn)為Fl-,°),F2(3,0),

?.?點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且P3-P=2=。，

二AFFF?為直角三角形，

則南+P引=2|網(wǎng)=怛島|=2c=6,

故選：B.

本題主要考查雙曲線性質(zhì)的意義，根據(jù)向量垂直和向量和的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵.

x2y2

C:---1---=1（Q>b>0）

7.已知橢圓b2和雙曲線E：--y2=i有相同的焦點(diǎn)0尸2,且離心率之積為1,P為兩曲

線的一個(gè)交點(diǎn)，貝心尸/々的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

B

【解析】

犬-尸=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土、00）,離心率為、%

\x在=La=2,c=,

二橢圓c：7+三=1,0=（、%0）,生=（-、吃,0）,

IPEI+IP瑪1=4得]糕|二；，腔"iPF）二+門(mén)尼|二,

JP8|-|P81=2

dPEF：為直角三角形，故選B.

XV

C:--—=l（a>0,h>0）

8.設(shè)片、G是雙曲線a2b2的左右焦點(diǎn)，4為左頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn),

\ppI

|F]&l=10,PF2^F1F2,121二竺3,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則物?辦=

2916

A.3B.3c.15D.-15

D

【解析】

(a2+b2=25

由題得｛b2_it,a=3,6=4.

(a-3

所以雙曲線的方程為9=1,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為<5,李或(-5,學(xué),

所以瓦I-OP=(-3.0)?(5,Y)=-15.

故答案為:D

21

0_x___y_=]

2

9.已知直線1的傾斜角為45。，直線[與雙曲線,a?b(a>0,b>0)的左、右兩支分別交于M、N兩點(diǎn),

且“&、N4都垂直于砰由(其中0、七分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為()

G+1

A.A/3B.A/5C.0TD.2

D

??.直線’與雙曲線的左、右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，且“心、可尸2都垂直于x軸,

;根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)點(diǎn)M(-c,y),N(c,-y),

S_Y=1_c2-a2

則a?b2~,即3=a,且麻1|=|懼|=加,

又丫直線’的傾斜角為45°,

二直線/過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，lyl=c,

c2-a2衽+1依-1

??a,整理得c-ac-a-O,即/-e-l=O,解方程得2,2(舍)

故選D.

2

xV

C-——=l(a>0力>0)

10.設(shè)乙,尸2是雙曲線a2片的左，右焦點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)&作C的一條漸近線的垂

線，垂足為P.若附11=洞°刊,則C的離心率為()

A.0B.2C.價(jià)D.隹

c

【解析】

雙曲線c：A3=l(a>0.b>0)的一條漸近線方程為)，=聲，

..點(diǎn)B到漸近線的距離d=va-fo-=b

BP|PF2|=b,|0P|=v'lOF,p-|PE|-=v'c二一b：=aCOSLPFZ。=g,

?.1PEI=、E|OP|A\PF,\=v^a

2

在三角形FiPFi中，由余弦定理可得PFir=|PF2p+|FiFi|-2|PF2|-|FiF2|COSZPFQ,

1.6a;=b:+4c=-2x&x2cx|=4c:—3b2=4c:-3：r2—a2),

即3a2=巳

即0a=c>：.e='=\3,

a

故選：C.

11.下列命題錯(cuò)誤的是()

A.命題“3xoGR,xo+1>3xo?的否定是“VxeR,x2+1<3x"■

B.若P人q是假命題，則P,q都是假命題

x2y2

_____=i

C.雙曲線23的焦距為2小

D.設(shè)a,b是互不垂直的兩條異面直線，則存在平面a,使得aua,且b||a

B

【解析】

對(duì)于選項(xiàng)A,由于特稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，所以命題“A°eR,芯+1>3丸”的否定是“vxeA,

xz+l<3x",是正確的.

對(duì)于選項(xiàng)B,若pAq是假命題，則p,q至少有一個(gè)是假命題，所以命題是假命題.

對(duì)于選項(xiàng)C,雙曲線1的焦距為2c=2y17T3=2v5所以是真命題.

對(duì)于選項(xiàng)D.設(shè)a,b是互不垂直的兩條異面直線，則存在平面a,使得aua,且bl|a,是真命題.

故答案為：B

%2y2

-----=l(a>0,b>0)

12.設(shè)雙曲線La?b2的兩條漸近線互相垂直，頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為1,則雙曲線

的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為()

A.2B.戌C.2洲]).4

B

22

XV,

C:-----=l(a>0,6>0)

?.?雙曲線?2/的兩條漸近線互相垂直，

.?.漸近線方程為y=±*,

.?.a=b.

???頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為1,

—a=1

二2,

a=b=也

22

L_L=i

...雙曲線C的方程為22,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0),

d="

二雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為M.

13.已知雙曲線--2丁=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F,則焦點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為()

M1

A.2B.1C.2D.2

C

【解析】

設(shè)雙曲線K-2y==1的焦點(diǎn)FJl+z0；即F￡0/

N-

(—

一條漸近線方程為y=TTx即有?=',：=v>

"收'

故選：c.

x2y2

-----=1(Q>0力>0)

2

14.已知雙曲線?a?b的右焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為4以尸為圓心，尸4為半徑的圓交C的右支

于P,Q兩點(diǎn)，A4PQ的一個(gè)內(nèi)角為60°,則C的離心率為（）

y/2+l45

A.2B.A/2C.3D,3

C

如圖，設(shè)左焦點(diǎn)為用，設(shè)圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B,

V,△APQ的一個(gè)內(nèi)角為60°

AZPAF=30°,ZPBF=60°=PF=AF=a+c,=PFi=3a+c,

在△PFFi中，由余弦定理可得PR?=尸產(chǎn)+FF/_2PF-F%cosl20°.

4

e=一

n3c2-ac-4a2=0=>3e2-e-4=0=3,

y?

故c

15.已知雙曲線加>2-尤2=1（巾6/?）與拋物線,=即有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為

y=±-xry=±^-x

A.3B.y=±3xc.y=±-^xD.3

c

【解析】

由拋物線方程可知其焦點(diǎn)為：（0.2）,即為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，

由參數(shù)關(guān)系可得：2+1=4,解得，"=三，

所以雙曲線的方程為：=所以漸近線方程為：y=±^x.

故選C.

222

xxy

g:---y2=1—^=l（Q>b>0）

16.已知雙曲線4,雙曲線//的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,M是雙曲線C2的

一條漸近線上的點(diǎn)，且0M_LMF2,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若一,且雙曲線C1,C2的離心率相同，則雙曲線

C2的實(shí)軸長(zhǎng)是（）

A.32B.4C.8D.16

D

【解析】

雙曲線G:9-），二=1的離心率為三，

設(shè)F?（C,0）,雙曲線C2一條漸近線方程為y{x,

可得了小1|=7梟=也

艮［］有|OM!=v'c，—b'=a,

由=16,可得:ab=16>

即ab=32,又且

解得a=8>b=4,c=4v'5,

即有雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16.

故選：D.

Y2v222

r1：—-—=l（a>0,Z?>0）土+匕=1

17.已知雙曲線?2b2的左右焦點(diǎn)分別為0尸2,橢圓？34的離心率為e,直線

小|_

MN過(guò)點(diǎn)&與雙曲線交于M,N兩點(diǎn)，若cos乙F］MN=cos乙FFzM,且|&N|,則雙曲線口的兩條漸近線的

傾斜角分別為（）

A.30°,1500B.45°,1350C.60°,120°D.15°,165°

C

由題cos4F]MN=cos乙F0M,

|M6|=|鳥(niǎo)利|=2c,

由雙曲線的定義可得眼心\=\MF,\-2a=2c-2a,

:橢圓「：：：？+?=1的離心率為：e==F=：>

=e=NF4c

z-\i\=\NF:\=4c-2a

在AMF,Fi中，由余弦定理的='I：：：*："=子

-flI-C

在ANF此中，由余弦定理可得cos".F-N="t：丁=哄心竺

--2-2C(4C-2a)2c(2c-a)

???匹+=7T,

：.cos出EM+COS&EN=0,即=+-°’=0

1-2czazc-ai

整理得2。二+3c2—lac=0,

設(shè)雙曲線的離心率為之,???3eJ-7j+2=0>解得a=2或：(舍).

/.3a2=b2,

a-=4SRa-=

.??雙曲線的漸近線方程為y=±v^-

...漸近線的傾斜角為60°,120°.

故選：C.

x2y2

E:---------=1(Q>0力>0)

18.已知雙曲線?2b2的左右焦點(diǎn)分別為&,F2,若芯上存在點(diǎn)P使A&F2P為等腰三角形,

27r《

且其頂角為則用的值是,

t解析】

由題意可得6O”P(pán)FJ=2c,

所以P(2d),

代入雙曲線的方程可得/-等=1,

a-0~

所以4b-3屋=0,所以?=乎，

撻父安弓二、母

OXU木:.?

匕Y=i(a>0,b>0)且

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線a?b2的右焦點(diǎn)FC。)到一條漸近線的距離為2.

則其離心率的值是______.

2

---------=l(a>0,b>0)y_c

雙曲線/b2--------------的右焦點(diǎn)F(cQ)到一條漸近線的距離為2,

be

a卜邪

于，

可得(。

c2-a2=-c2

可得4

,即c=2a,

c2

所以雙曲線的離心率為：'-Q一.

故2.

X2V2,

--------=1(Q>0,6>0)

2

20.已知雙曲線a?b的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F2(C,0)(C＞。)，拋物線y2=4c%與

雙曲線在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)只若仍尸21=儼1/21,則雙曲線的離心率為

1+V2

【解析】

/

/、解：拋物線尸=4c與雙曲線的右焦點(diǎn)后。0)相同，

F用1=嘰川，由拋物線定義可知，P(c.2c),P在雙曲線上，所以：捻一<=1,

e4-6e2+1=0,

??e>1,

/.e=1+\f2.

故答案為：l+g.

x

--y9=l(a>0)

21.已知雙曲線。2的一條漸近線與直線2x+y-3=0垂直，則該雙曲線的離心率是

更

【解析】

由已知有雙曲線漸近線的方程為)，=±3

...雙曲線的一條漸近線與直線2x+)，-3=0垂直

.1_1

,?;=?

.'.a=2,

,\c=V5

.二禽心率e=：=￡

x2

y2----=l(m>0)

22.已知雙曲線而2的上支交拋物線產(chǎn)=4%于4B兩點(diǎn)，雙曲線的漸近線在第一象限與拋物

115

----p---=----

線交于點(diǎn)&F為拋物線的焦點(diǎn)，且，|E4||FB||FC|則m=.

設(shè)4dM)，舶272)<(//3),

2,

yo=1

m

由[y2=4x,得/-4mx+m=0,

x14-x2=4m,x1x2=m

由拋物線定義可得MH=/+=xz+1,|FC|=叼+1,

mx

(y=X3=4—+—=-L

由l/=4x,得力,\FA\|FB|\FC\,

11x+x+25

__________—_____t____2______——_____

得X]+lx2+1xxx2++x24-1叼+1,

4m+2_5

5m+1-7

。+1

即m,結(jié)合小>0解得血=1,故答案為1.

x2y2

------=l(a>0,b>0)

23.已知雙曲線a?b2的一條漸近線與直線x+3y+1=0垂直，則雙曲線的離心率等于

Vio

t解析】

...雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x+3y+l=0垂直.

...雙曲線的漸近線方程為y=i3x

...嘰3,得tP^a2,c2-a2=9a2,

a

此時(shí)，離心率e=JvTU.

a

故答案為：vTO.

事

24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，MN是畸由上的動(dòng)點(diǎn)，且10Ml2+|ON|2=8,過(guò)點(diǎn)M,N分別作斜率為

V3

一爹的兩條直線交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線工

(I)求曲線E的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)Q(1，D的兩條直線分別交曲線E于點(diǎn)4c和B,D,且力B||CD,求證直線的斜率為定值.

x2y23

—+—=1——

(1股P(?n,n),直線PM：y-”=令)，=0,得M(?n一手n,0)

直線PMy-n=-今(x-m),令y=0,得N(m+4幾0).

OMZ+ON2=(m-^n):+(m+平"尸=2m:+?=8=:+j=L

二曲線E的方程是？+J=1;

(H)-?■ABIICD,]^AQ=XQC.BQ=AQb,(A>0).A(xA.yAWxB,yB),C(xc,yc),D(xo.yo),

則(1-以,1-y4)=A(xc-l,yc-1),

即〃=1+A-Axc,