江西省吉安市萬安第一中學2022年高二數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.用“輾轉相除法”求得和的最大公約數是、

、

、

、參考答案：D2.在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（

）A.直角三角形

B.等腰或直角三角形

C.不能確定

D

.等腰三角形參考答案：B略3.若過原點的直線與圓+++3=0相切，若切點在第三象限，則該直線的方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，則與事件恰有兩個紅球既不對立也不互斥的事件是（）A．至少有一個黑球 B．恰好一個黑球C．至多有一個紅球 D．至少有一個紅球參考答案：D【考點】互斥事件與對立事件．【分析】利用對立事件、互斥事件定義直接求解．【解答】解：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，在A中，至少有一個黑球與事件恰有兩個紅球是對立事件，故A不成立；在B中，恰好一個黑球與事件恰有兩個紅球是互的事件，故B不成立；在C中，至多一個紅球與事件恰有兩個紅球是對立事件，故C不成立；在D中，至少一個紅球與事件恰有兩個紅球既不對立也不互斥的事件，故D成立．故選：D．5.用反證法證明命題“平面四邊形四個內角中至少有一個不大于90°時”，應假設（

）A.四個內角都大于90° B.四個內角都不大于90°C.四個內角至多有一個大于90° D.四個內角至多有兩個大于90°參考答案：A【分析】對于“至少一個不大于”的否定為“全都大于”，由此得到結果.【詳解】“平面四邊形四個內角中至少有一個不大于90°”的否定形式為：“平面四邊形四個內角中都大于90°”，即反證法時應假設：四個內角都大于90°本題正確選項：A【點睛】本題考查反證法的假設，關鍵是明確至少問題的否定的形式，屬于基礎題.6.在等比數列{an}中，已知，則A.8 B.±8 C.－8 D.64參考答案：A【詳解】設等比數列的公比為，，則，所以；選A.7.一支田徑隊有男運動員63人，女運動員45人，用分層抽樣方法從全體運動員中抽取一個容量24的樣本，則樣本中女運動員人數是（

）A.14 B.12 C.10 D.8參考答案：C【分析】由題得樣本中女運動員人數為，計算即得解.【詳解】由題得樣本中女運動員人數是.故選：C【點睛】本題主要考查分層抽樣，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8.函數的最大值為

（）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.若，則（

）A. B. C. D.參考答案：D分析：由題意結合誘導公式和二倍角公式整理計算即可求得最終結果.詳解：由題意可知：，結合二倍角公式有：本題選擇D選項.點睛：本題主要考查誘導公式的應用，二倍角公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10.若點P是曲線y＝x2－lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為()A．1

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某同學的作業不小心被墨水玷污，經仔細辨認，整理出以下兩條有效信息：①題目：“在平面直角坐標系中，已知橢圓的左頂點為，過點作兩條斜率之積為2的射線與橢圓交于，，……”②解：設的斜率為，……點，，……據此，請你寫出直線的斜率為

▲

．（用表示）參考答案：12.已知直線交拋物線于A、B兩點，若該拋物線上存在點C,使得為直角，則的取值范圍為___________.參考答案：略13.函數的最小值為_____________；參考答案：914.如果關于x的不等式的解集為，則實數a的取值范圍是

.參考答案：-115.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規律，拼成若干個圖案：

則第4個圖案中有白色地面磚____________塊，第n個圖案中有白色地面磚__________塊.參考答案：解：第(1)個圖中，黑：1白：6；

第(2)個圖中，黑：2白：10；第(3)個圖中，黑：3白：14；

第(4)個圖中，黑：4白：18；第(n)個圖中，黑：n白：6+(n－1)4=4n+2塊.

16.某蔬菜收購點租用車輛，將100t新鮮辣椒運往某市銷售，可租用的大卡車和農用車分別為10輛和20輛，若每輛卡車載重8t,運費960元，每輛農用車載重2.5t,運費360元，據此，安排兩種車型，應滿足那些不等關系，請列出來．參考答案：設租用大卡車x輛，農用車y輛17.已知數列的前項和，則其通項公式____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．（1）求此幾何體的體積；（2）在上是否存在點Q，使得ED⊥平面ACQ，若存在，請說明理由并求出點Q的位置；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（1）由該幾何體的三視圖可知垂直于底面，且，，

∴．，此幾何體的體積為．……………5分

（2）過C作CQ⊥ED于Q，則點Q為所求點.∵⊥平面且ED在平面BCED內，∴AC⊥ED．又∵CQ⊥ED，且CQ在平面ACQ內，AC在平面ACQ內，CQ∩AC=C，∴ED⊥平面ACQ．過D作DF⊥EC于F，由△CEQ∽△DEF得：.∴ED上存在點Q，當EQ=時，ED⊥平面ACQ.……………12分

略19.(本題滿分l2分)

如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BAD=90°，PA平面ABCD，且PA=AD=AB=1。

(I)若BC=3，求異面直線PC與BD所成角的余弦值；

(II)若BC=2，求證：平面BPC平面PCD；

(III)設E為PC的中點，在線段BC上是否存在一點F，使得EFCD?請說明理由．

參考答案：略20.（本題滿分10分）一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉為新的一年定期，到孩子18歲生日時，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數為多少？參考答案：【解】不妨從每年存入的a元到18年時產生的本息入手考慮，出生時的a元到18年時變為a(1+r)18，1歲生日時的a元到18歲時成為a(1+r)17，2歲生日時的a元到18歲時成為a(1+r)16，……17歲生日時的a元到18歲時成為a(1+r)1，a(1+r)18+a(1+r)17+

…+a(1+r)1…………4分＝＝

………………9分答：取出的錢的總數為。……10分

略21.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為（1）若，求直線l的極坐標方程以及曲線C的直角坐標方程：（2）若直線l與曲線C交于M、N兩點，且，求直線l的斜率．參考答案：（1）直線的極坐標方程為，曲線C的直角坐標方程為（2）【分析】（1）根據，，，求出直線和曲線的直角坐標方程；（2）求出，，根據，求出直線的斜率即可．【詳解】（1）由題意，直線，可得直線是過原點的直線，故其極坐標方程為，又，故；（2）由題意，直線l的極坐標為，設、對應的極徑分別為，，將代入曲線的極坐標可得：，故，，，故，則，即，，所以故直線的斜率是．【點睛】本題考查了極坐標和直角坐標方程的轉化，考查直線的斜率，是一道中檔題．22.已知△的兩個頂點的坐標分別是，，且所在直線的斜率之積等于． （1）求頂點的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；（2）當時，過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合)，試問：直線與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.參考答案：（1）由題知：

化簡得：……………2分當時軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；當時軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點；當時

軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；當時

軌跡表示焦點在軸上的雙曲線，且除去兩點；…6分（2）設依題直線的